第二章 插值法
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第二章 插值法--课堂
考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念
第二章 插值法
项式是唯一存在的。
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
2 第二章 插值法
（7） l k ( x), l k 及x k 1上满足条件：
l k ( x) 1.l k ( x k 1 ) 0, l k 1 ( x k ) 0, l k 1 ( x k 1 ) 1. 我们称函数l k ( x)及l k 1 ( x)为线性插值基函数。见 下图：
设 y f ( x)在区间 [a, b] 上连续，且在n 1 个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为y0 , y1 ,, yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中，求一简单函数 P( x), 使 P( xi ) yi (i 0,1, , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P( x)作为 f ( x) 的近似。
y L1 ( x)的几何意义就是通过两 点（xk , y k )与（xk 1 , y k 1 )的直线， 如上图所示， （x）的表达式可由几何意 L1 义直接给出： y y L ( x)
1
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x k 1
x
y k 1 y k L1 ( x) y k ( x xk ) xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk y k 1 xk 1 xk xk 1 xk
k 0
n1 ( x) 从而公式（ ）可改写成： n ( x) y k 13 L ( x xk ) n1 ( xk ) k 0
n
(15)
注：n次插值多项式 n ( x)一般应为次数为 的多项式。特殊情况下 L n 次数 可能小于n。如过三个共线点（ 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )的二次插值多项 x 式L（x)就是一条直线而不是抛 物线。 2
第2章插值法
的n次插值多项式，则对于任何 xa，,b有
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
（2.9）
x
其中 n1(x) n (x xi ) , (a,且b)依赖于 。
证明 点都是
由插i值0 条件
知
的零点，故可设Pn(xi)f(xi)
Rn (xi ) 0(i 0,，1,即插, n值) 节
当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望 根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造
某个简单函数P(x)作为 的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、
然而却是目前常用f 的x方法，它不仅直接广泛地
应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一 步学习数值计算方法的基础。
4
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（图2-3
例1 已知
分别用线性插值和抛物插值
求
的1值0 。1 0,012 11,1 14 1 42
115
15
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解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(
x)
17
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输入xi,yi,n,x
j=0,1,```,n
P=1
y=0
k=0,1,```,n
k=j?
否 P=P*(x-xj)(xk-xj)
是
输出x,y
图2-4
y=y+P*yk
18
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lk (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
（2.9）
x
其中 n1(x) n (x xi ) , (a,且b)依赖于 。
证明 点都是
由插i值0 条件
知
的零点，故可设Pn(xi)f(xi)
Rn (xi ) 0(i 0,，1,即插, n值) 节
当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望 根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造
某个简单函数P(x)作为 的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、
然而却是目前常用f 的x方法，它不仅直接广泛地
应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一 步学习数值计算方法的基础。
4
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（图2-3
例1 已知
分别用线性插值和抛物插值
求
的1值0 。1 0,012 11,1 14 1 42
115
15
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解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(
x)
17
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输入xi,yi,n,x
j=0,1,```,n
P=1
y=0
k=0,1,```,n
k=j?
否 P=P*(x-xj)(xk-xj)
是
输出x,y
图2-4
y=y+P*yk
18
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lk (x)
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
第二章插值法多项式插值的存在性
第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
第2章 插值法
2.3.2 均差及其性质
差商的基本性质:
由(3.4)得差商表:
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …
0 x0 f(x0) 1 x1 f(x1) 2 x2 f(x2) 3 x3 f(x3) 4 x4 f(x4) ┆ ┆┆
f[x0, x1] f[x1, x2] f[x2, x3] f[x3, x4]
。
1.0
这说明用高次插值多项
式Ln(x)近似f(x)效果并不
0.5
好，因而通常不用高次
插值，而用分段低次插值。
-5
0
5x
二、分段线性插值 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
二、分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
yk
0
xk
y=L1(x) y=f(x)
yk+1
xk+1
x
y
1 1 图 2-3
1
0
xk
xk+1
x
几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。
y 1
0
Xk-1
x xk Xk+1
图 2-4
2.2.2 拉格朗日插值多项式
需要指出(2.3)式与（2.5）式是当n=1和n=2时的特殊 情形。
例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=
0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.
§2.3 差商与牛顿插值
2.3.1 插值多项式的逐次生成
插值法
第一节 Lagrange插值
一、问题提出
设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi f ( xi )，i 0,1,n
为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) yi，
i 0,1,n .
这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数，Pn ( x) 称 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
评价
优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
第二节 Newton插值
一、差商定义及性质
1.差商定义 f ( x ) f ( x ) i j f [ xi , x j ] , i j 为 f ( x) 在 xi , x j 称 两点处的一阶差商.xi x j
( n1) ( ) f ( n1) ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! 0 ( x)
由此得
. f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)! 定理得证.
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
第2章 插值法(演示)
第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,]i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,nx x 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,i i f f x i n == 是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n nL P ∈满足插值条件(2-2)。
第二章：插值法
（2.1）
满足(2.1)式的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
先考虑 l0(x)。因 l0(x)是以 x1, x2 为零点的二次多项式,
所以它可写成 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系 数。 又因为 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则可有
n
| x - xi |
i=0
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
例1 求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
-
3
);
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
例3 考虑下述的插值法问题：求二次多项式P(x)，满足 P(x0) = y0, P(x1) = y1，P(x2 ) = y2， 其中 x0 x2，y0、y1、y2 是已给的数据并给出使这一问题的解存在且唯一的条件.
x0 )(x -
x1 )，
[ x0 , x1 ]
当n = 2时 ， 抛 物 插 值 的 余 项 为
R2 ( x) =
1 6
f ( )( x -
x0 )(x -
x1 )(x -
x2 )，
[x0 , x2 ]
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
满足(2.1)式的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
先考虑 l0(x)。因 l0(x)是以 x1, x2 为零点的二次多项式,
所以它可写成 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系 数。 又因为 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则可有
n
| x - xi |
i=0
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
例1 求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
-
3
);
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
例3 考虑下述的插值法问题：求二次多项式P(x)，满足 P(x0) = y0, P(x1) = y1，P(x2 ) = y2， 其中 x0 x2，y0、y1、y2 是已给的数据并给出使这一问题的解存在且唯一的条件.
x0 )(x -
x1 )，
[ x0 , x1 ]
当n = 2时 ， 抛 物 插 值 的 余 项 为
R2 ( x) =
1 6
f ( )( x -
x0 )(x -
x1 )(x -
x2 )，
[x0 , x2 ]
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
第二章 插值法
求次数不超过n的多项式Ln ( x), 使满足
Ln ( xi ) yi (i 0,1,, n) (1)
这就是拉格朗日（ Lagrange ）插值问题. 插值条件
Ln ( x)称为f ( x)的插值多项式 f ( x)称为被插值函数. , 点xi (i 0,1,2,, n)插值节点 [a, b]称为插值区间 , .
14 上一页 下一页 返回
注： 若记 n1( x ) ( x xi ) ，则插值余项为
f ( ) Rn ( x ) n1( x ) . ( n 1)!
i 0 ( n1)
n
通常不能确定 , 而是估计 f
( n 1 )
( x ) M n 1
, x(a,b)
L1 ( x ) 11
得
125 L1(125) 11.17391
125 的准确值为 125 11.1803398 ＝
11 上一页 下一页 返回
用抛物插值计算
选择x0 100, x1 121 x2 144 ＝ ＝ , ＝ 为插值节点 则 ,
( x 121 x 144) )( ( x 100)( x 144) L2 ( x ) 10 11 (100 121 100 144) )( (121 100)(121 144) ( x 100)( x 121 ) 12 (144 100)(144 121 )
由插值条件可得关于系 a0 , a1 , a2 ,an的线性方程组 数
a0 a1 x0 a 2 x0 2 a n x0 n y0 其系数行列式为范德蒙行列式 2 n 2 n a0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 1 x0 x0 x0 2 n 1 x1 x1 x1 ( x j xi ) 0 2 n j i a0 a1 x n a 2 x n a n x n yn 2 n 1 xn xn xn
Ln ( xi ) yi (i 0,1,, n) (1)
这就是拉格朗日（ Lagrange ）插值问题. 插值条件
Ln ( x)称为f ( x)的插值多项式 f ( x)称为被插值函数. , 点xi (i 0,1,2,, n)插值节点 [a, b]称为插值区间 , .
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注： 若记 n1( x ) ( x xi ) ，则插值余项为
f ( ) Rn ( x ) n1( x ) . ( n 1)!
i 0 ( n1)
n
通常不能确定 , 而是估计 f
( n 1 )
( x ) M n 1
, x(a,b)
L1 ( x ) 11
得
125 L1(125) 11.17391
125 的准确值为 125 11.1803398 ＝
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用抛物插值计算
选择x0 100, x1 121 x2 144 ＝ ＝ , ＝ 为插值节点 则 ,
( x 121 x 144) )( ( x 100)( x 144) L2 ( x ) 10 11 (100 121 100 144) )( (121 100)(121 144) ( x 100)( x 121 ) 12 (144 100)(144 121 )
由插值条件可得关于系 a0 , a1 , a2 ,an的线性方程组 数
a0 a1 x0 a 2 x0 2 a n x0 n y0 其系数行列式为范德蒙行列式 2 n 2 n a0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 1 x0 x0 x0 2 n 1 x1 x1 x1 ( x j xi ) 0 2 n j i a0 a1 x n a 2 x n a n x n yn 2 n 1 xn xn xn
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
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26
证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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18
总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
2019/1/15 7
§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
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§ 2.2.1
线性插值的局限性
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12
三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
第二章 插值法
xi
(i=0,1,…,n )
望 (x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由
于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所
以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多
项式。
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
P( x) an x an1 x
第二章
§ 1引言 问题的提出
点的函数值 yi= f(xi)
插值法
* 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列 * 或者给出函数表
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
…… ……
xn yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1 ,, xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知
l0 ( x) l1 ( x) 1
1 (i k ) l k ( xi ) ki 0 (i k )
l 0 ( x) 与 l1 ( x) 称为线性插值基函数。且有 1 x xj l k ( x) , k 0,1 j 0 x k x j
j k
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
这是一个关于待定参数 a0 , a1 ,, an 的n+1阶线性方 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种 程组,其系数矩阵行列式为 形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结 果都是相互恒等的。
V
1 x0 1 x1 1 xn
2 x0 x12
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x x0 f ( x) Ln ( x) ≈ ( Ln ( x) L(1) ( x)) n x0 xn +1
(2.7)
由(2.6)式也可得到ln11.25的新的近似值
ln 11.25 ≈
பைடு நூலகம்
实际上,(2.6)式右侧恰是(x)以x0,x1,…,xn,xn+1为节 点的n+1次插值多项式.
§3 Newton插值多项式 插值多项式
k =0 n
(2.4)
就是函数(x)满足插值条件(2.2)的n次插值多项式. 称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk (k=0,1,…,n)的n 次Lagrange插值基函数,(2.4)式确定的n次多项式Ln(x)称 Lagrange插值基函数, Lagrange插值基函数 为n次Lagrange插值多项式. Lagrange插值多项式. Lagrange插值多项式 由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n), 所以可设 lk(x)=c(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) 再由lk(xk)=1确定c,从而有
ln11.25≈L2(11.25) =
= 2.420426
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误 差估计式
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 10)(11.25 11)(11.25 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058. 在被插值函数未知或无法估计其高阶导数界时,上述 插值余项不能用来估计误差,下面介绍事后误差估计法. 记Ln(x)是(x)以x0,x1,…,xn为节点的n次插值多项 式而Ln(1)(x)为(x)以x1,x2,…,xn,xn+1 为节点的n次插值多 项式,由于
§3.1 差商及其性质 称(xj)-(xi)与xj-xi(i≠j)的比值为(x)关于点xi,xj 的一阶差商 一阶差商,并记为[xi,xj],即 一阶差商
f [ xi , x j ] = f ( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , x k ] f [ xi , x j ] x k xi
若记ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成 ω n +1 ( x) l k ( x) = ′ ( x x k )ω n +1 ( x k ) 若取(x)=xk (k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有
i =0 k k ∑ l i ( x) xi = x n
(ξ x ) Rn ( x) = f ( x) Ln ( x) = ω n +1 ( x) ( n + 1)! f
( n +1)
(6.5)
其中ξx∈(a,b)且与x有关. 证
由于Rn(xi)=(xi)-Ln(xi)=0(i=0,1,…,n),所以
Rn(x)=C(x)ωn+1(x) 对于任一x∈[a,b],x≠xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=(t)-Ln(t)-C(x)ωn+1(t) 则有 (xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0 ′ 即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点. 由Rolle定理可知′(t) 在[a,b]至少有n+1个零点, 反复应用Rolle定理知(n+1)(t) 在[a,b]至少有1个零点ξx, 于是 0= 0= (n+1)(ξx)=(n+1)(ξx)-C(x)(n+1)!
, k = 0,1, L , n
特别当k=0时,有
i =0
∑ l i ( x) = 1
n
例1 求(x)关于节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式 解 对节点x0,x1,Lagrange插值基函数为 于是有
x x1 l 0 ( x) = x 0 x1 ,
l1 ( x) =
x x0 x1 x 0
(2.6)
如在例3中,再以节点x1=11,x2=12,x3=13作二次插值多 项式L2(1)(x),则L2(1)(11.25)=2.420301,由(2.7)式得
11.25 10 R2 ( x) ≈ (2.420426 2.420301) = 0.000052 10 13
11.25 13 11.25 10 2.420426 + 2.420301 = 2.420374 10 13 13 10
,
于是有
( x x 0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) f ( x1 ) L2 ( x ) = f ( x0 ) + ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) f ( x2 ) + ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
x x0 x x1 L1 ( x) = f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 x1 x1 x 0
易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线. 例2 求(x)关于节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多 项式. 解 对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
而称
f [ xi , x j , x k ] =
为(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商 一般地,称 二阶差商. 二阶差商
f [ x1 , x 2 , L , x k ] f [ x 0 , x1 , L , x k 1 ] f [ x 0 , x1 , L , x k ] = xk x0
为(x)关于点x0,x1,…,xk的k阶差商.以上定义中,点x0,x1, k阶差商. …xk为互不相同的点. 差商具有以下性质: (1)k阶差商[x0,x1,…,xk]可以表示成 (x0), (x1), …,(xk)的线性组合
(ξ x ) 因而有 C ( x) = (n + 1)! , f
( n +1)
所以
f
( n +1)
(ξ x ) Rn ( x) = ω n +1 ( x) ( n + 1)!
若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值余项 也可写成
M n +1 Rn ( x) ≤ ω n +1 ( x) (n + 1)!
第2章 插值法
§1 引言
设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个点 a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b 作为(x)的近似表达式,使满足 (xk)=(xk)=yk ,k=0,1,…,n 称y=(x)为被插值函数; 被插值函数; 被插值函数 x1 ,…,xn为插值节点; 插值节点; 插值节点 称式(2.2)为插值条件; 插值条件; 插值条件 (2.2) 寻求插 称(x)为插值函数; 称x0 , 插值函数; 插值函数 (2.1) 已知(xk)=yk(k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一函数(x)
1 f [ x 0 , x1 , L , x k ] = ∑ f (x j ) j =0 ω ′ ( x ) n +1 j
k
(2)差商对节点具有对称性,即
f [ x i , x i , L , x i ] = f [ x 0 , x1 , L , x k ]
0 1 k
其中,i0,i1,…,ik是0,1,…,k的任一排列. (3)n次多项式(x)的k阶差商,当k≤n时是一个n-k次多
值函数(x)的方法称为插值方法. 称为插值方法. 称为插值方法 在构造插值函数时, 函数类P的不同选取, 对应不同的
插值方法,这里主要讨论函数类 P是代数多项式,即所谓的多项 式插值. 多项式插值,从几何上 看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的n次代数曲线
y
y=(x) y=pn(x)
(ξ x ) f ( x) Ln ( x) = ( x x 0 )( x x1 ) L ( x x n ) (n + 1)! f
( n +1)
(ξ x ) f ( x) L ( x) = ( x x1 )( x x 2 ) L ( x x n )( x x n +1 ) ( n + 1)!
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) = ( x 0 x1 )( x 0 x 2 )
( x x 0 )( x x1 ) l 2 ( x) = ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
,
( x x 0 )( x x 2 ) l1 ( x) = ( x1 x 0 )( x1 x 2 )
例3 给定函数表 x lnx 10 2.302585 11 2.397895 12 2.484907 13 2.564949
用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 11)(11.25 12) × 2.302585 (10 11)(10 12) (11.25 10)(11.25 12) (11.25 10)(11.25 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 10)(11 12) (12 10)(12 11)
§2 Lagrange插值多项式 插值多项式
对n+1个节点x0,x1,…,xn ,构造n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…,ln(x),使满足 li(xj)=δij ,i,j=0,1,…,n (2.3)
那么 Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn = ∑l k ( x) yk