【压轴题】初二数学下期末试卷及答案

【压轴题】初二数学下期末试卷及答案
一、选择题
1．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形
2．已知函数y =1
x +，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ≥﹣1且x ≠1
C ．x ≥﹣1
D ．x ≠1
3．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，
下列结论：
（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有 A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．已知正比例函数y kx =（k ≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k 值可能是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，一棵大树在离地面6米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A ．10米
B ．16米
C ．15米
D ．14米
6．下列有关一次函数y ＝﹣3x +2的说法中，错误的是（ ）
A．当x值增大时，y的值随着x增大而减小
B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．函数图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，5）
7．如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（）
A．BA＝BC B．AC、BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD
8．如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9．若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（）．
A．（1，2）B．（，）C．（2，）D．（1，）10．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）
A．6B．12C．24D．不能确定
11．某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色黄色绿色白色紫色红色
数量（件）12015023075430
经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．平均数与众数 12．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A ．2，3，4
B ．7，24，25
C ．8，12，20
D ．5，13，15
二、填空题
13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，交AB 于点E ，DF∥AB，交BC 于点F ，当△ABC 满足_________条件 时，四边形BEDF 是正方形．
14．如图．过点A 1（1，0）作x 轴的垂线，交直线y=2x 于点B 1；点A 2与点O 关于直线A 1B 1对称，过点A 2作x 轴的垂线，交直线y=2x 于点B 2；点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称．过点A 3作x 轴的垂线，交直线y=2x 于点B 3；…按此规律作下去．则点A 3的坐标为_____，点B n 的坐标为_____．
152+1的倒数是____．
16．2(3)x 3-x ，则x 的取值范围是__________．
17．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙
80
90
73
该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，可判定_____被录用．
18．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是．19．A、B、C三地在同一直线上，甲、乙两车分别从A，B两地相向匀速行驶，甲车先出发2小时，甲车到达B地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车到达A 地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y（千米），甲行驶的时间x（小时）．y与x的关系如图所示，则B、C两地相距_____千米．
20．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
三、解答题
21．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．
（1）求y关于x的表达式；
（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；
（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚20分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B 城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．
22．为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
()1求每套队服和每个足球的价格是多少？
()2若城区四校联合购买100套队服和a(a 10)>个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲
商场和乙商场购买装备所花的费用；
()3在()2的条件下，若a 60=，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家
商场购买比较合算？
23．某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．
（1）求日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；
（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？ 24．计算：0
1
64(51)1235---+⨯--．
25．如图，已知菱形ABCD ，AB=AC ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接AE 、CF ． （1）求证：四边形AECF 是矩形； （2）若AB=6，求菱形的面积．
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一、选择题 1．C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形．
【详解】
解：、、、分别是、、、的中点，
，，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是正方形，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】
解：根据题意得：
10
10 x
x
+≥
⎧
⎨
-≠
⎩
，
解得：x≥-1且x≠1．
故选B．
点睛：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．B
【解析】 【分析】
根据正方形的性质得AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF 易得AF=DE ，根据“SAS”可判断△ABF ≌△DAE ，所以AE=BF ；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD ， 利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE ⊥BF ；连结BE ，BE ＞BC ，BA≠BE ，而BO ⊥AE ，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE ；最后根据△ABF ≌△DAE 得S △ABF =S △DAE ，则S △ABF -S △AOF =S △DAE -S △AOF ，即S △AOB =S 四边形DEOF ． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF ， ∴AF=DE ， 在△ABF 和△DAE 中
AB DA BAD ADE AF DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DAE ， ∴AE=BF ，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD ， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°，
∴AE ⊥BF ，所以（2）正确； 连结BE ，
∵BE ＞BC ， ∴BA≠BE ， 而BO ⊥AE ，
∴OA≠OE ，所以（3）错误； ∵△ABF ≌△DAE ， ∴S △ABF =S △DAE ，
∴S △ABF -S △AOF =S △DAE -S △AOF ，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
4．B
解析：B
【解析】
由图象可得
25
35
k
k
<
⎧
⎨
>
⎩
，解得
55
32
k
<<，故符合的只有2；故选B.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
=10米．
所以大树的高度是10+6=16米．
故选：B．
【点睛】
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
A、由k＝﹣3＜0，可得出：当x值增大时，y的值随着x增大而减小，选项A不符合题意；
B、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），选项B不符合题意；
C、由k＝﹣3＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出：一次函数y＝﹣
3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；
D、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：一次函数y＝﹣3x+2的图象不经过点（1，5），选项D符合题意．此题得解．
【详解】
解：A、∵k＝﹣3＜0，
∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，选项A不符合题意；
B、当x＝0时，y＝﹣3x+2＝2，
∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），选项B不符合题意；
C、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；
D、当x＝1时，y＝﹣3x+2＝﹣1，
∴一次函数y＝﹣3x+2的图象不经过点（1，5），选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，
则需添加条件：AC、BD互相平分
故选：B
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、
三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2），
所以2=-k，
解得：k=-2，
所以y=-2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x 中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x 的图象上，
所以这个图象必经过点（1，-2）． 故选D ．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由矩形ABCD 可得：S △AOD =
1
4
S 矩形ABCD ，又由AB=15，BC=20，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA •PE+1
2
OD •PF ，代入数值即可求得结果． 【详解】
连接OP ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝1
2
BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝
1
4
S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝1
2
AC ， ∵AB ＝15，BC ＝20，
∴AC 2
2
AB BC +221520+25，S △AOD ＝
14S 矩形ABCD ＝1
4
×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝
25
2
， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12
×252（PE +PF ）＝
75，
∴PE +PF ＝12．
∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12． 故选B ． 【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
11．C
解析：C
【解析】
试题解析：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动装的主要根据众数．
故选C．
考点：统计量的选择．
12．B
解析：B
【解析】
试题解析：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；
B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形；
C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；
D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．
故选B．
二、填空题
13．∠ABC=90°【解析】分析:由题意知四边形DEBF是平行四边形再通过证明一组邻边相等可知四边形DEBF是菱形进而得出∠ABC=90°时四边形BEDF是正方形详解:当△ABC满足条件∠ABC=90°
解析：∠ABC=90°
【解析】
分析: 由题意知,四边形DEBF是平行四边形,再通过证明一组邻边相等,可知四边形DEBF是菱形, 进而得出∠ABC=90°时,四边形BEDF是正方形.
详解: 当△ABC满足条件∠ABC=90°,四边形DEBF是正方形.
理由:∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠FBD,
又∵DE∥BC,
∴∠FBD=∠EDB,则∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE.
故平行四边形DEBF是菱形,
当∠ABC=90°时,菱形DEBF是正方形.
故答案为:∠ABC=90°.
点睛: 本题主要考查了菱形、正方形的判定,正确掌握菱形以及正方形的判定方法是解题关
键.
14．（40）（2n﹣12n）【解析】【分析】先根据题意求出A2点的坐标再根据A 2点的坐标求出B2的坐标以此类推总结规律便可求出点A3Bn的坐标【详解】解：∵点A1坐标为（10）∴OA1=1过点A1作x轴
解析：（4，0）（2n﹣1，2n）
【解析】
【分析】
先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A3、B n的坐标．
【详解】
解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1=A1A2=1，
∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），此类推便可求出点A n的坐标为（2n﹣1，0），点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．
故答案为（4，0），（2n﹣1，2n）．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
15．【解析】【分析】由倒数的定义可得的倒数是然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案【详解】∵∴的倒数是：故答案为：【点睛】此题考查了分母有理化的知识与倒数的定义此题比较简单注意二次根式有理化主要利用了
1．
【解析】
【分析】
，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答
案．
【详解】
=．
1
1．
1．
【点睛】
此题考查了分母有理化的知识与倒数的定义．此题比较简单，注意二次根式有理化主要利
用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
16．【解析】试题解析：∵=3﹣x∴x-3≤0解得：x≤3
解析：3
x≤
【解析】
﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
17．乙【解析】【分析】由于甲的面试成绩低于80分根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩比较得出结果【详解】解：∵该公司规定：笔试面试体能得分分别不得低于80分80分70分∴甲淘汰；乙
解析：乙
【解析】
【分析】
由于甲的面试成绩低于80分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【详解】
解：∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，
∴甲淘汰；
乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5，
丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3，
乙将被录取．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
18．2【解析】试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4再计算方差（一般地设n个数据x1x2…xn的平均数为=（）则方差=）==2考点：平均数方差
解析：2
【解析】
试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4，再计算方差（一般地设n个数据，x1，
x2，…x n的平均数为x，x=1
n
（12n
x x x
++⋯+），则方差
2 S=1
n
[222 12n
x x
x x x x
-+-+⋯+-
（）（）（）]），
2 S=1
5
[22222
2434445464
-+-+-+-+-
（）（）（）（）（）]=2．
考点：平均数，方差
19．【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙两车的速度再根据路程=速度×时间即可解答本题【详解】解：设甲车的速度为a 千米/小时乙车的速度为b 千米/小时解得∴AB 两地的距离为：80×9＝72
解析：【解析】
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲乙两车的速度，再根据“路程=速度×时间”，即可解答本题．
【详解】
解：设甲车的速度为a 千米/小时，乙车的速度为b 千米/小时，
(62)()560(62)(96)a b b a -⨯+=⎧⎨-=-⎩，解得8060a b =⎧⎨=⎩
， ∴A 、B 两地的距离为：80×
9＝720千米， 设乙车从B 地到C 地用的时间为x 小时，
60x ＝80（1+10%）（x+2﹣9），
解得，x ＝22，
则B 、C 两地相距：60×
22＝1320（千米） 故答案为：1320．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．2+2【解析】【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC 水平的线段相加正好等于AC 即地毯的总长度至少为（AC+BC ）【详解】在Rt△ABC 中
∠A=30°BC=2m∠C=90°∴AB=2BC=4m∴AC=
解析：2+23
【解析】
【分析】
地毯的竖直的线段加起来等于BC ，水平的线段相加正好等于AC ，即地毯的总长度至少为（AC+BC ）．
【详解】
在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2m ，∠C=90°，
∴AB=2BC=4m ，
∴=m，
∴（m）.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.
三、解答题
21．（1）y=-90x+300；（2）s=300-150x；（3）a=108（千米/时），作图见解析．
【解析】
【分析】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．
（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=-90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．
【详解】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b
∵图象经过点（0，300），（2，120），
∴
300
{
2120 b
k b
=
+=
解得
90 {
300 k
b
=-
=
∴y=-90x+300．
即y关于x的表达式为y=-90x+300．
（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，
当0≤x≤2时，函数解析式为s=-150x+300，
2＜x≤10
3
时，s=150x-300
10
3
＜x≤5时，s=60x；
（3）在s=-150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．
因为乙车比甲车晚20分钟到达，20分钟=1
3
小时，
所以在y=-90x+300中，当y=0，x=10
3
．
所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为10
3
+
1
3
-2=
5
3
（小时）．
乙车与甲车相遇后的速度a=（300-2×60）
÷
5
3
=108（千米/时）．
∴a=108（千米/时）．
乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．
考点：一次函数的应用．
22．(1) 每套队服150元，每个足球100元；(2) 购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算.
【解析】
试题分析：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；
（3）先求出到两家商场购买一样合算时足球的个数，再根据题意即可求解．
解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得
2（x+50）=3x，
解得x=100，
x+50=150．
答：每套队服150元，每个足球100元；
（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）=100a+14000（元），
到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a=80a+15000（元）；
（3）当在两家商场购买一样合算时，100a+14000=80a+15000，
解得a=50．
所以购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；
购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；
购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算
考点：一元一次方程的应用．
23．（1）
2140(4058)
82(5871)
x x
y
x x
-+
⎧
=⎨
-+<
⎩
剟
…
；（2）55元
【解析】【分析】
（1）分情况讨论,利用待定系数法进行求解即可解题,（2）根据收支平衡的含义建立收支之间的等量关系进行求解是解题关键.
【详解】
解：（1）当40≤x≤58时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx+b （k≠0），
将（40，60），（58，24）代入y ＝kx+b ，得：
40605824k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：2140k b =-⎧⎨=⎩
， ∴当40≤x≤58时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x+140；
当理可得，当58＜x≤71时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x+82．
综上所述：y 与x 之间的函数关系式为2140(4058)82(5871)x x y x x -+⎧=⎨-+<⎩
剟…． （2）设当天的销售价为x 元时，可出现收支平衡．
当40≤x≤58时，依题意，得：
（x ﹣40）（﹣2x+140）＝100×
3+150， 解得：x 1＝x 2＝55；
当57＜x≤71时，依题意，得：
（x ﹣40）（﹣x+82）＝100×
3+150， 此方程无解．
答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求解一次函数,一次函数的实际应用,中等难度,熟悉待定系数法,根据题意建立等量关系是解题关键.
24．【解析】
【分析】
原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=8-1+4-5=6．
【点睛】
本题考查实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
25．（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先证明△ABC 是等边三角形，进而得出∠AEC=90°，四边形AECF 是平行四边形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE 的长，进而求出菱形的面积．
试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC ，
又∵AB=AC ，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=1
2
AD，EC=
1
2
BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）在Rt△ABE中，AE==，
所以，S菱形ABCD
考点：1.菱形的性质；2..矩形的判定．。