自动控制系统的数学模型(20201014084526)

第二章自动控制系统的数学模型

教学目的：建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

掌握传递函数的概念及求法。通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：

正确理解数学模型的特点；了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；

掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复

杂系统的动态结构图进行变换；求第K 条前向通道特记式的余子式k 。教学方法：讲授

本章学时：10 学时

主要内容：

引言

动态微分方程的建立

线性系统的传递函数

典型环节及其传递函数

系统的结构图

信号流图及梅逊公式

引言：

什么是数学模型为什么要建立系统的数学模型

系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。

静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数

建立动态模型的方法

机理分析法：用定律定理建立动态模型。

实验法：运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

动态微分方程的建立

无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。

为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：

根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分方程（或运动方程）。

消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例

例1 R- L—C电路

根据电路基本原理有：

R i L 舞U c U r

dU c

I c dt

例2质量-弹簧-阻尼系统

Lc

d2U c

dt2

du c

Rc - u c

dt

U r

(5)

电动机:

zzzzz

77777 由牛顿定律: ma

F ky fdj

m

与

dt 2

md 2y dt 2

fdt ky

动力学方程：

M

M c J — dt

E a

k

d

M k d i a

电路方程:

di a

U r E a L a ~~

R a i a

dt

⑷ (2)

得：i a

J d_

k d dt

M k d

Kd l.u

Ur t 电枢松利愉入

:破控帑

(5)

⑶(5)⑴得:

整理并定义两个时间常数

L a J d 2 R a J d k d dt 2

k d dt

U r

(L a dM c (

R a dt

Ra

M c )

k d

TT 丄

a m 2

dt

如果忽略阻力矩 即M c 0，方程右边只有电枢回路的控制量 U r ，则电机方程是一典型二阶 方程

如果忽略T a ( T a 0 )电机方程就是一阶的

小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型， 介绍了系统的动态以及静态数学模型, 描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步 骤。

线性系统的传递函数

求解微分方程，可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算很繁，因此对系统的设计分 析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算 ，可是问题分析大大简

化•

传递函数的定义：

传递函数：线性系统,在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比， 叫做系统的

传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式： 设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：

d n

d n 1

d

a 。齐 c(t) a i —77 c(t) a n 1 — c(t) a n C (t)

dt dt dt d m d m 1 d

b c-^r(t) b,-^r(t) b m 1-r(t) b m 「(t)

dt dt

dt

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai(i 1,2,3，，n)和bj(j 1,2, ,m)是与系统结构 和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏 变换，并令c(s > L[c(t)], R(s)=L[r(t)],可得s 的代数方程为： [a °s n a i s n 1 a . i s a n ]C(s) [b °s m ds m 1 b m i s a m ]R(s)

于是，由定义得系统传递函数为：

JR a k ： T m 机电时间常数

L a R a

T a 电磁时间常数

电机方程

T —

| m

1 U r k d

T m

d dt

1 k d

U r