专题：正交曲线坐标系.ppt

梯度
i j k x y z
1 h1
q1
eˆ1
1 h2
q2
eˆ 2
1 h3
q3
eˆ 3
梯度
证明： (q1 i q1 j q1 k) ( x i y j z k) ?
x y z
q1 q1 q1
qi qi (x, y, z)
xi xi (q1, q2 , q3 )
dq1 dq2 dq3
arctan
y x
arctan
y x
r xq1, q2, q3 i y q1, q2, q3 j z q1,q2,q3 k
r x y z i j k
qi qi qi qi
矢端曲线的切线矢量
2
2
2
hi
r qi
x
qi
y qi
z qi
拉梅系数
eˆ i
1 hi
r qi
A
1 h1h2h3
(
A1h2 q1
h3
)
(h1 A2h3 ) q2
(h1h2 A3 q3
)
证明：
A
(eˆ1
1 h1
q1
eˆ 2
1 h2
q2
eˆ3
1 h3
)g
q3
( A1h2h3q2 q3 h1A2h3q3 q1 h1h2 A3q1 q2 )
x y z
q1 q1 q1
q1
r q1
1q1 r Fra bibliotek11qi
r qi
1
考虑到 qi 沿等值面 qi C 的外法线方向（即 eˆi ）
以及
r qi
hi eˆ i
qi
1 hi
eˆi
i j k x y z
qi
1 hi
eˆi
( q1 q2 q3 )i ( q1 q2 q3 )j ( q1 q2 q3 )k q1 x q2 x q3 x q1 y q2 y q3 y q1 z q2 z q3 z
正交曲线坐标系
为什么需要曲线坐标系？
适应不同边界形状
q3
三组曲面族方程：
eˆ1, eˆ 2 , eˆ3,
q2
q1 x, y, z c1 q2 x, y, z c2
q1
z
q3 x, y, z c3
i, j, k
y
x
x, y, z
q1, q2, q3
基矢量的特点
正交曲线坐标系：
eˆi
ds (dx)2 (dy)2 (dz)2
dV ds1ds2ds3 h1h2h3dq1dq2dq3
dΣq1 ds2ds3 h2h3dq2dq3 dΣq2 ds1ds3 h1h3dq1dq3
s2 s3
s1
Cylindrical coordinates
Spherical coordinates
k 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
弧微分计算公式
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
(ds)2 h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3 )2
证明：
r x(q1, q2, q3)i y(q1, q2, q3)j z(q1, q2, q3)k
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3 )2
r r
r r
r r
2 q1 q2 dq1dq2 2 q1 q3 dq1dq3 2 q2 q3 dq2dq3
考虑到
r q1
r q2
h1h2eˆ1 eˆ2
0
r q1
r q3
h1h3eˆ1 eˆ3
0
r q2
r q3
h2h3eˆ2
eˆ3
0
证毕
(ds)2 h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3)2
坐标曲线的弧微分 ds (ds1)2 (ds2 )2 (ds3)2
dsq1 h1dq1
dsq2 h2dq2 dsq3 h3dq3
dx
x q1
dq1
x q2
dq2
x q3
dq3
3 i 1
x qi
dqi
x qi
dqi (i
1, 2,3)
dy
y q1
dq1
y q2
dq2
y q3
dq3
3 i 1
y qi
dqi
y qi
dqi (i
1, 2,3)
z
z
z
3 z
z
dz q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
q1 x
q2 x
q3 x
q1 y
q2 y
q3 y
q1 z
dx
q2 z
q3 z
dy dz
x x x
dx dy dz
q1 y q1 z
q2 y q2 z
q3 y q3 z
dq1 dq2 dq3
q1 q2 q3
( q1 i q1 j q1 k) ( x i y j z k) 1
eˆ j
0 1
i j i j
柱坐标系：
Cylindrical coordinates
x rcos
y
r
sin
z z
x2 y2 z2
arc tg
y x
z z
球坐标系：
Spherical coordinates
x r sincos
y
r
sin
sin
z r cos
r x2 y2 z2
A
1 h1h2h3
(
A1h2h3 q1
)
(h1 A2h3 ) q2
(h1h2 A3 ) q3
h1dq1h2dq2 A3
q3 dq3
h1dq1h2dq2 A3
q3
(h1h2 A3 q3
)
dq1dq2dq3
(h1 A2 q2
h3
)
dq1dq2
dq3
(
A1h2h3 q1
)
dq1dq2
dq3
散度 A A1(q1, q2 , q3 )eˆ1 A2 (q1, q2 , q3)eˆ2 A3 (q1, q2, q3)eˆ3
(q1 i q1 j q1 k) (q2 i q2 j q2 k) (q3 i q3 j q3 k) q1 x y z q2 x y z q3 x y z
q1
q1
q2
q2
q3
q3
1 h1
q1
eˆ1
1 h2
q2
eˆ 2
1 h3
q3
eˆ3
证毕
散度
矢量 A A1(q1, q2 , q3 )eˆ1 A2 (q1, q2 , q3)eˆ2 A3 (q1, q2, q3)eˆ3
1 hi
x
qi
y i
qi
z j
qi
k
eˆi
r
qi
eˆ i
1 hi
r qi
1 hi
x
qi
i y qi
j z qi
k
方向余弦：
i
1 hi
x qi
i
1 hi
y qi
i
1 hi
z qi
，
基矢量的相
互表示：
，
i 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3
j 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3