圆的极坐标方程

2 2 2
y
极化直： x cos , y sin
M
(x，y)


0
y
x
N
x
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
解： （ 3） （ 1） 3 1 2，
2 2
1 1 3 tan 。 3 3 3 7 因为点M在第三象限，所以 。 6 7 因此，点M的极坐标为（ 2， ）。 6
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
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例3： 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
２ cos sin 1 0
3
cos 3
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)

4
)
＝cos( - )
3

＝3 sin (4) ＝６
π π 例3 已知两点（2， ），（3， ）
3 求两点间的距离. B
就与极坐标(ρ, θ)建立了一一对应的关系.
极坐标系所在平面内的点与极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
2
π 解：∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可.
A o
x
例1: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
如图，在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用 一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
M
探 究
O
C(a,0)
x
M(, )

O θ C(a,0) x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
2 2 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为r；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(a,０)，半径为a
＝r
＝2acos
＝2asin
＝２a cos( 0 )
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
简单曲线的极坐标方程
在直角坐标系中,如果某曲线C可以用方 程f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下的关系: (1)曲线C上点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解; (2)以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲 线 C上 .
在极坐标中,曲线Ｃ上任一点的坐标是否符合 方程f(,)=0 ；
一般地，不作特殊说明时，≥0， 可取任意 实数。
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内 唯一 确定一点M。 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)
都可以作为它的极坐标.
k Z
不能建立一一对应关系.
0.当 0, 2 时,平面上的点 除极点外
圆的极坐标方程： M(, )
2a cos

O θ C(a,0) x
思路分析： （1）任取一点，标出与 （2）找出边角共存的三角形 （3）列出三角形的边角关系式 （4）对特殊点作检验
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
.O
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
1.极坐标系的建立 在平面内取一个定点O，叫极点。 从极点O引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位、一个角度单位 （通常取弧度）及它的正方向（通常取逆
时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
x
2．极坐标系内点的极坐标的规定
设M是平面上的任一点， 极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ； 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做 点M的极角，记为θ. 有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标， 记作M(ρ，θ)．
2.曲线极坐标方程cos( -
x ( y 2) 4
6 标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
)=1化为直角坐
３ x y20
例２： （１）直角坐标方程x y 2 x 3 y 0的极坐标
2 2
方程为＿＿＿＿＿＿＿ －２ cos
２
3 sin 0
（２）直角坐标方程2 x－y＋１ 0的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （４）直角坐标方程x ３的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （３）直角坐标方程x 2 y 2 ９的极坐标
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6

圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O