(全国III卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)

(全国III 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）

1、【2017年高考数学全国三卷理11】11．已知函数2

1

1()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12

-

B ．

13

C ．

12

D ．1

【答案】C

函数()f x 的零点满足()

2112e e x x x x a --+-=-+， 设()1

1e

e

x x g x --+=+，则()()211

1

1

1

1

1e 1e

e

e

e e x x x x x x g x ---+----'=-=-

=，

当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.

设()2

2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，

若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；

若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得1

2

a =.故选C. 解法三：对称性

)(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 可得

()

1

1

2

1)2(1222)

()2(2)2()2(+--+----++-=++---=-x x x x e

e

a x x e e a x x x f

)()2(x f x f =-，即1=x 为方程的对称轴. )(x f 有唯一零点，)(x f 的零点为1=x ，

即01=）（f ，解得1

2

a =

.故选C. 【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想

【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

2、【2017年高考数学全国三卷理12】12．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD

相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则λμ+的最大值为

A ．3

B ．22

C ．5

D ．2

【答案】A 【解析】 方法一：特殊值法

5

521,2+

==y x 225

5212>+=+=

+y x μλ,故选A 方法二：解析法

如图所示，建立平面直角坐标系.

设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,

易得圆的半径5

r =

，即圆C 的方程是(

)2

2425x y -+=，

()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r

，

则21x y μλ

=⎧⎨

-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x

y λμ+=-+，

设12x z y =

-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()2

2425

x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102x

y z -+-=的距离d r ≤，即215

14

z -≤

+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.

如图：由等和线相关知识可知，当P 点在如图所示位置时，μλ+最大，且此时若

AD y AB x AG +=,则由y x +=+μλ，由三角形全等可以得2===FG DF AD ,知

0,3==y x ，所以选A

【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理

【思路解析】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

3、【2017年高考数学全国三卷理15】15．设函数

10

()

20

x

x x

f x

x

+≤

⎧

=⎨

>

⎩

，

，

，则满足

1

()()1

2

f x f x

+->的x的取

值范围是_________.

【答案】

1

,

4

⎛⎫

-+∞ ⎪

⎝⎭

【解析】

写成分段函数的形式：()()()

1

32,021

112,02221222,2x x x x g x f x f x x x x -⎧

+≤⎪⎪⎪⎛

⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝

⎭⎪⎪+>⎪⎩

，

函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭

三段区间内均单调递增，

且(

)

01111,201,222142g -⎛⎫-

=++>+⨯> ⎪

⎝⎭

，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫

-+∞ ⎪⎝⎭

.

解法二:图象变换法：

函数)2

1

(),(-==x f y x f y 在R 上都是增函数.

)(x f y =向右平移

2

1

个单位得⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=21x f y 的图象。

观察图象，0≥x 时，1)2

1()(>--x f x f

0

1

1)21()(>+--+=--x x x f x f

所以04

1

-<

方法三：图象转换法

10()20x

x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1

()()12f x f x +->，

即)21

(-x f 与)

(1x f y -=的图象如图所示：