绝对不等式的证明

常识性理解的论证
分析：
若以a表示糖水，b表示糖，那么b/a表示糖水的浓度。 现在加糖m，糖水变甜，浓度增大，因此，不等式成 立。 利用生活中的经验可以让同学们更好的理解不等式 的意义。
例2、证明
(a + b )(c + d ) ≥(ac + bd)
2
2
2
2
2
分析 用向量的观点考察不等式会比较直观，例如以上的 二维柯西不等式中，可令向量
2
方法5
构造函数证明不等式
某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看 成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来 证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造 恰当的不等式。 例 5、 已知 a , b R ,求证：
ab 1 a b

b 1 a

a 1 b
分析
从不等式的结构来看，易构造函数
(a, b), (c, d )
则
a b , c d , ac bd .
2 2 2 2
上述柯西不等式可以用向量表示为

方法 2
用综合法证明不等式
证明绝对不等式的综合法，是从题目的已知条件 或已知成立的不等式出发，利用不等式 的基本性 质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。 利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通 过变形，将未知的不等式归结为常用的不等式。 2 2 以下不等式是常用的。如：
教材：中学代数研究
绝对不等式的定义：
当不定元取一切有 意义的数值时，不等式 恒成立，我们称之为恒 不等式，也称为绝对不 等式。
常识性理解的论证 综合法证明不等式 分析法证明不等式 放缩法证明不等式
构造函数证明不等式
构造几何图形证明不等式 反证法证明不等式
方法1
罗增儒教授用糖水浓度的思考方法，借助生活经验 推的得一系列的不等式。 例1 、 若a, b, m都是正数，b a, 则b / a b m /a m.
a b 2ab ab ab 2
方法3
用分析法证明不等式
分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析 法论证，“若 A 则 B ”这个题的模式是：欲证 B 的 真，只需要证明命题 B1 的真，从而又 …… ，只要 证明 A 为真。现在已知 A 真，故 B 真。可见分析法 事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件， 写出简要的形式为： B<=B1<=B2<=…<=Bn<=A
例3、证明
b ( b + m) < a ( a + m)
分析
只需证
ba m a b m
百度文库
两端约去ab,故只需
再证
因为已知
只需
m 0; ba
bm am
但是这是已知条件，故原不等式成立
注：分析法不是等价证明，不应写成
B B1 B2 Bn A
方法4
用放缩法证明不等式
2 2 2 2 2 2
a b (1 a ) b (1 a ) (1 b ) a (1 b ) 2 2
2 2
我们利用构造图刑法证明不等式的关键是构造 图形，常构造的图形有立体几何图形，平面几何 图形，解析几何图形，函数图像等。
方法7
用反证法证明不等式
反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明 中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成 立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐 步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛 盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为：
1 4 6 2n 1 1 A 1 1 1 2n 1 3 5 2n 1 3 5 b bm , 得 b a , a , b , m R 由不等式 a a m
令
4 5 6 7 2n 2 2n 1 2n 2n 1 , , , , , 3 4 5 6 2n 3 2n 2 2n 1 2n
易证f(x)在R＋上是函数。
因为
x f x ( x 0) 1 x
f a b f a b
a b a b,
所以
从而有
ab ab 1 a b 1 a b
b
b 1 a
1 a b 1 a b
a 1 b

a

方法6
构造几何图形证明不等式
PA a b , AP (1 a ) b ,
2 2 2 2
PB (1 a ) (1 b ) , PC a (1 b ),
2 2 2 2
BD 2 , AC 2
有三角形的性质得 DP BP BD , AP CP AC ,
所以 即
DP BP AP CP BD AC
利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量C， 使 A<C<B 成立， C在量 A 与 B之间架起一座桥梁， 通过桥梁 C 的过渡，使 A 与 B 之间间接地建立起不 等关系。
例 4、已知n为正整数，试证：
1 2n 1 1 1 1 1 1 2 3 5 2n 1
分析
5 7 2n 1 2n 1 A , 4 6 2n 2 2n
将这个同向不等式相乘得
2
4 5 6 7 2n 1 2n 1 A 3 4 5 6 2n 2 2n 2n 1 2n 1 2n 1 故A , 证毕. 3 4
如果说不等式中的抽象数量关系能用图形表示，利用 图形的几何性质即可证明不等式。 例6.设 a (0,1), b (0,1)，求证
a b (1 a ) b (1 a ) (1 b ) a (1 b ) 2 2.
2 2 2 2 2 2 2 2
分析
从左式四个表达式特征可以看出，他们表示两点间的 距离。故可以构造点A(1，0),B(1，1),C(0，1),D(0，0) 四边形为正方形，令点P的坐标为(a,b)，则