第二章 插值法

而称
f [ xi , x j , x k ] =
为(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商 一般地,称 二阶差商. 二阶差商
f [ x1 , x 2 , L , x k ] f [ x 0 , x1 , L , x k 1 ] f [ x 0 , x1 , L , x k ] = xk x0
为(x)关于点x0,x1,…,xk的k阶差商.以上定义中,点x0,x1, k阶差商. …xk为互不相同的点. 差商具有以下性质: (1)k阶差商[x0,x1,…,xk]可以表示成 (x0), (x1), …,(xk)的线性组合
其系数行列式为
1 x0 1 x1 D= M M 1 xn
ຫໍສະໝຸດ Baidun L x0
1
1 x1 M x1n
L
1
x0 L x1n = M M n n x0 L xn
L xn = ∏ ( x j xi ) ≠ 0 M 0≤i < j ≤ n
n L xn
定理2.1 定理2.1 给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值 y0,y1,…,yn ,则满足插值条件(2.2)的n次插值多项式pn(x) 是存在且唯一的.
例3 给定函数表 x lnx 10 2.302585 11 2.397895 12 2.484907 13 2.564949
用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 11)(11.25 12) × 2.302585 (10 11)(10 12) (11.25 10)(11.25 12) (11.25 10)(11.25 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 10)(11 12) (12 10)(12 11)
(1) n
f
( n +1)
若f
( n +1)
(ξ x ) ≈ f
( n +1)
(ξ x ) ,则有
f ( x ) Ln ( x ) x x0 ≈ (1) f ( x) Ln ( x) x x n +1
从而得 也有
x xn +1 x x0 (1) f ( x) ≈ Ln ( x) + Ln ( x) x0 xn +1 xn +1 x0
n x x j ( x x 0 )( x x1 ) L ( x x k 1 )( x x k +1 ) L ( x x n ) =∏ l k ( x) = ( x k x 0 )( x k x1 ) L ( x k x k 1 )( x k x k +1 ) L ( x k x n ) jj = 0 x k x j ≠k
L2(x)是过点(x0,(x0)),(x1,(x1))和(x2,(x2))的抛物线.
Lagrange插值多项式简单而优雅, 只要取定节点就可 写出基函数,进而得到插值多项式.易于计算机上实现. 为了研究插值多项式的近似程度,记 Rn(x)=(x)-Ln(x) 称为n次Lagrange插值余项 n Lagrange插值余项. 插值余项 定理2.2 定理2.2 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内 存在,在节点a≤x0<x1<…<xn≤b上, 满足插值条件(2.2)的插 值多项式Ln(x),对任一x∈[a,b],插值余项为
(ξ x ) Rn ( x) = f ( x) Ln ( x) = ω n +1 ( x) ( n + 1)! f
( n +1)
(6.5)
其中ξx∈(a,b)且与x有关. 证
由于Rn(xi)=(xi)-Ln(xi)=0(i=0,1,…,n),所以
Rn(x)=C(x)ωn+1(x) 对于任一x∈[a,b],x≠xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=(t)-Ln(t)-C(x)ωn+1(t) 则有 (xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0 ′ 即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点. 由Rolle定理可知′(t) 在[a,b]至少有n+1个零点, 反复应用Rolle定理知(n+1)(t) 在[a,b]至少有1个零点ξx, 于是 0= 0= (n+1)(ξx)=(n+1)(ξx)-C(x)(n+1)!
第2章 插值法
§1 引言
设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个点 a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b 作为(x)的近似表达式,使满足 (xk)=(xk)=yk ,k=0,1,…,n 称y=(x)为被插值函数; 被插值函数; 被插值函数 x1 ,…,xn为插值节点; 插值节点; 插值节点 称式(2.2)为插值条件; 插值条件; 插值条件 (2.2) 寻求插 称(x)为插值函数; 称x0 , 插值函数; 插值函数 (2.1) 已知(xk)=yk(k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一函数(x)
§2 Lagrange插值多项式 插值多项式
对n+1个节点x0,x1,…,xn ,构造n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…,ln(x),使满足 li(xj)=δij ,i,j=0,1,…,n (2.3)
那么 Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn = ∑l k ( x) yk
(ξ x ) f ( x) Ln ( x) = ( x x 0 )( x x1 ) L ( x x n ) (n + 1)! f
( n +1)
(ξ x ) f ( x) L ( x) = ( x x1 )( x x 2 ) L ( x x n )( x x n +1 ) ( n + 1)!
x x0 x x1 L1 ( x) = f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 x1 x1 x 0
易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线. 例2 求(x)关于节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多 项式. 解 对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
o x0 x1
……
xn
x
y=pn(x)作为(x)的近似. 用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若Pn(x)∈ ∈ Pn ,则pn(x)=a0+a1x+…+anxn是由n+1个系数唯一确定的.若 pn(x)满足插值条件(2.2),则有
2 n a 0 + a1 x 0 + a 2 x 0 + L + a n x 0 = y 0 2 n a 0 + a1 x1 + a 2 x1 + L + a n x1 = y1 LLLLLLLL a + a x + a x 2 + L + a x n = y 0 1 n 2 n n n n
, k = 0,1, L , n
特别当k=0时,有
i =0
∑ l i ( x) = 1
n
例1 求(x)关于节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式 解 对节点x0,x1,Lagrange插值基函数为 于是有
x x1 l 0 ( x) = x 0 x1 ,
l1 ( x) =
x x0 x1 x 0
,
于是有
( x x 0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) f ( x1 ) L2 ( x ) = f ( x0 ) + ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) f ( x2 ) + ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
x x0 f ( x) Ln ( x) ≈ ( Ln ( x) L(1) ( x)) n x0 xn +1
(2.7)
由(2.6)式也可得到ln11.25的新的近似值
ln 11.25 ≈
实际上,(2.6)式右侧恰是(x)以x0,x1,…,xn,xn+1为节 点的n+1次插值多项式.
§3 Newton插值多项式 插值多项式
值函数(x)的方法称为插值方法. 称为插值方法. 称为插值方法 在构造插值函数时, 函数类P的不同选取, 对应不同的
插值方法,这里主要讨论函数类 P是代数多项式,即所谓的多项 式插值. 多项式插值,从几何上 看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的n次代数曲线
y
y=(x) y=pn(x)
(ξ x ) 因而有 C ( x) = (n + 1)! , f
( n +1)
所以
f
( n +1)
(ξ x ) Rn ( x) = ω n +1 ( x) ( n + 1)!
若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值余项 也可写成
M n +1 Rn ( x) ≤ ω n +1 ( x) (n + 1)!
若记ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成 ω n +1 ( x) l k ( x) = ′ ( x x k )ω n +1 ( x k ) 若取(x)=xk (k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有
i =0 k k ∑ l i ( x) xi = x n
k =0 n
(2.4)
就是函数(x)满足插值条件(2.2)的n次插值多项式. 称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk (k=0,1,…,n)的n 次Lagrange插值基函数,(2.4)式确定的n次多项式Ln(x)称 Lagrange插值基函数, Lagrange插值基函数 为n次Lagrange插值多项式. Lagrange插值多项式. Lagrange插值多项式 由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n), 所以可设 lk(x)=c(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) 再由lk(xk)=1确定c,从而有
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) = ( x 0 x1 )( x 0 x 2 )
( x x 0 )( x x1 ) l 2 ( x) = ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
,
( x x 0 )( x x 2 ) l1 ( x) = ( x1 x 0 )( x1 x 2 )
1 f [ x 0 , x1 , L , x k ] = ∑ f (x j ) j =0 ω ′ ( x ) n +1 j
k
(2)差商对节点具有对称性,即
f [ x i , x i , L , x i ] = f [ x 0 , x1 , L , x k ]
0 1 k
其中,i0,i1,…,ik是0,1,…,k的任一排列. (3)n次多项式(x)的k阶差商,当k≤n时是一个n-k次多
§3.1 差商及其性质 称(xj)-(xi)与xj-xi(i≠j)的比值为(x)关于点xi,xj 的一阶差商 一阶差商,并记为[xi,xj],即 一阶差商
f [ xi , x j ] = f ( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , x k ] f [ xi , x j ] x k xi
ln11.25≈L2(11.25) =
= 2.420426
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误 差估计式
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 10)(11.25 11)(11.25 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058. 在被插值函数未知或无法估计其高阶导数界时,上述 插值余项不能用来估计误差,下面介绍事后误差估计法. 记Ln(x)是(x)以x0,x1,…,xn为节点的n次插值多项 式而Ln(1)(x)为(x)以x1,x2,…,xn,xn+1 为节点的n次插值多 项式,由于
(2.6)
如在例3中,再以节点x1=11,x2=12,x3=13作二次插值多 项式L2(1)(x),则L2(1)(11.25)=2.420301,由(2.7)式得
11.25 10 R2 ( x) ≈ (2.420426 2.420301) = 0.000052 10 13
11.25 13 11.25 10 2.420426 + 2.420301 = 2.420374 10 13 13 10