浙教版八年级数学下册 反证法教案

《三角形的中位线》教案

教学目标

1、了解反证法的含义.

2、了解反证法的基本步骤.

3、会利用反证法证明简单命题．

4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.

教学重难点

本节教学的重点是反证法的含义和步骤.

课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点.

教学过程

一、情境导入

故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．

那么什么叫反证法呢？(板书课题)

二、探究新知

(一)整体感知

在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．

你能说出下列结论的反面吗？

1．a⊥b

2．d是正数

3．a≥0

4.a∥b

(二)师生互动

1、求证:在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.

把本题改编成填空题：

已知:直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.

求证: l3与l2相交.

证明: 假设____________即_________.

∵_________(已知)，

∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行，

这与“____________________________________”矛盾.

∴假设不成立，即求证的命题正确.

∴l3与l2相交.

教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.

2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．(教师板书步骤)

生：①假定结论不成立(即结论的反面成立)；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立．

明确用反证法证题的基本思路及步骤．

(三)学以致用，完善新知

1、课内练习

明确在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达．

2、合作学习

求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

(1)你首选的是哪一种方法？

(2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

(3)能不用反证法吗？你准备怎样证明？

教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.

三、实践应用，知识迁移

链接生活

反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：

妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游.

小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢！

上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？(小芳全家没外出旅游.)

他是如何推断该命题的正确性的？

在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子.

议一议：

甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：

A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；

B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；

C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；

D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.

其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？

四、学习小结

同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？

(1)引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤．

(2)教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法．

五、课后作业

1.书本作业题．

2.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流.