光学设计 第7讲 光的传播基本原理

M
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
Q1 Q2
A1 A2
F
P1
P2
抛物线性质
P 1F P 1Q1 P 2F P 2Q2
N
则
[ A1P 1 F ] [ A2 P 2F] 即 讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
A1P 1P 1 F A2 P 2 P 2F
为什么要引入光程的概念？
例如：同频率的两束光波，分别在两种不同的介质 中传播，在相同的传播时间内，两光波所传播的几 何路程不同即： l1 l2 l1 l2
t
v1

v2

有
n1l1 n2l2
c n1

c n2
可见，光在不同的介质中，相同的时间内传播的几 何路程不同，但光程相同。 P Q 光实际传播的路径，是 与介质有关的。 借助光程，可将光在各种介质中走过的路 程折算为在真空中的路程，便于比较光在不同 介质中传播所需时间长短。
光学设计基础理论
第7讲 光的传播基本原理
几何光学基本定律 2 能量分配法则 3 物质光学性质 4 非成像光学原理
1
1 几何光学基本定律
1、光线
光线：一条携带能量并带有方向的几何线，它 代表光的传播方向。 光路：光线的传播途径。 光束：无数多条光线的集合称为光线束，简称 光束。光束包括平行光束、同心光束、像散光 束。
n2 偏心率e 1 n1
理想光学系统物像之间的等光程性 理想光学系统成像时，物点s到像点S‘的个光 线的光程相等，请用费马原理解释
n
P
1 nL O1
2
n
O2
s1
s2
s1
P
d
s2
源自文库
等光程面 物像对应只需单个反射面或折射面 该面＝物像共轭点的等光程面
x
n1
P
O
M ( x, y)
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
z
P

A M
中心 [n2 d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a 2 b 2 2n2 d /(n1 n2 )
Q
O
Q
O N
s
C
n1
n2
N
S 是一个焦点
1 几何光学基本定律
由费马原理可以导出三个基本实验定律。
1．在均匀介质中，光程最小即为路程最小， 两点间的最小路程是直线——直线传播定律。 2．证明反射定律。 3．证明折射定律。 注意：费马原理只指出光在两点间的光程取极值 而不涉及光的传播方向。
20
▲ 费马原理的应用
1、由费马 原理导出反射定律

（1）反射
Q1 N Qr1 N N ((Qr1 Q1 ) N ) 0
Q2 Q1 -2 cos(i ) N Q2 Q1 2 sin(i ) P
Q2 Q1 -(2Q1 N ) N Q2 Q1 2 - 2(Q2 Q1 ) N - （ 2 1 - cos( 2i )） N
Q、P两点在反射面Σ的同一侧。P’是P点关于反射面的对称点 。 P 、 Q 、 O' 三点确定平面 Π 。直线 QP' 与反射面交于 O 点。则 易知QO+OP为光程最短的路径。
2、由费马 原理导出折射定律
Q、P分别在介质1和介质2 中，分界面为Σ。 从 Q 、 P 两点分别向 Σ 面做 垂线，垂足为 Q’ 和 P’ ，则平 行线 QQ’ 和 PP’ 可以确定一个 平面Π。在Π上，O’为两平面 交线 Q’P’ 外任一点，从 O’ 向 Q’P’ 做 垂 线 ， 垂 足 为 O ， 则 由 Q 到 P 的路径中，过 O' 点的 总比过O点的要大。即实际路 径一定在平面Π中。

1 几何光学基本定律
2、直线传播定律
在各向同性的均匀介质中，光线沿直线传播。 局限性：没有考虑衍射现象。

3、独立传播定律
不同的光源发出的光线在空间某点相遇时，彼 此互不影响，各光束独立传播。 局限性：没有考虑光的波动性质，干涉现象。

1 几何光学基本定律
4、反射和折射定律
（1）反射光线、折射光线在由入射光线和法线所决 定的平面内（称为入射面） （2）折射光线和入射光 线分居法线两侧
全反射现象
全反射的应用：
（1）制成各种全反射棱镜，用于折转光路， 代替平面反射镜。 （2）测液体折射率。 （3）制造光导纤维。 （4）TIR透镜。
光导纤维：由内层折射率较高的纤芯和外层折 射率较低的包层组成
进入光纤的光线在纤芯与包层的分界面上 连续发生全发射，直至另一端出射。
na
i0
S
A
n
i '0
1 1 dL 1 2 1 n (a x 2 ) 2 (2 x) n [b 2 (d x) 2 ] 2 2(d x)(1) 0 dx 2 2
x
上式可以写成： B
a x
2
2

dx
b (d x)
2
2
A b
i i’ x
由图可知：
sin i sin i '
h1
O’P’=p
h2
费马原理的应用(1)——反射定律
B A b
i i’ x P d
A与B时折射率为n的均匀介质 中的两点，有一光线APB，其 光程为：
a
L( APB) n a 2 x 2 n b 2 (d x)2
n 根据费马原理，这光程 应为极小，所以
1 1 dL 1 2 1 n (a x 2 ) 2 (2 x) n [b 2 (d x) 2 ] 2 2(d x)(1) 0 dx 2 2
6、全反射现象
在一定条件下，入射到介质上的光会全部反射回原来的介质 中，没有折射光产生，这种现象称为光的全反射现象。
n光密 n光疏
光疏介质
n光密 sinc n光疏 sin 90 n光疏
n光疏 c sin ( ) n光密
1
发生全反射的条件： （1）光线从光密介质射向 光密介质 1 光疏介质； PMMA 到空气： c sin 1 ( ) 41.8 1.5 （2）入射角大于临界角。
1 几何光学基本定律

费马原理（即光程极端定律）：光从一点传播 到另一点，其间无论经过多少次折射和反射， 其光程为极值。或者说,光是沿着光程为极值 （极大、极小或常量）的路径传播的。
由曲线积分计算光程： s

B
A
ndl
A
n dl
B
s ndl 0
A
B
非 均 匀 介 质中 的 光 线 与光 程
n
即：
a
P d
i i'
这就是反射定律。
费马原理的应用(2)——折射定律
折射定律的证明（取极小值） 设A(0,yA)，O(x,0) ，B(xB，yB) y
Δ ni AO+nt BO
2 2 =ni x 2 y A nt ( xB x )2 yB
2(x xB ) dΔ 2x =ni nt 0 2 2 2 2 dx x yA (xB x) yB ni x
2 x2 yA
nt
x xB
2 ( xB x )2 yB
即： ni sini nt sint
3、光程为极大、常值的实例 凹球面镜反射是一个光程为极大值的例子，APA’>AQA’； 椭球面是光程为常数的例子。
例 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。请用费马原理阐述其中原理。
单位矢量：入射 Qi，反射Qr1，折射Qr 2，法线N n1Q1 N n2Q2 N (n1Q1 n2Q2 ) N 0 n n Q1 Q2 直线传播 1 2 n1 n2 Qi N Qr1 N 反射定律
P
s
z
s
n2
z
n1MP n2 MP n1s n2 s n1 ( s z ) 2 x 2 n2 ( s z ) 2 x 2 n1s n2 s 或 n2 ( s ( s z ) 2 x 2 ) n1 ( s ( s z ) 2 x 2 ) 0
n2
i1 i2
n2Q2 n1Q1 (n2Q2 N n1Q1 N ) N (n2 cosi2 n1 cosi1 ) N kN 2 2 k n1 n2 2n1n2 (Q2 Q1 )
i2
2 n12 n2 2n1n2 cos(i1 i2（ ) n1 n2 , 取正号）
i i1
sin i1 n2 sin i2 n1
i1
n1sini1 n2sini2
I
n n’ I’
I
n n’ I’
I
n n’ I’
n<n’, I>I’
n=n’, I=I’
n>n’, I<I’
结论 : 光在介质中传播时 , 有偏 向折射率较高一侧的趋势
6
1 几何光学基本定律
5、矢量表示
Q1
- 2(Q1 N ) N
i i
Q2
Q1
1 几何光学基本定律

（2）折射
n1
A ( B C) B( A C) C( A B)
n1Q1 N n2Q2 N
kN
i2 i1
n2Q2 n1Q1
光线沿光程为平稳值的路径而传播。 光程：
光在i介质中的光程等于在相同时间t内光线在真空中所走的路程。 平稳值的三种基本含义： 费马原理推论：物象等光程， 极小值——直线传播、反射、折射 即由物点发出的所有光线通过 光具组后均应以相等的光程到 极大值——凹球面反射镜 达像点 。 常 数——成像系统的物像关系
抛物面与球面反射镜性能比较
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ， 在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面 波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z
P

A M
Q
O
Q
O N
解：S 发出的光波经 面折射后成 平面光，各折射光线路径是等光 程。
当入射角 i i0 时，可以全反射传送
当 i i0 时，光线将会透过内壁进入包层
1 几何光学基本定律
7、费马原理（ Fermat’s Principle ）

光程： 均匀介质中，光程表示光在该介质中走 过的几何路程 l 与介质折射率 n 的乘积。
s nl nvt ct
光在介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走过的 几何路程。
P( x, y)
s
C
n1
n2
n1SP n2 PQ n1SO
N
上式化为 n1 ( x 2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d n2 d 2 ) z2 n1 n2 1 2 2 2 2 d n1 /(n1 n2 ) (n1 n2 )d /(n1 n2 ) (x
Qi
Qr 2
N r1
Qr1
i i1
折射定律
Q1 N sin i1 Q2 N sin i2
n1sini1 n2sini2
1 几何光学基本定律
A ( B C) B( A C) C( A B)
x
n1
P
O
M ( x, y)
P
s
z
s
n2
这样，得到的是一个四次曲 线方程，将此曲线绕光轴旋 转而形成的曲面称为笛卡儿 z 卵形面，它就是PP等光程 面。此面只是轴上物点的等 光程面。
1 几何光学基本定律
8、马吕斯定律
光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保 持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对 应点之间的光程均为定值。 这种正交性表明，垂直于波面的光线束经过任意 多次折、反射后，无论折、反射面形如何，出射光 束仍垂直于出射波面。
n'

2 i'0
B
练习：
i 0 符合什么条件时 发生全反射现象？
na
i0
n
i '0
n'

2 i '0
B
A
2 根据折射定律，有：na sini0 n sini'0
2 2
当

S
i'0 大于临界角时，就发生全发射。
ncos i'0 n'
n2 n' 2 )
1 可以得到： na sin i0 n n' i0 arcsin( na