第十五章 组合变形

第十五章 组合变形

一、内容提要

1. 组合变形的概念及计算原理

组合变形 由两种以上的基本变形组合而成的变形

计算原理 叠加原理

2. 组合变形的计算步骤

(1) 简化或分解外力。

(2) 分析内力。

(3) 分析应力。

3. 强度条件

斜弯曲 强度条件为

σmax = z z W M max + y

y W M max ≤[σ] 拉（压）与弯曲组合 强度条件为 σmax =A

F N ±z W M max ≤ [σ] 单向偏心压缩（拉伸） 强度条件为

z

z N M M A F ±±

=max σ≤[σ] 双向偏心压缩（拉伸） 强度条件为 y

y z z N W M W M A F ±±±=max σ≤][σ 二、典型例题解析

例15-1 某柱如图15-1所示，由屋架传来的压力F P1=100kN ，由吊车传来的压力F P2=30kN ，柱的单位体积重量γ=25kN/m （牛腿部分自重略去），柱高l =4m ，偏心距e y =0.2m ，已知截面宽度b=0.2m ，试求：

（1）截面高度h ≥？时截面上不出现拉应力。

（2）计算在确定的截面高度时柱中的最大压应力。

图15-1

知识点 压弯组合变形的应力

解 （1）固定端截面为危险截面

将偏心压力向截面形心平移后，危险截面上的内力为

轴心压力 F N = F P1＋F P2＋W=－(130＋20h) kN

弯矩 M= F P2×e y =6kN ·m

截面上不出现拉应力时应满足

σt max =－A

F N ＋z W M max ≤0

即 Pa h

Pa h h 2332.061062.010)20130(⨯⨯+⨯+-≤0 h ≥0.27m

（2）取 h =0.28m

此时 σ c max =－A

F N －z W M max = Pa Pa 2

3328.02.0610628.02.010)28.020130(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+-=－4.72MPa 三、思考题提示或解答

15-1 图示各杆的AB 、BC 、CD 各段截面上有哪些内力，各段产生什么组合变形？

思15-1图

提示 a) AB 段产生弯、扭变形； BC 段产生弯、拉变形；CD 段产生弯、扭变形。

b) AB 段产生弯曲变形； BC 段产生弯、压变形；CD 段产生弯曲变形。

c) AB 段产生弯、压变形； BC 段产生弯、扭变形；CD 段产生弯曲变形。

15-2 图示各杆的组合变形是由哪些基本变形组合成的？并判定在各基本变形情况下A 、B 、C 、D 各点处正应力的正负号。

思15-2图

提示 a) 由轴向拉伸与两个平面内的弯曲变形组合成。

b) 由两个平面内的弯曲变形组合成。

c) 由轴向压缩与两个平面内的弯曲变形组合成。

15-3 图示三根短柱受压力F 作用，图b 、c 的柱各挖去一部分。试判断在a 、b 、c 三种情况下，短柱中的最大压应力的大小和位置。

思15-3图

解答 a) 柱产生轴向压缩变形。

σ c max =－2a

F A F N -= 位于柱横截面上的任意点 b) 未挖去段柱产生轴向压缩变形，挖去段柱产生弯、压变形。

σ c max =－A F N －z W M max =－238a

F 位于削弱截面右边缘上的任意点 c)柱产生轴向压缩变形。

σ c max =－2a

A N -= 位于削弱截面上的任意点 四、课后习题解答

题15-1～15-2斜弯曲问题

15-1 由14号工字钢制成的简支梁，受力如图所示。力F 作用线过截面形心且与y 轴成15°角，已知：F =6kN ，l =4m 。试求梁的最大正应力。

题 15-1图

解 （1）外力分解

F z =Fsin15°=6×0.26kN=1.55kN F y =Fcos15°=6×0.97kN=5.82kN

(2) 计算内力

M z =4l F y =5.82kN ·m M y =4

l F z =1.55 kN ·m (3) 计算应力

查型钢表得

W z =102㎝3

W y =16.1㎝3 σmax = z z W M max + y

y W M max =310)1

.1655.110282.5(⨯+MPa=153.33 MPa 15-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，力F 过截面形心且与y 轴成12°角，已知：F =1.2kN ，l =2m ，材料的许用应力 [σ]=10MPa 。试确定b 和h 的尺寸。（可设h /b =1.5）

题 15-2图

解 （1）外力分解

F z =Fsin12°=1.2×0.21kN=0.25kN

F y =Fcos12°=1.2×0.98kN=1.17kN

(2) 计算内力

M z = F y l =2.34kN ·m M y = F z l =0.5 kN ·m

(3) 计算截面尺寸

矩形截面

W z =62

bh W y =6

2hb h =1.5b

σmax = z z W max + y

y W max ≤[σ] 即 6232106)5.15.05.134.2(⨯⨯+b

b MPa ≤10 MPa b ≥94mm h ≥141mm

取 b=100mm h=150mm

题15-3压缩与弯曲的组合变形

15-3．如图所示的桁架结构，杆AB 为18号工字钢。已知：l =2.8m ，跨中F =30kN ，

[σ]=170MPa 。试校核AB 杆的强度。

题 15-3图

解 (1) 外力计算

取AB 为研究对象，如题解15-3图a 所示。由∑m A =0 得

F NBC =5

.08.2304.1⨯⨯kN=30 kN 将F NBC 沿水平方向和竖直方向分解

得 F NBC x =30×2

3 kN=25.98kN F NBC y =30×0.5 kN=15kN

题解15-3图

(2) 计算内力

AB 杆产生压缩与弯曲的组合变形，内力图如题解15-3图b 所示。

由图可知，跨中截面为危险截面，M max =21kN ·m F N =－25.98Kn

(3) 强度校核

查型钢表得 W Z =185×103mm 3 A=30.6×102mm 2

σmax =σcmax = A F N －z W M max =36

2310

1851021106.301098.25⨯⨯-⨯⨯-MPa=122MPa ≤ [σ] AB 杆满足强度条件

题15-4～15-5偏心压缩问题

15-4 正方形截面偏心受压柱，如图所示。已知：a =400mm ，100==z y e e mm ，

F =160kN 。试求该柱的最大拉应力与最大压应力。