数学建模__微分方程模型

x(t) x(t)
t T ln x(0)
ln 2 x(t) (1.8)
这样由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时
体内14C的蜕变速度 x(0) 和现在时刻t的蜕变速
度x(t) ,就可以求得生物体的死亡时间了，在实
际计算上，都假定现代生物体中14C的蜕变速
度与生物体死亡时代生物体中14C的蜕变速度
实例2 碳定年代法
考古、地质学等方面的专家常用14C测 定法（通常称碳定年代法）来估计文物或 化石的年代。
• 14C的蜕变规律
• 14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使 大气层产生中子，中子与氮气作用生成的 具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化 成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而 植物又作为动物的食物，于是放射性碳被 带到各种动植物体内。
记作P0 (x0, y0). 它也是方程(3-3)的解.
如果
lim x(t)
t
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 ,
则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设
f (P0 )
p
f
(P0 x
)
g ( P0 y
)
,
q
x g(P0 )
x
f (P0 ) y
g(P0 ) y
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
碳定年代法的根据
活着的生物通过新陈代谢不断摄 取14C,因而他们体内的14C与空气 中的14C含量相同，而生物死亡之 后，停止摄取14C，因而尸体内的 14C由于不断蜕变而不断减少。碳 定年代法就是根据生物体死亡之后 体内14C蜕变减少量的变化情况来 判断生物的死亡时间的。
碳定年代法的计算
由（1.4）解得
降的，这就是所要建立的数学模型。
由于这个模型是一阶线性微分方程， 很容易求出其特解为
T 126ekt 24
由T(10)=100 ,可定出K≈0.05
所以
T 126 e0.05 t 24
当t=20时
T (20) 126 e 0.0520 24 46 0 C
思考题：
估计凶杀的作案时间
某天晚上11:00时，在一住宅内发现一 受害者的尸体，法医于11:35分赶到现场， 立刻测量死者的体温为30.8℃，一小时后 再次测量体温为29.1℃，法医还注意到当 时室温为28℃，试估计受害者的死亡时间 。
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
5.1 微分方程模型及几个简单实例
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系 式,这就是微分方程.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计，可利用参数 估计方法.
5.1.2 几个简单实例
实例1 冷却问题
将温度为T。=150℃的物体放在温度为 24℃的空气中冷却，经10分钟后，物体温 度降为T=100℃，问t=20分钟时，物体 的温度是多少？
解：设物体的温度T随时间t的变化规律为 T=T(t)
则由冷却定律及条件可得：
dT
dt
k(T
24)
其中K >0为比T例(0常) 数1，50负0 c号表示温度是下
① 若 f (x0 ) 0, 则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f (x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定
性, 设
dx dt
f
(x, y),
dy dt
g(x,
y).
(3 3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g
(
Leabharlann Baidu
x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(3-3)的平衡点,
• 14C是放射性的，无论在空气中还是在生物 体内他都在不断蜕变，这种蜕变规律我们 可以求出来。通常假定其蜕变速度与该时 刻的存余量成正比。
设在时刻t（年），生物体中14C的存量为x(t), 生物体的死亡时间记为t0=0,此时14C含量为 x0,由假设，初值问题
dx dt
kx
（1.1）的解为
x(0) x0
x(t) x0ekt（1.2） 其中，为常数，k前面的符号表示14C的存量
是递减的。（1.2）式表明14C是按指数递减
的，而常数k可由半衰期确定，
若14C的半衰期为T,则有
x(T )
x0 2
(1.3)
将（1.3）代入（1.2）得
即有
k＝
1 T
ln2（1.4）
ln 2t
x(t) x0e T
t
T ln 2
ln
x0
x(t)(1.5)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)
作如下修改.
对(1.2)式两边求导数，得
x(t) x0kekt kx(t) (1.6) 而 x(0) kx(0) kx0 (1.7)
(1.6)和(1.7)两式相除，得 x(0) x0
将
上式代入(1.5)，得
而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下知识只对其平衡点的稳定性加以讨论.
5.1.1 微分方程模型
设
dx f (x) dt
(3 1)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(3-1) 的平衡点(或奇点). 它也是方程(3-1)的解.
如果
lim
t
x(t)
x0
则称平衡点x0是稳定的.
相同。
马王堆一号墓年代的确定
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得
出土的木炭标本的14C平均原子蜕变数为
29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中14C 平均
微分方程模型
5.1 微分方程模型及几个简单实例 5.2 传染病模型 5.3 经济增长模型 5.4 正规战与游击战 5.5 药物在体内的分布与排除 5.6 香烟过滤嘴的作用 5.7 人口的预测和控制
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
稳定性判别方法
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ),在讨论方程(3-1)的
稳定性时，可用
来代替.
dx dt
f
(x0 )(x
x0 )
(3 2)
易知 x0也是方程(3-2)的平衡点. (3-2)的通解为
x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论：
这个结论对 于(4-1)也是