无理方程解法

无理方程解法

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程 例1解方程

71x x +-=

分析：移项、平方，转化为有理方程求解． 解：移项得：71x x +=+ 两边平方得：2

721x x x +=++

移项，合并同类项得：260x x +-=

解得：3x =-或2x = 检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根． 把2x =代入原方程，左边 = 右边，所以2x =是原方程的根． 所以，原方程的解是2x =．

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

例2解方程

3233x x -++=

分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．

解：原方程可化为：3233x x -=-+

两边平方得：329633x x x -=-+++ 整理得：63142337x x x x +=-⇒+=- 两边平方得：2

9(3)4914x x x +=-+

整理得：2

23220x x -+=，解得：1x =或22x =．

检验：把1x =代入原方程，左边=右边，所以1x =是原方程的根． 把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根．

所以，原方程的解是1x =．

例3解方程

解 移项得

两边平方后整理得

再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0，

所以 x 1=4，x 2=-7．

经检验知，x 2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．

说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2．换元法解无理方程

例4解方程 223152512x x x x ++++=

分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2

2

31533(51)x x x x ++=++．因此，可251x x y ++=，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理．

解：251x x y ++=，则2

2

2

2

513153(1)x x y x x y ++=⇒+=- 原方程可化为：2

3(1)22y y -+=， 即2

3250y y +-=，解得：1y =或53

y =-

． (1)当1y =225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或； (2)当5

3

y =-

2510x x y ++=≥，所以方程无解． 检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合．

所以，原方程的解是1,0x x =-=．

说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．

例5解方程

分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．

设

则u2-v2＝w2-t2，①

u+v=w+t．②

因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③

②＋③得u=w，即

解得x=-2．

经检验，x=-2是原方程的根．

例6解方程

所以

将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，

即(xy＋4)(xy-2)=0

xy=2．③例7 解方程

整理得y3-1=(1-y)2，

即(y-1)(y2+2)=0．

解得y=1，即x=-1．

经检验知，x=-1是原方程的根．

整理得y3-2y2+3y=0．

解得y=0，从而x=-1．

3.用公式法解

例8解方程

方公式将方程的左端配方．将原方程变形为

所以

两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，

两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，

例9 解方程

即

所以

移项得

例10 解方程

解观察到题中两个根号的平方差是13，即

②÷①便得

由①，③得

4.分式无理方程

例11解方程

边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化

简方程

根据合分比定理得

两边平方得

再用合分比定理得

化简得x2=4a2．解得x=±2a．

经检验，x=±2a是原方程的根．