模糊数学模型剖析
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
第二十二章 模糊数学模型
-257-第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→ 其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax A 01μ集合的特征函数具有以下性质：)}(),(max{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∨ )}(),(min{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-=1.2 模糊集合 1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集cA ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居-258-其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
模糊数学建模简介
设 A (aij )mn , B (bij )mn都是模糊矩阵，定义
相等：A B aij bij 包含： A B aij bij 并： A B (aij bij )mn
交： A B (aij bij )mn
余： Ac (1 aij )mn
显然，截矩阵为Boole矩阵。
1 0.5 设A 例 6： 0.2 0 1 1 0 0
1 0.1 0.4 0 设A , B , 则 例 4： 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 A B 0.3 0.3 0 0.9 A 0.8 0.7
c
0.4 0 A B 0.2 0.2 0.6 1 B 0.7 0.8
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 ∉ O，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
xU
A( x ) x
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
模糊数学模型
模糊数学模型
模糊数学模型是一种基于模糊集合理论，将模糊概念引入数学模型中，用来解决模糊
不确定性问题的数学方法。
模糊数学模型具有在模糊情况下进行决策和优化的能力，可以
有效地处理模糊性和不确定性的问题。
模糊数学模型最早是由L.A. Zadeh于1965年提出的，它可以被广泛地应用于工程、
管理、经济、环境等领域。
通过构建模糊数学模型，可以将人类对事物的模糊认知转化为
数学形式，用数学语言来描述和解决实际问题。
模糊数学模型基本元素包括：模糊集合、隶属函数和运算。
其中，模糊集合是一种比
传统集合更为广泛的概念，它可以描述某个事物与某种属性之间的关系。
隶属函数是模糊
集合的核心，它用来描述每个元素与模糊集合之间的隶属关系，通常用数学函数来表示。
运算则是针对模糊集合进行的各种运算，包括交、并、补、复合等。
在实际应用中，模糊数学模型可以用来解决许多具有模糊性和不确定性的问题。
比如，在工程中，可以利用模糊数学模型来设计模糊控制器，对不确定的系统进行控制；在管理中，可以利用模糊数学模型进行模糊决策，对模糊问题进行分析和解决；在经济学中，可
以利用模糊数学模型进行模糊预测，对经济变量进行分析和预测。
总之，模糊数学模型是一种能够应对模糊不确定性、处理大量信息、解决复杂问题的
有效工具，具有非常广泛的应用前景。
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
数学建模-模煳数学理论
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1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。
•普通集合——特征函数
设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
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•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
模糊数学
1 模糊数学的基本概念
2 模糊关系与模糊矩阵
3 模糊聚类分析
4 模糊模式识别
5 模糊综合评判
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1
1 模糊数学的基本概念
1.1 模糊数学概述
模糊数学是研究和处理模糊性现象（或 概念）的数学方法，而不是把数学变成 模模糊糊的东西，它所要处理事物的概 念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，我们称这种不确定 性为模糊性。
的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的
想法。
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2）隶属函数 设在论域U上给定了一个映射，
则定义了U上的一个模糊子集A，映射 称为模糊
集A的隶属函数，
称为x对模糊集A的隶属
程度，也可表示为A(x)。
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3）模糊集的表示
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4）模糊集的运算
模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。
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2
• 它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用 来表达整个明确定义的现象和活动的特性。
• 它与随机不确定性不同，随机的不确定性 也是概率的不确定性，其研究的事件本身有 着明确的含义，只是由于发生的条件不充分， 而使得在条件与事件之间不能出现决定的因 果关系，从而事件的出现与否表现出不确定 性，这种不确定性称为随机性。例如“掷一 个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但 掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的 概率是1/6。
模糊数学模型
的简单话题，这样处理是许可的，方便的。但人为地划定界限毕竟是对本来相互联系的食物 的性质的一种歪曲，特别是在分界线附近，这种描述的失真性更明显。当研究的对象相当复 杂时，这种处理方法便不适用了。 1965 年，美国自动控制论专家，加利福尼亚大学教授查德根据动作中的体会写出了《模 糊集合》一文，开始用数学的观点来刻画模糊事物，这标志着模糊数学这门新学科的诞生。 模糊数学决不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去 无法用数学描述的模糊事物。
意思是 x1 , x2 , x3 , x4 对模糊子集 A 的隶属度分别是 0.5，0.1，0.4，0.2；对模糊子集 B 的
隶属度分别是 0.2，0，0.6，1。 [例题 14.2] 设以人的岁数作为论域 U 0, 120 ， 单位是 “岁” ， 那么 “年轻” ， “年老” ， 都是 U 上的模糊子集。隶属函数如下：
第十五章 模糊数学模型
15.1 模糊数学的起源
15.1.1 数学是精确的
数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。在二十世纪三十年代，数学的发展 被划分成三个阶段： 第一阶段：数学是数，量，几何图形的科学； 第二阶段：数学是研究量的变化和几何图形变换的科学 ； 第三阶段：数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。 近代科学技术的发展同精确数学方法的发展和应用是密切相关的，牛顿力学为其经典。 到了 19 世纪，天文，力学，屋里，化学等理论自然科学先后在不同程度上走向定量化，数 学化，形成一个被称为“精密科学”的学科群。大量使用数学方法，反过来又推动了数学的 巨大进步。19 世纪是精确科学方法飞速发展的时期。 20 世纪以来，精确数学及其应用以更大的规模和速度发展着。相对论，量子力学，分子 生物学， 原子能， 电子计算机和空间技术等邻域的创建和开发为精确方法奏响了一曲又一曲 的凯歌，但也进一步助长了对精确方法的盲目崇拜。人们愈加相信，一切都应当精确化，只 有现在还没有实现精确化的问题，没有不需要或不可能精确化的问题。 客观而言，精益求精是科学工作者的美德，是评价研究工作科学性的一条准则，但是， 这种对精确方法的崇拜， 似乎被当作一种不言而喻的真理， 在很长的历史时期中未受到人们 的怀疑。科学方法论中的这种绝对化的观点，也反映到哲学中。例如，一些分析哲学家提倡 把一切概念，包括日常用语都加以精确化，这种现象的发生是值得深思的。但是，实践是检 验真理的唯一标准， 任何理论上的片面性和绝对化， 迟早会在实践中暴露其错误而得到纠正。
最新最全模糊数学方法综合整理
模糊数学方法模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
模糊数学模型和评价模型
模糊数学方法的数学模型和主观性较强的多属性评价模型对于非标准化的电子作品难以用精确的百分制来进行评定的问题，可以引入模糊数学方法的数学模型与多属性评价模型进行评价1．模糊数学方法的数学模型评价学生成绩的因素可划分为若干类（如课堂平时成绩、电子作品集、其中成绩和期末考试），每类又有相应的评价权重（如课堂平时成绩占30%、电子作品集占20%、期中成绩占20%和期末考试占30%）和评价等级（如课堂平时成绩—优秀、电子作品集—良好、其中成绩—中、期末考试—良好），称为一级评价因素；而每一类一级评价因素（如电子作品集）又可包含若干二级评价因素（如电子作品集好坏的评价标准）和每个评价标准的权重，依次类推。
下面的模型只考虑具有二级评价因素的问题如何用模糊数学的方法来做出科学的评价。
假设考虑学生的成绩的因素中，一级评价因素有n 类，记为U ={u 1,u 2,u 3,…,u n }，其权重为),,,(21n w w w W =，其评价等级对应的成绩为=D ),,,(21n d d d ，则该学生的成绩为：CJ==D W T)(2121n n d d d w w w ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛下面求=D ),,,(21n d d d 。
假设某个评价因素u i 有m 个二级评价指标，记为V i ={v i 1,v i 2,v i 3,…,v im }，权重分别为Q i ={q i 1,q i 2,q i 3,…,q im }，有t 种评价等级，记为P ={p 1,p 2,p 3,…,p t }，与各等级对应的分数是F ={f 1,f 2,f 3,…,f t }，有k 个评委对每个指标的各个等级的投票人数为矩阵W m *t ：W m *t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3212222111211m m m t t w w w w w w w w w其中，m i k wtj ij,,2,1,1==∑=则D i ),,2,1(n i =为各矩阵的乘积：Q 1*m *W m *t * F t *1 = ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t mt m m t t im i i f f f w w w w w w w w w q q q 2121222211121121多级评价等级可以多次使用此法求得。
第十六讲 模糊数学建模
模糊数学方法简介
• 模糊聚类分析 • 模糊模型识别 • 模糊决策 • 模糊线性规划 • 模糊控制
对偶律： ∪ 对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明： 论域)， 对偶律的证明：对于任意的 x∈U (论域 ， ∈ 论域 (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) ∪ ∪ ∨ = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) ∧ ∧ = Ac∩Bc (x)
模糊集的并、 模糊集的并、交、余运算性质
幂等律： ∪ 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， ∪ ∪ ， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律： ∪ 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； ， ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； ∪ ； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； ∪ ∪ ∪ ； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； ∪ ， ； A∪φ = A，A∩φ = φ ； ∪ ， 还原律： 还原律： (Ac)c = A ；
设论域U 商品集)， 例 设论域 = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集 ， 商品集 上定义两个模糊集： 商品质量好” 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， 上定义两个模糊集 商品质量好 B =“商品质量坏”，并设 商品质量坏” 商品质量坏 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 商品质量不好” 商品质量不坏” 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏” 商品质量不好 商品质量不坏 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见A 可见 c ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U, ∪ A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
模糊数学模型
定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 μA (x) ， μB (x) 。
i) 若对任意 x ∈ X ，有 μB (x) ≤ μA (x) ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ， i) 称 Fuzzy 集 C = A U B ，D = A I B 为 A 与 B 的并（union）和交（intersection），
假设做n次模糊统计试验则可计算出0x对a的隶属频率nax的次数0实际上当n不断增大时隶属频率趋于稳定其频率的稳定值称为0x对a的隶属度即0xanaxn的次数0lim2指派方法262指派方法是一种主观的方法它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法
第二十二章 模糊数学模型
§1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并
x
>
a
⎧1,
x≤a
柯 西
μA
=
⎪ ⎨
1
⎪⎩1 + α (x − a)β
,
x
>
a
型
(α > 0, β > 0)
表 1 常用的模糊分布
中间型
μA
=
⎧1, ⎩⎨0,
a≤ x≤b x < a或x > b
⎧ ⎪ ⎪
x b
− −
a a
,
a≤ x≤b
μA
=
⎪1,
⎨ ⎪
d
⎪d
− −
x c
数学建模模糊数学讲义
模糊数学经历了数十年的发展， 逐渐形成了完善的理论体系，并 在各个领域得到广泛应用。
当前模糊数学的研究热点包括模 糊逻辑、模糊推理、模糊系统优 化等方向。
模糊数学的应用前景与挑战
应用前景
模糊数学在人工智能、模式识别、决策分析等领域具有广阔的应用前景，为解决复杂问题 提供了新的思路和方法。
挑战与问题
数学建模模糊数学讲义
• 引言 • 模糊集合论基础 • 模糊逻辑与模糊推理 • 模糊聚类分析 • 模糊决策分析 • 模糊控制系统 • 总结与展望
01
引言
模糊数学简介
模糊数学是一门研究模糊现象和模糊事物的数学分支，它提供了一种处理 不确定性和不精确性的方法。
模糊数学通过引入模糊集合的概念，将经典集合论中的确定性界限扩展到 模糊性界限，从而能够更好地描述现实世界中的模糊现象。
尽管模糊数学取得了一定的成果，但仍面临一些挑战和问题，如模糊规则的制定、模糊推 理的精度和稳定性等。
未来发展方向
未来模糊数学的发展方向包括与其他数学分支的交叉融合、模糊系统与机器学习的结合等 ，以推动其在更多领域的应用和发展。
THANKS
感谢观看
模糊逻辑运算
模糊逻辑运算是对传统逻辑运算的扩展，如并、 交、非等运算。
模糊逻辑的运算与推理
模糊集合的运算
包括模糊集合的交、并、补等基 本运算，以及更复杂的运算如模 糊化、去模糊化等。
模糊推理
基于模糊逻辑的推理方法，通过 建立模糊规则和模糊前提，得出 模糊结论。
模糊推理系统
一种基于模糊逻辑的控制系统， 通过建立模糊控制器和模糊规则 库来实现对系统的控制。
根据系统特性和要求，设计合适的模糊逻辑 和推理规则。
系统仿真与优化
模糊数学模型分析--讲义共174页
在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延） A B 的集合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示， B A 如 、 等。
元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。 用于计算隶属度的函数称为隶属函数，即模糊集的特征函数。 隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用 A ( xi ) 来表示。 隶属度的值为[0，1]闭区间上的一个数，其值越大，表示该 元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。 计算隶属度的函数称为隶属函数。用 A ( x) 表示。 隶属度和隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它 们的意义是完全不一样的。 A ( xi ) 指论域中特定元素xi属于 A的隶属度，而 A ( x) 中的x是一个变量，可表示论域中的任 一元素。
我国的模糊技术研究
1) 70年代后期传到我国，起步晚，但发展快，“国际四强” 2) 理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距 3）“模糊技术产业化” 3) 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜人 - 企业：大型家电集团已成功开发了国产模糊控制洗衣机 如： “小天鹅”，“海尔”，“小鸭”，“金羚” 等名牌智能洗衣机 - 研究机构，高校：郑州轻工业学院模糊控制中心 清华大学热能工程系 北京师范大学模糊控制中心 西南交通大学智能控制中心
借助于下意识的联想灵感来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想得到一些结论进一步思考找出新思路和方法不要对交流失去信心建模思想模糊数学研究和处理模糊性现象的数学概念与其对立面之间没有一条明确的分界线模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的模糊概念需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性与模糊数学相关的问题二模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊综合评判综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价如产品质量评定科技成果鉴定某种作物种植适应性的评价等都属于综合评判问题
数学建模——模糊数学方法
• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标
模糊数学模型
模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 (⊕ ,∧ ) ）有界和、
a ⊕ b = 1 ∧ (a + b ), a ∧ b = min{ a , b}
（5）有界和、乘积算子 (⊕ ,⋅) ）有界和、
a ⊕ b = 1 ∧ (a + b ), a ⋅ b = ab
（6）Einstain算子 (ε , ε ) ） 算子
在论域U中任意给定一个元素 及任意给定一个 在论域 中任意给定一个元素u及任意给定一个 中任意给定一个元素 经典集合A， 用函数表示为： 经典集合 ，则必有 u ∈ A 或者u ∉ A ，用函数表示为：
χA : U →{0,1} u a χA(u),
其中
1, u∈ A χA(u) = 0, u∉ A
我国的模糊技术研究
70年代后期传到我国 起步晚，但发展快， 国际四强” 年代后期传到我国， 1) 70年代后期传到我国，起步晚，但发展快，“国际四强” 理论研究居世界领先地位， 2) 理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距 模糊技术产业化” 3）“模糊技术产业化” 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热， 4) 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜 人 企业： - 企业：大型家电集团已成功开发了国产模糊控制洗衣机 小天鹅” 海尔” 小鸭” 金羚” 如： “小天鹅”，“海尔”，“小鸭”，“金羚” 等名牌智能洗衣机 研究所，高校： - 研究所，高校：清华大学 北京师范大学 四川大学（刘应明院士） 四川大学（刘应明院士）
x −140 A(x) = 190 −140
也可用Zadeh表示法： 表示法： 也可用 表示法
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A= + + + + + x1 x2 x3 x4 x5 x6
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用
第八章 模糊数学方法建模1965年,美国自动控制学家L.A.Zadch 首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。
它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。
模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。
而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。
如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。
但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。
所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。
综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和∑==mi isS 1按S 的大小给评判对象排出名次。
例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。
另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定∑==mi ia11，于是用∑==mi ii sa S 1按S 的大小给评判对象排出名次。
以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。
由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。
应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。
第5章模糊数学模型
大量事实表明，许多事物过分追求精确反倒更模糊，适当地模糊反而可以达 到精确的目的。模糊数学不是让数学放弃其严格性去迁就研究对象的模糊性，而 是让数学吸取人脑对于模糊现象识别和判决中的优点，用精确的数学方法去处理 模糊的现象，从而为数学的运用开辟了新的方向。模糊数学同样具有数学的共性： 条理分明、一丝不苟，即使描述模糊概念（现象）也会描述的清清楚楚。
要用数学方法刻画模糊事物的类属特性，必须推广集合概念，放弃过分确定 的概括原则，代之可以容纳不确定性的隶属原则，也就是承认事物从具有某种性 态到不具有该性态、从属于某一类到不属于该类是逐步过渡而非突然改变的。采 取这一假定意味着：1）把元素属于集合的概念模糊化，承认论域上至少存在一 部分元素，它们既非完全属于某个集合，也非完全不属于该集合，变绝对的属于 关系为相对的属于关系；2）把属于关系定量化，承认论域上的每个元素都以一
为 30 头/平方米则出现了蝗虫灾害（图 5.3a），或者标准放宽一些为在 20-30
之间（图 5.3b）；而如果用模糊集表示，则可以用类似图 5.3（c）这样的隶属 度函数来表示。显然，模糊集的表示更接近我们日常的理解。
图 5.3 “蝗虫成灾”概念的模糊集与确定集 在模糊集合中，对于上图（c）中的“蝗虫成灾”概念，假如论域为单位平 方米的蝗虫数目{0,10,20,25,30}，隶属函数的一个可能的表示如下： 蝗虫成灾={0/0+0/10+0.8/20+0.87/25+1/30} 其中（0，0.2，0.7，0.87，1）是论域元素对应的隶属度值。[20，30]之间 的隶属函数是图中的曲线，用数学近似表示为：
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第四讲 模糊数学模型（Fuzzy ）过份的精确反而模糊；适当的模糊反而精确。
起源：1965年 L.A.Zadeh 在杂志“ Information and Control ”上发表著名论文，首先提出模糊集合的概念，标志着模糊理论的产生。
一、模糊综合评判法 （一）模糊集合：1、X 上的模糊集合A ，由()A U x 表示的隶属函数的集合。
()A U x 表示X 隶属集合A 的程度，()A U x 越接近1 ，表示X 属于A 的程度越大。
当()A U x =1时，X 肯定属于A ； 当()A U x =0时，X 肯定不属于A ；2、若X 为离散空间，则X 可以表示为：{}12,,,n X x x x =,则模糊集合A 可以表示为：{}1122(,()),(,()),,(,())A A n A n A x U x x U x x U x =。
{}:1,2,,9Eg X =,A=“大体上与5接近的数”，模糊集合A 可以表示为A ={（1，0），（2，0），（3，0.4），（4，0.8）,(5,1),(6,0.8),(7,0.4),(8,0),(9,0)}。
3、若X 为连续空间，则X 可以表示为：{},,X x x R R =∈为某连续区域，模糊集合{}(,()),A A x U x x R =∈。
Eg:若建立年轻人的隶属函数，可以根据统计资料，作出年轻人的隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近。
21 ()()11()11(30)0.3 13.51(3025)10A A x aU x P x x a x a U βαβα≤⎧⎪==⎨>⎪+-⎩===+-1取a=25,=2,＝10不合理11()0.8125100A U x αα==⇒=+进行反推，A 2U )1 x 251 x>25()()25110A x U x P x x ≤⎧⎪⎪==⎨-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩从而得到（ 例：为解决某一地区的交通运输问题，有两个方案可供选择：评价准则有如下四个： ①费用效益②对区域发展的贡献 ③对社会安全的贡献， ④对环境保护的贡献，评价的结果为： 满意，较满意，不太满意，不满意因素集合（准则）U ={ 费用效益， 区域发展， 社会安全， 环境保护 } 评语集（结论集）V ={ 满意， 较满意， 不太满意， 不满意 }AHP 法。
借用矩阵乘法的运算法则，进行指标权重与模糊判断矩阵R 的乘法。
模糊矩阵的乘法运算法则：“两两相乘取小者，两两相加取大者。
()0.70.20.100.20.70.100.40.30.20.100.20.70.10.10.20.50.10.40.70.30.20.200.10.10.40.20.30.70.20.20.10.3 0.40.10.30.10.20.70.10.50.400.300.20.10.10.1A R ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⨯+⨯+⨯+⨯⎛ ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎝T⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎭10.40.200.10.40.20.30.20.10.3 0.10.10.20.10.2000.10.10.1T TT V +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭0.10.30.50.10.20.70.10(0.4,0.3,0.2,0.1)0.20.70.1000.20.70.10.40.10.30.20.20.20.100.40.30.30.70.20.70.10.2 0.40.50.30.10.20.10.10.70.40.10.300.200.10A R ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯212.10.10.20.200.20.30.30.20.10.3 0.40.10.10.10.40.1000.10.1TT TT T T V V V ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∴>∴选择方案I（二）常见的模糊分布（1）矩形分布型1 0≤x ≤aU （x ）=0 其他（2）Γ分布型()() () 1 ,0k x a k x b e x a U x a x b k e x b ---⎧<⎪=≤≤>⎨⎪>⎩（3）正态分布 中间型：2()x a b U x e-⎛⎫- ⎪⎝⎭=偏小型：21, () x a b x a U x ex a -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪>⎩偏大型2() 1x a b e x a U x x a -⎛⎫-⎪⎝⎭⎧⎪<=⎨⎪≥⎩20, ()1 x a b x a U x ex a -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪->⎩(4)k 次曲线分布型0 ()= 1 0 kk x a x a a x b b a U x b x cd x c x d d c x d ≤⎧⎪-⎛⎫⎪<< ⎪⎪-⎝⎭⎪≤<⎨⎪-⎛⎫⎪≤< ⎪⎪-⎝⎭⎪≥⎩(5)柯西分布型1() (0,0)1()U x x a βαβα=>>+-为正偶数i ） 戒上型：1 ()11()x a U x x a x a βα≤⎧⎪=⎨>⎪+-ii) 戒下型：1 1()() 1 x a x a U x x a βα⎧<⎪+-=⎨⎪≥⎩（6）梯形分布（k 次曲线分布型中k 等于1时）0 () 1 0 x a x a a x b b a U x b x cd x c x d d c x d<⎧⎪-⎪≤<-⎪⎪=≤<⎨⎪-⎪≤<-⎪⎪≥⎩(7)岭型分布型1121212233434430 11sin () 222 1 ()11sin () 2220 x a a a x a x a a a a x a U x a a x a x a a a ππ<++-<≤-<≤=+--<≤-4x a ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪>⎩二、（某品牌）衣服的评价因素集{}12345,,,,U f f f f f =f ：花色, 2f ：式样, 3f ：耐穿性, 4f ：价格, 5f ：舒适度② 评价集 {}1234,,,V C C C C = 1C ：很受欢迎，2C ：欢迎，3C ：不太受欢迎，4C ：不欢迎○3对U 中每一个元素进行评判，评判结果构成模糊矩阵：()()()0.20.50.300.10.30.50.100.40.50.100.10.60.30.50.30.200.10.10.30.150.350.30.30.10.100.200.20.50.300.10.30.50.10.10.10.30.150.3500.40.50.100.10.60.30.50.30.20R A A A R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭男女男()()()()()0.350.30.30.1510.350.30.30.151.10.320.270.270.140.20.50.300.10.30.50.10.30.30.10.10.200.40.50.100.10.60.30.50.30.20 0.20.30.30.1A R ⎪==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=女标准化处理：标准化()()10.20.30.30.10.90.220.330.330.12=处理：三、橡胶的种植由地区的气候条件作为原始资料，来综合评判橡胶在何地种植的适宜程度。
①因素集{}123,,U f f f =1f ：年平均气温≥23℃,2f ：年极端气温≥8℃, 气温在5℃以下，橡胶就会遭受冻害。
3f ：年平均风速＜1米/秒② 评价集 {}1234,,,V C C C C =1C ：很适宜， 2C ：较适宜，3C ：适宜， 4C ：不适宜根据选定的南方六个地区{ 南宁，万宁，景洪，广州，海口，龙州 }，通过1960-1978年的实践总结，选定类似戒下型柯西分布的隶属函数。
○a 用 T 表示平均气温，则：（戒下型）22310231(23)0.0625()T T T T CU T C T αα⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+-⎩=1 其中 多年经验、或回归所得 ○b 用m T 表示年极端最低气温（戒下型）28181(8)0.0833mm m T m m m T T C U C T C T αα⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+-⎩=1 -4 其中○c 用F 表示风速（戒上型） 21111(1)0.009756F FF F U F F αα≤≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩=1 0 其中③ 根据隶属度的大小规定 U ≥0.9 很适宜 0.8≤U<0.9 较适宜 0.7≤U<0.8 适宜 U<0.7 不适宜④从单因子评判入手，先考虑平均气温T ，以南宁为例，1960-1978年中，很适宜的年份是8年，较适宜的年份为10年，适宜年份为0年，不适宜年份为1年。
用19去除有：1(0.42,0.53,0,0.05)f R =再对年最低气温和年均风速计算，有：0.420.5300.05000.260.7400.110.260.63R ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭南宁考虑到最低气温极为重要，风速作用较小，权重分配如下： 取权数 ()0.190.80.01uA =对南宁的综合评价结果为：()()0.420.5300.050.190.80.01000.260.7400.110.260.630.190.190.260.74u B A R ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭=南宁 标准化处理：()()10.190.190.260.741.380.140.140.190.53B == ⑤同理得：()()()()()0.800.050.1500.320.370.260.050.150.090.170.610.140.140.120.600.630.210.160.01B B B B B =====万宁景洪龙州广州海口∴最适宜种植橡胶的区域是万宁（85%），其次是海口（84%），景洪（69%）,其他三个地区不适宜种植橡胶。
四、二级评判例：某化工厂在使用某种剧毒液体氰化钠时，不慎将其流入河中，危害了下游人们的生命安全，由此受到了起诉。
法院受理了这一案件，并用模糊综合评判的方法研究其中的犯罪事实。
犯罪的因素集：F ={ 污染程度F 1， 污染范围F 2， 危害程度F 3 }，而其中每一个(1,2,3)i F i =又由基本的因素决定。
○1 {}111121314,,,F f f f f =11f :生物需氧量, 12f ：化学需氧量, 13f ：氨氮量, 14f ：溶解氧评价集 {}111121314C C C C C =评价集严重中等轻度清洁， 对F 1，经专家评判，得如下评判矩阵：10.810.19000.790.20.0100.880.090.03000.010.490.5R ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配 ()10.20.570.210.02A =()110.570.20.030.02A R =标准化得 ()10.70.240.040.02B =○2对2F ，因素集 {}221222324,,,F f f f f =21f : 分子量, 22f ：溶解度, 23f ：颗粒吸收性, 24f ：水流速度{}221222324,,,C C C C C =评价集很大大较大小，对F 2，经专家评判，得如下评判矩阵：20.10.70.200.20.60.10.100.20.20.600.40.50.1R ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配()20.60.10.10.2A =评判结果：()2220.10.60.20.1B A R ==○3 {}3313233,,F f f f =31f :人身危害, 32f ：社会经济损失, 33f ：厂家经济损失{}331323334,,,C C C C C =评价集很严重严重较重一般，对F 3，经专家评判，得如下评判矩阵：300.10.20.70.50.40.100.40.50.10R ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配 ()30.1,0.6,0.3A =评判结果 ()3330.50.40.10.1B A R ==标准化得()30.460.360.090.09B =由上述的第一级评判结果可得，第二级评判矩阵：1230.70.240.040.020.10.60.20.10.460.360.090.09B R B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()123,,0.50.30.2C C C A =设各自的权重为()0.70.240.040.020.50.30.20.10.60.20.10.460.360.090.09B A R ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()0.50.30.20.1=标准化得()0.460.270.180.09B '=由此可见，犯罪事实是确定的，这使初步审理此案有了依据。