晶体结构

怎样标记某晶面族？
用米勒指数 (Miller indices) 来标记。假设这一晶 面族把基矢a1, a2 , a3 分成h1, h2 , h3等份，则该晶 面族标记为(h1, h2 , h3)。 h1, h2 , h3一般要化为互 质数，称为该晶面系的米勒指数 。
简单立方格子的 (001), (110) 和 (111) 面。
体心立方布拉维格子 基矢等长但不相互垂直：
a1 = a /2 (-x + y + z ) a2 = a /2 (x - y + z ) a3 = a /2 (x + y - z )
面心立方布拉维格子 基矢等长但不相互垂直：
a1 = a /2 ( y + z ) a2 = a /2 ( x + z ) a3 = a /2 ( x + y )
如果从一个格点沿晶向到最近一个格点的平移矢量为: l1a1+ l2a2 + l3a3 , 该晶向可记为[l1l2l3] 这组数称为晶向指数。
晶面
对布拉维晶格，所有格点也可以看成排列在一系列相 互平行、等间距的平面系上，这些平面叫做晶面。很 明显，对每个晶面系来说，格点在各晶面中的分布是 相同的。一个晶面系必包含所有格点，晶格中有无穷 多个晶面系。
金刚石是由碳原子组成的，另外如重要的半导体材 料锗, 硅等，它们的结构也是金刚石结构。
常见的实际晶体结构
4）闪锌矿结构:也称为立方硫化锌 (ZnS) 结构。它 的结构和金刚石结构非常类似，硫和锌原子分别 组成面心立方格子，而两面心立方格套构的相对 位置与金刚石完全相同。
许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等 都是闪锌矿结构。
第一章 晶体结构
固体材料是由大量原子或分子、离子按一定方 式排列而成的，这种微观粒子的排列方式称为固体 的微结构。
晶体的微结构称为晶体结构。
固体材料的种类
一）晶体包括单晶体和多晶体。
单晶体：构成晶体的原子、分子排列有序，即具有平移 对称性和转动对称性，如金刚石、锗和硅单晶等。
单晶体具有以下性质： (1)具有规则的几何外形。 (2)其物理性质是各向异性的。 (3)具有确定的熔点。
对称性和布拉维格子的分类
布拉维格子是按其对称性来分类的。对称性是指 在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。同 一个晶系的布拉维格子具有完全相同的对称操作 元素。
晶体可能具有的对称操作可归纳为以下三类： (1)保持晶格中某一点不动的对称操作；n重旋转 对称操作。 (2)平移格矢的对称操作：(平移布拉维格子任一格 矢，晶体与自身重合,叫平移对称性)。 (3)旋转对称操作 + 平移对称操作。
倒格子的基矢： b1 = 2/a x b2 = 2/a y b3 = 2/a z
倒格子的特性（一）
正如以 a1, a2, a3 可以构成布拉维格子一样，以 b1， b2，b3 为基矢可构成一倒格子(倒易点阵)，其倒格点 的位置矢量G为：
G = h1b1+h2b2+h3b3
式中h1, h2, h3是一组整数，称G为倒格子矢量。简 称倒格矢。显然，倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与 波数矢量具有相同的量纲。
固体材料的种类
非晶体的结构特征：非晶态固体原子的排列不象晶体 那样有序，但又不象冻结的气体分子的排列那样绝对 混乱。非晶态固体是由大量的无规取向的有序畴构成 的，这些有序畴的线度大约在几个原子间距范围内。 在这些小的有序畴内，原子排列仍保持着形貌和组分 的某些特征。
晶体
非晶体
气体
固体材料的种类
非晶体的重要性
常见的实际晶体结构
三, 六方密积结构
晶胞为正六方棱柱体，其上、下底面上原子分别 位于顶角和面心，中间还插入一层原子，排列在底面 每3个原子间的空档上。在六方密积结构中，原子总 是最紧密地堆积在一起的。六方密积是一种常见的结 构，很多金属如Be, Mg, Ca, Zn, Hg 和Ti等30多种元素 具有这种结构。
常见的实际晶体结构
5) 钙钛矿结构: 以BaTiO3为例说明其结构, Ba位于立 方体的顶角，Ti 位于体心，三组氧 (O1,O2,O3) 分别 位于面心上。整个晶格是由Ba，Ti和O各自组成的 简单立方格子套构而成。
属 钙 钛 矿 结 构 的 晶 体 有 CaTiO3, BaTiO3, PbZrO3, LiNbO3, LiTaO3等介电晶体。
0
1) a1, a2 的选择，必须满足每一个布拉维格点都能用 Rn= n1a1+ n2a2 表示。 2) R 与 r + Rn有全同性，即处在 r 点与处在 r + Rn有完 全相同的性质。
几个常见的布拉维格子：
简单立方布拉维格子 基矢等长并相互垂直：
a1 = ax a2 = ay a3 = az
Penrose 拼接图案。 取向序具有晶体周期 性不容许的点群对称 性。沿取向序对称轴 方向有准周期性。没 有平移对称性。
常见的实际晶体结构
一，立方晶系的简单格子： 简单立方晶体： 极少数实际晶体具有简单立方晶体 结构。 体心立方晶体：金属Li, Na, K, Rh, Cs 和过渡族金 属 Cr, Wo, W 等。 面心立方晶体：Cu, Ag, Au, Al, Ni, Pb 等。
倒格子的特性（二）
正格子和倒格子基矢的关系：
ai bj 2 ij
2 (i j)
0(i j)
i,
j
1,2,3
正、倒格子原胞体积之间的关系： 由定义可知倒格子原胞的体积为
（2*)3
简单立方格子的倒格子仍为简单立方格子。
正格子的基矢： a1 = ax a2 = ay a3 = az
a1
o -
a0
则：m = 0, 1, 2, -1, -2
a2
n = 4, 6, 1, 3, 2
7 个晶系，14 种布拉维格子
14 种布拉维格子
14 种布拉维格子
倒格子(reciprocal lattice)
由于晶格的周期性，引入倒格子的概念对分析和表 述有关晶格周期性的各种问题是非常有效的。
n重旋转对称操作
晶体绕一固定轴旋转 ＝ 2/n 而复原的操作。 为转 角，n为旋转对称轴的重数。 例如，二重旋转对称轴对应 的转角为 。
由于受晶体周期性的限制， 晶体只有1，2，3，4，6重旋 转对称轴。
晶体中不可能存在五重旋 转轴，因为不可能使五边 形互相联接的点阵充满整 个空间。
定理：晶体中允许的转动对称轴只能是1, 2, 3, 4 和 6重轴。
由于WS原胞的构造中不涉及对基矢的任何特殊选 择，因此，它与相应的布拉维格子有完全相同的 对称性，也称为对称性原胞。
例子
体心立方格子的维格 纳-塞茨原胞，截角正 八面体。
面心立方格子的维格 纳-塞茨原胞，正十 二面体。
晶向
由于布拉维格点周围的情况完全 相同，所有格点可以看成分列在 一系列相互平行的直线系上，这 些直线叫做晶列。同一格子可以 形成方向不同的晶列。每个晶列 定义了一个方向，称为晶向。
2) 氯化铯结构: Cs+和Cl-各自构成简单立方布拉维 格子，两格子沿立方体空间对角线位移(1/2)长度 相互套构形成CsCl结构。
CsCl, CsCr, CsI, TiCl, TiBr, 和 Til 等化合物晶体属 氯化铯结构。
常见的实际晶体结构
3) 金刚石结构:由同种原子构成的复式格子。在面心 立方晶胞内还有4个原子分别位于4个体对角线的1/4 处。整个金刚石结构可以看成是沿体对角线相互错 开1/4长度的两个面心立方晶格套构而成的。
倒格子的定义：设晶格的基矢为a1，a2，a3，可以得 到另一组矢量b1，b2，b3，它们满足:
b1

2π
a1
a2 a3 (a 2 a3 )
b2

2π
a3 a1 a1 (a 2 a3 )
b3

2π
a1
a1 a2 (a 2 a3 )
基矢b1，b2，b3对应的格 子为基矢a1，a2，a3对应 的格子的倒格子。
晶体结构 布拉维格子 + 基元
二维格子的例子
基元
格子
基元？格子？
布拉维格子
定义：布拉维格子是矢量 Rn= n1a1+ n2a2 + n3a3 全部 端点的集合，其中n1 ， n2 ， n3 取整数，a1 ， a2 ， a3 是三个不共面的矢量，称为布拉维格子的基矢。
布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。它忽略了实 际晶体中表面和结构缺陷的存在，抓住了晶体结构中 最主要的地方，即晶体中原子周期性的规则排列，是 实际晶体的一个理想抽象。
应用方面：通讯中超透明的光导纤维，静电复印，太 阳能电池中的非晶态半导体，有机玻璃。
理论方面：不依靠基于晶态固体周期性的数学定理 （布洛赫定理，群论选择定则）达到对非晶的科学认 识。着眼于短程序的化学键的观念，使用新的理论方 法，如定域理论，逾渗理论等。
固体材料的种类
三）准晶体：原子排列具有长程的取向序，没有平 移对称性。1984年，Shechtman 在快速冷却法制备 的AlMn 合金中，发现了五重对称性结构！晶体中 不可能存在五重对称性结构，这是一种介于晶态和 非晶态之间的新的状态，准晶态。
惯用单胞和晶格常数
晶体学中，习惯用晶系基矢构成的平行六面体 作为周期性重复排列的最小单元，称为单胞 (unit cell)或惯用单胞。如简单立方，体心立方 和面心立方的单胞相同，均为立方体，体积分 别为原胞的1，2 和 4 倍。
单胞的边长称为晶格常数 (lattice constant)。 立方晶系晶体的晶格常数为 a 。
证：假定a0是布拉维格子在该方向的最短格矢，并有
通过o点与纸面垂直的n重轴。旋转角 ＝2/n, a0转到 a1, a1必为格矢。其逆操作，转动-＝-2/n所得适量a2 亦为格矢。 a1 +a2在a0方向，按布拉维格子定义应为 格矢。如a0的长度为a， a1 +a2= ma (m为整数)
则: 2a cos = 2a cos 2/n = ma cos 2/n = m/2
常见的实际晶体结构
二，立方晶系的复式格子：氯化钠结构、氯化铯结构、 金刚石结构、闪锌矿结构、钙钛矿结构
1）氯化钠结构：由正离子Na+和负离子Cl-相间排列 组成。 Na+和Cl-各自构成面心立方布拉维晶格，这两 个格子的原胞具有相同的基矢。它们沿轴矢方向相互 错位半个晶格常数互相套构在一起。
常见的实际晶体结构
实际晶体的具体结构有千千万万， 我们怎么抽象地表示这些数不清的结 构呢？
从晶体的实际结构中，大家发现晶体有什么特点？
晶体的特点：具有周期性重复的规则结构。可以看 作是一个或一组原子以某种方式在空间周期性重复 平移的结果。
晶体结构包括两方面： 1) 重复排列的具体单元，称为基元（basis) 。 2) 基元重复排列的方式，几何抽象成空间点阵，称 为 晶 体 格 子 ， 简 称 为 格 子 ， 由 布 拉 维 格 子 ( Bravais lattice)的形式来概括。
简单六角布拉维格子 基矢：
a1 = a x a2 = a /2 x +√3a / 2 y a3 = c z
原 胞 (primitive cell)
常取以基矢为棱边的平行六面体为原胞。
原胞的特性： 1)原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元。 2)当它平移布拉维格子所有可能的格矢，将准 确地填满整个空间，没有遗漏，也没有重叠。 3)原则上，基矢的取法并不唯一，类似地，原 胞亦有多种取法。但无论如何选取，原胞均有 相同的体积，即最小的体积。
1, 2, 3, 4表示的是否都是原胞？
1, 2, 3 是原胞，所选择的矢量是基矢。 4 不是原胞，所选择的矢量不是基矢。因为体积不是最小。
维格纳-塞茨原胞
Wigner-Seitz 原胞，简称WS原胞
其具体作法是：以晶格中某 一格点为中心，作其与近邻 格点连线的垂直平分面，这 些平面所围成的以该点为中 心的最小体积是属于该点的 原胞。
固体材料的种类
多晶体：由一些小单晶随机地堆砌而成。一般金属和 合金都是多晶体。若晶粒的线度小到纳米数量级时则 称为微晶。
多晶体由于晶粒堆积的无规则性，因而不具有规则的 外形，不表现出各向异性。
ห้องสมุดไป่ตู้二）非晶体: 原子排列在大尺度下是无规律的，即不具 有长程周期性，但在原子间距数量级的范围内原子排 列是有序的，即具有短程序。近邻原子的数目、种类、 键长及键角等都与晶体一样。玻璃、橡胶、石蜡等都 是典型的非晶体。