武汉大学高等代数内部讲义

武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）
目录
真题分析 (3)
参考书目知识点分析 (4)
重点知识点汇总分析（大纲） (4)
武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析 (13)
第一章多项式 (13)
第二章行列式 (13)
第三章线性方程组 (16)
第四章矩阵 (20)
第五章二次型 (28)
第六章线性空间 (32)
第七章线性变换 (37)
第八章入-矩阵与约当标准型 (41)
第九章欧几里得空间 (42)
第十章双线性函数与辛空间 (45)
武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析
真题分析
年份题型分值考察范围考察难度
（了解、理解、掌握、应用）
2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求
未知数，求线性空间的一个基
计算的题目都不是很难，只
要是按定义来做都是可以做出来
的
证明110证明向量的线性相关性，证明与
方程组解个数有关的不等式，特殊矩
阵有关的证明，特征值的范围，矩阵
相似，线性变换
证明题中前面几个很简单属
于理解定义就可以做的，后面关
于线性变换的题目有一定难度
2008计算70行列式求值球线性空间的位数
和一组基，求满足条件的正交变换，
求零化多项式，极小多项式，Jordan
标准型，求双线性变换的矩阵。

计算的题目都不是很难，只
是有些计算起来有些复杂，只要
细心就可以了，这基本属于理解
定义就可以的题目
证明80证明满足某种条件矩阵存在性
的问题，线性子空间的直和证明矩阵
可逆，证明矩阵正定、合同，证明不
变子空间，证明矩阵之间秩的关系
前面两个证明存在性的问题
看起来是比较新的题型，但具体
分析一下就知道这都是很简单
的，只是最后一个证明矩阵之间
秩的不等式难度较大，是已有知
识的一个应用
2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列
式的值，求线性方程组的基础解系，
求不变因子，约当标准型，极小多项
式，线性变换的基
计算题的题目都不是很难，
一般只要是考生能正确的应用定
义就可以做出来。

证明80线性方程组是否有公共解，关于
代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵
的正定，矩阵的相似，线性子空间的
直和，线性变换的对角化问题，两个
线性变换之间的关系
证明题相对于计算题来说难
度稍微大一些，但根据最近这些
年武汉大学线性代数出题的规律
来看，代数的题目都不难，所以
基础一定要扎实。

综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和证明题型，难度略有增加，侧重于对基础知识点的掌握，在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系，需要了解的只是大多数是定义之类的简单东西，我们必须看到定义之间的练习，才能在做题的时候不混淆，对于熟悉的知识点，这类知识我们应该找一部分习题进行一下简单训练，这类知识点一般不会出很难得题目，但肯定会在考试中涉及，所以进行一定的训练是很有必要的；对于掌握的知识点，这类知识点是考试的重点，一定要多花些时间来做，首先是看一遍课本，然后做完课本上相应的习题，对这类知识点先有个大体的了解，然后再做我们所推荐的那两本习题，将那上面的相关题目完成后对付考研是没问
题的。

参考书目知识点分析
初试专业课《高等代数》总共包括1本书下面我将主讲高等代数的复习概要，同学可以做个标注：《高等代数》
章节章节名称重点难点必考点考试题型分值第1章多项式×××无
第2章行列式√√计算行列式的值15第3章线性方程组√√求解题目中的参
数
15
第4章矩阵√√√求矩阵的逆或证
明矩阵秩之间的
关系
25
第5章二次型√√√与正定矩阵、半
正定矩阵、负定
矩阵、半负定矩
阵有关的证明
15
第6章线性空间√证明线性空间同
构，或求先行空
间的维数
15
第7章线性变换√√√求线性变换的特
征向量特征值特
征子空间，不变
子空间等
20第8章入-矩阵与约当标准型√求约当标准型15
第9章欧几里得空间√对称变换，反对
称变换，正交变
换，正交矩阵有
关的证明
15
第10章双线性函数与辛空间√求双线性变换的
矩阵
15重点知识点汇总分析（大纲）
序号知识点细分难易程度（最大为★★★）
1 多
项
式
多项式的概念两种不同的定义
不定元的观点
★
函数观点
2多项式的运算加法、减法、乘法★
3 多项式的次数 不为零的项的最高次数为该多形式的次数 ★
4 整除及其性质
★ 5 最大公因式
首项系数为1的最大公因式记为（)(x f ，)(x g ）
★
6 多项式互素
1)()()()(=+x g x x f x νμ
★ 7 不可约多项式及其性质 ★ 8
因式分解定理
★
9
重因式 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因
式，
如果),(/)(x f x p k
而)
1(+k p
不整除)(x f
★
10 多项式的根 ★ 11 本原多项式 ★★ 12 艾森施坦因判别法 ★ 13 多元多项式 ★★ 14 对称多项式
★★★ 15 行列式
行列式的定义，逆序的定义 )...(21n j j j τ为排列n j j j ...21的逆序数。

★
16 行列式的性质 转置以后其值不变，变换行列式的两行（列），行列式改变符号
★
17 按一行（列）展开
★ 18 行列式的乘法
★ 19
拉普拉斯定理 (laplace 定理)
★★
20 线
性方程
组 克莱姆法则 （Cramer 法则）
设nn
n n
a a a a A
1111= ，且0≠A ，则有唯一解，其解为),,(21A
D A D A D n
★
21
向量的线性相关性
设n
n p
∈ααα,,,21 ，若方程组
02211=+++n n x x x ααα ，
在p 中有非零解，
则称n ααα，，
， 21线性相关，否则称它们线性无关。

★★
22
线性方程组解得情况分类
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的
系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
★★
23
矩
阵矩阵及其运算
矩阵的加法★
矩阵的数乘★
矩阵的乘法★
矩阵的转置★
24可逆矩阵与逆矩阵伴随矩阵及其性质★★逆矩阵及其性质★★求逆矩阵的两种方法
I)用公式;
1
*
1A
A
A=
- II)初等变换法★
25初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵
★
26分块矩阵分块矩阵的运算★★分块矩阵的初等变换★★分块矩阵求逆的方法★★
27矩阵的秩
秩()A=秩('A);★
秩()
kA=秩()A，其中k为非零常数★
秩()()A
A秩
≤
*★
秩()B
A+≤秩()+
A秩()B★
28矩阵的分解
矩阵的和分解★★
矩阵的积分解★★★
29
二
次
型二次型的标准形二次型的矩阵表示★
二次型与矩阵的合同★
30对称矩阵n阶对称矩阵合同于对角矩阵★n阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T 使
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=-
n
AT
T
AT
T
λ
λ
λ
2
1
1
'★★
31实二次型与复二次型的规范型
复二次型经过适当的满秩线性变换（复）可变
为2
2
2
2
1r
y
y
y+
+
+ ★
实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为
2
2122221r p p y y y y y ---++++
★
32 符号差p-q=S 33 对称矩阵的性质
两个复对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等
★
两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的符号差
★
34 正定二次型判定条件
A 与E 合同，A 的一切顺序主子式全大于零。

或A 的特征值全为正。

★
35
二次型)(21n x x x f 是负定二次
型的充要条件是)(21n x x x f - 是正定二次型。

★
36
二次型)(21n x x x f 是负定的充
分必要条件是它的顺序主子式负、正相间。

★★
37
n 元实二次型 正定二次型：正惯性指数＝秩＝n ★ 半正定二次型：正惯性指数＝秩
★ 负定二次型：负惯性指数＝秩＝n ； ★ 半负定二次型：负惯性指数＝秩 ★ 不定二次型：其他
★ 38
线性空间
线性空间的简单性质
加法交换律 ★ 加法结合律
★
在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0
★
对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素β，
使得0=+βα ★
1·α=α；
★ αα)()(kl l k = ★ αααl k l k +=+)( ★ βαβαk k k +=+)(
★
39 维数 果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的. ★★
40 基 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量
★★
n εεε,,,21 称为V 的一组基，
41
坐标 设n n a a a εεεα+++= 2211，
其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基
n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标.
★
42
过渡矩阵 ★★
43 线性子空间
数域P 上线性空间V 的一个非空子集合
W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间）
，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间.
★★
44
子空间的交与和
1212{}V V v V v V =∈∈且，称为子空间的交；
12121122{|,}V V v v v V v V +=+∈∈，称为子空
间的和。

★★
45 子空间的直和
★★★ 46
同构
);()()(βσασβασ+=+
★ ),()(ασασk k =
★
47 基本结论
线性空间V 的非空子集W 是V 的子空间的充分必要条件是W 对于V 的两种运算是封闭的.
★
1212(,,,)(,,,)s t L L αααβββ=⇔向量组
s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 等价，且
)
,,,(dim 21s L ααα 等于向量组
s ααα,,,21 的秩
★
如果21,V V 是线性空间V 的子空间，那么
21V V ，21V V +都是V 的子空间.
★
).dim()dim(dim dim 212121V V V V V V ++=+
★★★
18
数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
★
49
线
性变
换 线性映射的定义
设,U V 为数域K 上的线性空间，
:U V ϕ→为映射，且满足以下两个条件
()()(),(,)
U ϕαβϕαϕβαβ+=+∀∈；
()(),(,)k k U k K ϕαϕαα=∀∈∈，
★
50 单线性映射 ϕ是单射 ★ 51 满线性映射 ϕ是满射
★ 52 同构映射
ϕ既单又满，
★ 53
ϕ的核（kernel ）
ker {|()0}U ϕαϕα=∈=
★
54
ϕ的像（image ）
im ={|,.()}V U s t ϕβαϕαβ∈∃∈=，
也记为()U ϕ
★
55
ker ϕ和im ϕ是V 的子空间 ★
56
线性映射f 是单的当且仅当
ker }0{=f ，f 是满的当且仅当coker }0{=f
★
57 线性映射的运算的定义与性质 加法与数域K 上的数量乘法
★ 58 线性映射在一组基下的矩阵
★ 59 线性变换 线性空间到自身的线性映射称为线性变换 ★ 60 线性变换的矩阵
★★ 61
矩阵的相似
二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。

★★★
62
线性变换的特征值与特征向量的定义
若存在非零向量V ξ∈，使得对于某个K λ∈，
有ξλξ=A ，则称ξ是A 的属于特征值λ的特征向量。

★
63
线性空间V 中属于确定的特征值λ的特征向量（添加上零向量）构成子空间
特征子空间 ★★
64
特征值和特征子空间的计算、特征多项式
()f E A λλ=-被称为线性变换A 的特征多
项式
★★
65 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关
★ 66
维空间的具有 个不同特征值的
线性变换的矩阵相似于对角矩阵.
67 n 维空间线性变换的矩阵相似于
对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。

★★ 68
线性变换的不变子空间
★★★
69
如果n 维空间V 上的线性变换A 的矩阵相似于对角矩阵，则A 在
任一不变子空间M 上（的限制）的矩阵相似于对角矩阵。

★★
70 入-矩阵与约当标准型
入-矩阵的可逆
★
71 入-矩阵的初等变换
★ 72
入-矩阵等价的定义 经一系列初等变换可以得到
★
73 入-矩阵的标准型
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=s 2
1
J 00
J J J ,i
i n n i i i i
0101
J ⨯⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ ★
74 入-矩阵的行列式因子
★ 75 入-矩阵的不变因子
入-矩阵的标准型对角线上的元素
★ 76 两个入-矩阵等价的充分必要条
件是他们有相同的不变因子
★ 77 矩阵A 的不变因子 入E-A 的不变因子
★ 78 入-矩阵的初等因子 所有次数大于等于1的因式
★ 79 矩阵的Jordan 标准型 与A 相似的Jordan 型矩阵成为A 的Jordan 标准型
★★★ 80
Hamilton –Cayley 定理
A 是数域K 上的n 阶方阵,f 是A 的特征多项式,则f(A)=0.
★★
81 最小多项式. 设A 是数域K 上一个n 阶方阵,A 的首项系数为1的最低次化零多项式称为A 的最小多项式.
★★
82 欧
几里得
空间 内积 就是一个正定、对称的双线性函数
★ 83 欧几里得空间 具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）；
★
84 长度或模
),(||ααα=
★
85
柯西-布尼雅可夫斯基不等式 |||||),(|βαβα⋅≤
★★
86
度量矩阵是实对称矩阵,并且是正定的
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(21
2221
212111n n n n n n G εεεεεεεεεεεεεεεεεε ★★
87 标准正交基
★ 88 正交矩阵.
E T T ='
★★ 89
施密特(Schmidt)正交化方法
★★★
90 欧式空间中子空间M 的正交补
{}0),(|=∈∈=⊥βαβα有对一切M V M
★ 91
⊥⊕=M M V
★★
92
欧氏空间同构映射
(1) σ是线性空间21V V 到的的同构映射 (2) σ保持内积关系.
★★
93 正交变换
设V 是n 维欧氏空间，A 是V 内一个线性变换.如果对任意V ∈βα,都有
(A ,αA )β=),(βα
★★
94 第一类正交变换 正交变换A 在某一组基下的矩阵的行列式为1 ★ 95 第二类正交变换.
如果行列式为-1
★ 96
正交矩阵的特征多项式的根的绝
对值等于1
★★
97
对称变换
设A 是n 维欧氏空间V 内的一个线性变换，
如果对∀βα,∈V ，都有 （A α,β）=(α, A β)
★
98
n 维欧氏空间V 上的线性变换A
是对称变换当且仅当它在标准正
交基n 21εεε，，
，⋯下的矩阵A 是实对称矩阵.
★
99 实对称矩阵A 的特征根都是实数. ★★
100
n 维欧氏空间上V 的对称变换A
的不变子空间M 的正交补⊥
M 仍是不变子空间.
★★
101
设n 维欧氏空间上的对称变换某
组标准正交基下的矩阵呈对角形 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵T ，使得)(1
AT T AT T
'=-为对角阵.
★
102
双线
性函数与辛
空间
线性函数的定义 :f V K →为映射，满足
()()(),,f f f V αβαβαβ+=+∀∈；
()(),,f k kf k K V
ααα=∀∈∈
★
103
双线性函数的定义 11221122(,)(,)(,)
f k k k f k f ααβαβαβ+=+11221122(,)(,)(,)f l l l f l f αββαβαβ+=+
★★
104 双线性函数在给定基下的矩阵
()(,)i
j
f εε(1,1)i n j n ≤≤≤≤
★★★
105 双线性函数在不同基下的矩阵
设线性空间V 上的双线性函数f 在一组基
1,,n εε下的矩阵为A ，由基n εε,,1 到基
n ηη,,1 的过渡矩阵为T ，则f 在n
ηη,,1 下的矩阵为AT T '（合同）
★★
106 对称双线性函数
(,)(,)f f αββα=
★
107
f 为对称双线性函数
f 在任意一组基下的矩阵为对称矩阵
★
108 数域K 上的n 维线性空间V 上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵
★
武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析
第一章 多项式
本节课在武汉大学考研试题中不会涉及，所以可以不用复习。

第二章 行列式
本章节包括一下5个知识点
1． 行列式的定义：n n nj j j j j j nn
n n
a a a a a a a ...)1(212121)...(1111∑-=τ
其中)...(21n j j j τ为排列n
j j j ...21的逆序数。

2．行列式的性质
(1) 设D 为n 阶行列式，则T
D D =，即行列式转置以后其值不变。

(2) n 阶行列式D 某一行（列）有公因子可以提出来。

(3) n 阶行列式D 的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行
列式除这一行外全与原来行列式D 的对应的行一样。

(4) n 阶行列式D 中某行（列）的对应元素都相等，则D=0。

(5) n 阶行列式D 中某行（列）的对应元素成比例，则D=0。

(6) 把n 阶行列式D 的一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。

(7) 变换行列式的两行（列），行列式改变符号。

3. 一行（列）展开
设
ij a D =为阶行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，则
⎩⎨⎧≠==+++.0,
2211i k i k D A a A a A a kn kn k k k k ，当，当
⎩
⎨⎧≠==+++.,0,,2211j l j
l D A a A a A a nj nl j l j l 当当
4. 行列式的乘法
设1D 和2D 是任意两个阶行列式.且ij ij b D a D ==21,,则D D D =•21,而ij c D =.其中
)2,1,(1
n l k b a c il n
i ki ij ==∑=
5. 拉普拉斯定理 (laplace 定理)
设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行,由这k 个元素所组成的一切k 阶子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。

因为这一节比较基础而且这一节的内容对于后面几节的学习有很大帮助所以这5个知识点必须掌握。

基础阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点是会求行列式的值。

在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过看课本并完成课本后面的习题来初步熟悉以上所说的知识点，知道行列式表示一种特殊的计算方式，关键要搞清楚行列式的计算，一般地有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等），最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。

【知识点1】行列式的定义
【例题1】写出五阶行列式55
5115
11a a a a
中包含2513a a 的所有正项 分析：对于这个题我们只要知道行列式的定义，同时能够正确求一个排列的逆序数即可
解题：包含2513a a 的所有正项为：514234251354413225135244312513,,a a a a a a a a a a a a a a a
易错点：一定要写出行列式中所有包含2513a a 的象，这需要比较细心，这类的题难度不大。

【知识点2】行列式的性质
【例题2】设三阶矩阵21212132γγβαγγβγγα，，，，其中，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 均为三维向量，且已知
.2,18==B A 求行列式.B A -
分析：为了求行列式.B A -的值我们首先要分析一下A-B 是什么形式然后再利用行列式的性质
解题：由⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-212121232γγβαγγβγγαB A 得
：2462323
1
2222
121212121=-=-=-=-=-γγβγγαγγβγγαγγβαB A
易错点：行列式中提取常数时要提取某一行或某一列的公因式即可
习题：设A 为三阶方阵，*
A 为伴随矩阵，且
*1
83
1,81A A A -=-）（计算
答案：64
【知识点3】一行（列）展开,也就是求行列式的值 【例题3】设计算,,,2,1,0n k a k =≠
n
n a n n
n
n
n
n a n n n n a a a +-+----+++-
111113333322222
111111
32
1
分析：对于行列式求值的问题我们有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等），观察这个行列式的性质我们可以看出加边法会好一些
解题：原行列式D=
n
n a n n
n
n
n
n a n n n n a a a +-+----+++-
111113333322222
111111
32
1
=
n
n a n n
n
n
n
n a n n n n a a a +-+----+++-
11111033
3330222220111110111111132
1=
n
n a n
a n a a a 0
0000)1(00
3
00002000011111111
321
-------=
n
n n
k k a a a a a a k 0
0000
0000000000000000
00001
1111113211 -=∑
+=(1+∑=n k k a k 1)n a a a 21 易错点：对于这种n ×n 矩阵一定要根据特点选取适当的方法，这类题一般都有技巧不会让直接算得
习题：求行列式
2
22
1
2322
2
1
21312
12
1n
n n n n
n
a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x ------------
的值
解答：这个题计算有些复杂我写出了他的过程
∑=-----------==+--=-+-=+-=-+=----------------+-------------=n
i n i n
n n n n n n n n n
n n
n n n n
n n n n n n n n x a x D x x
a x
a x a xD x x a xD x a x
a x a x a a xD a x a x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a a x a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a x D 1
1
222
1
22
1
21
222
212111213
2
2112
2
13
2
1
32
3
2
31
323
22
2121312
1212
213232
3
2
323
22
2
1312
1)(00000
00
001000
知识点4和知识点5在行列式计算的过程中都有体现，这两个知识点只是提供了求解行列式的一种方法
第三章 线性方程组
给定一个一般的n m ⨯线性方程组，它有解、无解、有多少解，完全由其系数矩阵与增广矩阵的秩决定，亦即由行列向量的线性关系所决定。

此外，关于线性方程组的求解方法、解的结构的讨论，亦与线性关系有关，因而线性相关性是线性方程组的理论基础，因而我们的讨论就从这里开始。

本章内容大的知识点一共一下两个 1． 向量的线性相关性
1）n 维向量及其线性运算
2）设n
n p ∈ααα,,,21 ，若方程组02211=+++n n x x x ααα ，在p 中有非零解，则称
n ααα，，， 21线性相关，否则称它们线性无关。

3） ①α线性相关⇔α=0；α线性无关α⇔≠0
②βα,线性相关⇔它们的对应分量成比例；βα,线性无关⇔它们的对应分量不成比例 4）设()()n i a a a in i i i ,,2,1,,,21 ==α则n ααα,,,21 线性相关0=⇔ij a ；n ααα,,,21 线性无关0≠⇔ij a
5）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。

6）设()in i i i a a a ,,,21 =α （s i ,,2,1 =） ()it i in i i i b b a a a ,,,,,,121 =β （s i ,,2,1 =）若
s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 也线性无关。

7）①设n
m p ∈αααβ,,,,21 ，存在p k k m ∈,,1 ，使m m k k k αααβ+++= 2211，则称β可
由m αα,,1 线性表出（或线性表示）。

②设m ααα,,,21 为向量组（Ⅰ），s βββ,,,21 为向量组（Ⅱ），若组（Ⅰ）中任一i α都可由组（Ⅱ）线性表出，则称组（Ⅰ）可由组（Ⅱ）线性表出；若组（Ⅰ）与组（Ⅱ）可以互相线性表出，则称组（Ⅰ）与组（Ⅱ）等价。

③若m ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21m 线性相关，则β可由m ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一。

8）极大线性无关组，向量组的秩，两个等价的向量组有相同的秩。

2． 线性方程组
设给定了数域p 上的一个n m ⨯线性方程组b AX =⑴其中A 为m 行n 列的矩阵，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m b b b b 21。

0=AX 为（b AX =）导出方程组。

1） 非齐次线性方程组⑴有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 2） 方程组⑴若有解，则
ⅰ）当()=A R r <n 时，有无穷多解； ⅱ）当()=A R r =n 时，有唯一解。

3） 齐次线性方程组⑵有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，即
()A R <n 。

4） 方程个数m 与未知量个数n 相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行
列式等于零。

5） 任何一个有非零解的齐次线性方程组必有基础解系，且基础解系所含解的个数为n -()A R 即为自由未知量的个数。

一定要会求已知齐次线性方程组的基础解系。

6） 若方程组⑴有解，则⑴的一个解与它的导出方程组的一个解的和是⑴的一个解。

⑴的任意解
都可以写成⑴的一个特解和⑵的一个解的和。

若r n -ξξξ,,,21 为0=AX 的一个基础解系，则b AX =的全部解可表示为r n r n k k k --++++ξξξγ 22110 其中0γ为方程组⑴的一个
解。

其中必须掌握的有以下几点1.能够判断一组向量的线性相关性，给出一组向量可以求出他的最大线性无关组2.给出一个线性方程组能够判断它是否有解，有解的话有多少，并且能够求出它的解
基础阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点2个，1.知道向量线性无关怎样判断2.会求一般线性方程组的解。

在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过复习教材并完成课后习题组了解本章主要包括线性方程组解的判定和解的结构两部分。

解的判定只需判断系数矩阵与增广矩阵秩的关系，另外，线性方程组AX=b 有解与b 可由A 的列向量线性表出。

解的结构也完全由系数矩阵与增广矩阵的秩相关，此处引入了极大线性无关组的概念，它有三层含义：首先是解，其次相互无关，另外任一组解可由它们线性表出，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。

【知识点1】
【例题1】设向量组r ααα,,,21 线性无关，而r ααα,,,21 γβ,,线性相关，试证：或者β与γ至少有一个可以被r ααα,,,21 线性表示；或者向量组r ααα,,,21 β,与向量组r ααα,,,21 γ,等价。

分析：这道题考察的就是向量线性无关与线性相关的定义，安定已将已知条件都用数学语言写出来分析一下就可以很容易证明了。

解题：因为向量组r ααα,,,21 线性无关，而r ααα,,,21 γβ,,线性相关，所以存在一组不全为零的数
m l k k k r ,,,,,21 使得 02211=+++++γβαααm l k k k r r ① 其中m l ,不全为零（否则
r ααα,,,21 线性相关）故l 与m 至少有一个不为零。

若0≠l ，0=m ，则①式变为011=+++βααl k k r r 这时r r l
k
l k l k αααβ----= 2211 即β可由r ααα,,,21 线性表示；
若0,0≠=m l 同理可证 γ可由r ααα,,,21 线性表示；
若0≠l ，0≠m 则由①式知，β可由r ααα,,,21 γ,线性表示，γ可由r ααα,,,21 β,线性表示 故向量组r ααα,,,21 β,与向量组r ααα,,,21 γ,可以互相线性表示，也即二者等价。

易错点：一定要记清向量线性无关和等价的定义，把题目中的所有信息都用数学是自来表示然后再分析它们之间的关系。

习题：设向量组n ααα,,,21 线性无关，试问向量组113221,,,,αααααααα++++-n n n 是否线性相关？并证明你的结论。

【知识点2】线性方程组
【例题2】设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211 ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=m mn
m m n
n b a a a b a a a b a a a A
21
222221
1112
11
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=n x x x X 21 021≠⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=m b b b b ，已知秩=A 秩r A =<n （厦门大学）
证明：（1）方程组b AX =有1+-r n 个线性无关的解121,,,+-r n ηηη
（2）112211+-+-+++r n r n t t t ηηη 是方程组b AX =的解，其中1121=++++-r n t t t （3）方程组b AX =的任一解
η可表为=η112211+-+-+++r n r n k k k ηηη 其中
1121=++++-r n k k k 。

分析：在线性方程组这一章里考察的内容基本就两个第一是判断方程组是否有解第二就是求方程组的基本解系所以一定要记清方程组有解的判定条件和基础解系的性质。

解题：（1）因为秩=A 秩r A =<n ，所以方程组b AX =有解*
η，由秩()r A =<n 可知0=AX 有r
n -个
线性无关的解：r n -βββ,,,21 显然*
η，r n -βββ,,,21 线性无关。

（否则，b A ==*
0η矛盾）。

所以，
*η，*η+1β，*η+2β，, *η+r n -β亦线性无关。

令1=*+=i i βηη ()0,1,,2,10=+-=βr n i
可得i η ()1,,2,1+-=r n i 为b AX =的1+-r n 个线性无关的解。

（2）令i
r n i i t ηη∑+-==
11
其中11
1
=∑+-=r n i i
t
，由于b t
b b t A t A r n i i
r n i i i
r n i i
===
=
∑∑∑+-=+-=+-=1
1
11
11
η
η
（3）设121,,,+-r n ηηη 为b AX =的1+-r n 个解且线性无关，于是111312,,,ηηηηηη---+-r n 为
0=AX 的r n -个解，并且容易验证它们是线性无关的，所以b AX =的任意解η可表示为
()()()
()1
122113211113312211+-+-+-+-+-+++----=-++-+-+=r n r n r n r n r n k k k k k k k k ηηηηηηηηηηη
令∑+-=-
=1
2
11r n i i
k
t 22k t =，, 11+-+-=r n r n k t 则
11
1
=∑+-=r n i i
t
且i
r n i i t ηη∑+-==
11
易错点：对于齐次方程组和非齐次方程组解之间的关系没弄清。

习题：证明：实系数线性方程组
i
j n
j ij b x a
=∑=1
⑴ ()m i ,,2,1 =有解的充分必要条件是属于m
R 的向量()'
21,,,m b b b =β与齐次线性方程组
01
=∑=j m
j ji
x a
⑵ n i ,,2,1 =的解空间正交。

第四章 矩阵
本章的知识点主要有一下7个
1 矩阵及其运算
（1） 矩阵的加法及性质 设()
()n m ij n
m ij
b B a A ⨯⨯==, 规定其中()n m ij C B A ⨯=+其中()n j m i b a
c ij ij ij ,...,2,1,,...2,1==+=
加法适合以下性质：I)交换律 A B B A +=+;
II)结合律()()C B A C B A ++=++;
III)有零矩阵 A A =+0;
IV)有负矩阵()0=-+A A ;
矩阵的减法：()B A B A -+=- (2)数乘矩阵及性质 设 ()
n
m ij
a A ⨯=，k 为任意数()()n j m i ka kA n
m ij
,...,2,1,,...,2,1,===⨯
数乘矩阵适合以下性质：()kB kA B A k i +=+); ()lA kA A l k ii +=+); ()()A kl lA k iii =); A A iv =⋅1) (3)矩阵的乘法
设()
()s n ij n
m ij
b B a A ⨯⨯==, 规定()s m ij
c AB ⨯=其中
()s j m i b a
c n
k kj ik
ij ,...,2,1,,...,2,11
===
∑=
矩阵乘法适合的性质： )i 结合律()()BC A C AB =;
)ii 分配律()()CA BA A C B AC AB C B A +=++=+,; )iii 有单位矩阵A A E m =
()()()AB k kB A B kA iv ==);
矩阵乘法不适合交换律。

一般BA AB ≠ ; 也不适合消去律即0,0≠=A AB 不一定有0=B (4)矩阵的转置 设()
n
m ij
a A ⨯=规定m n ij
b A ⨯=')(,其中()n j m i a b ji ij ,...,2,1,,...,2,1===
转置矩阵适合的性质：
)i ();'''
B A B A +=+ ();)''
kA kA ii =)iii ()
;'
'A A =()'''
)A B AB iv =
2．可逆矩阵与逆矩阵
（1） 伴随矩阵及其性质
设()n n ij a A ⨯= 则它的伴随矩阵⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n
n
n n A A A A A A A A A A ...............
......212221212111*
ij
A 为A 中元素ij a 的代数余子
式。

伴随矩阵适合的性质：;)*
*
E A A A AA i == ()();)*
''
*
A A ii =
();)*1*
A k kA iii n -=;)1
*-=n A
A iv ()
;)2
*
*
A A
A v n -=
)vi 秩()()()();1011*⎪⎩
⎪⎨⎧--===n A n A n A n A 秩秩秩 ()*;**
)A B AB vii =
(2)逆矩阵及其性质 设()
n
n ij a A ⨯= 若存在n 阶方阵B 使E BA AB ==，则A 为可逆矩阵B 是A 的逆矩阵设为1
-A 逆矩阵的
性质：
()
;)1
1
A A i =--()
()
;)'
11
'
--=A A ii ();,)111
阶可逆矩阵均为其中n B A A B AB iii ---=
();1)11
--=
A k
kA iv )v 当A 为可逆时.11A
A =
- (3.)求逆矩阵的两种方法：I)用公式;1*
1A A
A =
- II)初等变换法. 3.初等变换与初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵分为下面三种：
()⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡=11
1111011,
j i P ()()()()⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=≠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,,01111 k k j i P k k k i P 其中
初等矩阵均可逆，且逆矩阵是同一类型初等矩阵。

矩阵n m A ⨯的等价标准形⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛000r E 4.分块矩阵
分块矩阵的运算
常用的几种分块方法：)i 列向量分法，即()n A ααα,...,,21=其中i α为的A 列向量；
)ii 行向量分法，即⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=m A ββ 1其中i β为A 的行向量；
)iii 分两块，即();,21A A A =或;21⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=B B A
)iv 分四块，即⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=43
21
C C
C C A (3)分块矩阵的初等变换
（4）分块矩阵求逆的方法 5.矩阵的秩 设()
n
m ij
a A ⨯= 秩()A A =中一切不等于0的子式的最高阶数； 秩()A A =的行秩； 秩()A A =的列秩;
矩阵的秩的有关几个结论：
)i 秩()A =秩('A );
)ii 秩()kA =秩()A ，其中k 为非零常数； )iii 秩()()A A 秩≤*
)iv 秩()B A +≤秩()+A 秩()B ;
设B A ,分别是m n ⨯与s m ⨯矩阵，则()(){()}
,,m in B A AB 秩秩秩≤初等变换不改变矩阵的秩。

6.矩阵的分解
（1）矩阵的和分解 （2）矩阵的积分解。

7.一些常见的矩阵
名称记号 定义
性质
零矩阵0 ()n m ⨯=00
00,0=⋅=±A A A 负矩阵A -
若()
ij a A = 则()
ij a A -=-
()0=-+A A ()A A =-- 单位矩阵E
n
n E ⨯⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=111
A
AE EA ==。