解析几何部分第二轮复习建议

解析几何部分第二轮复习建议北大附中刘福合
二、近几年高考解析几何命题特点及命题趋势
近几年高考解析几何命题特点：
1.题型稳定：近几年高考解析几何试题一直稳定在1（或2）个选择题，1个填空题，1个
解答题，分值在24-29分间.
2.注重覆盖，重点突出：《考试说明》中涉及到的解析几何知识点20多个，一般考察会在
10个以上，其中对直线、圆、圆锥曲线的考察一直是重点，往往通过对知识的重新组合命题，考察时既照顾到全面，更注重突出重点，对支撑数学知识体系的主干知识，考察时保证较高比例的同时保持必需的难度。

近几年的考察集中在下列类型：
①与概念相关问题（倾斜角、斜率、距离、平行、垂直、线性规划、圆锥曲线相关概念等）。

②求曲线方程和轨迹（题型确定，类型未定）；
③直线与圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题；
④与曲线有关的最（极值）值问题；
⑤与曲线有关的几何证明问题（包括垂直、平行、过定点、定值等）；
⑥探求曲线方程中几何量及参数的数量特征（包括范围、定值等）.
3.能力立意，渗透数学思想：如11年19题，将直线、圆、椭圆结合起来，考察离心率、
弦长、函数最值等知识，考察学生分析、解决问题的能力、推理论证能力、抽象概括能力，考察了数形结合、函数与方程等数学思想.
4.题型力求新颖，大题位置固定，小题位置不定：这几年的命题明显重视知识间的联系（包
括解析几何内部间的联系以及与向量、函数、方程、不等式等的联系），解答题一般在倒数第二题位置，但填空或选择时有变化.
三、最近三年分值及考点分布情况
四、复习建议
1.进一步强化概念：提高学生应用定义解题的意识.
2.强化数形结合：解析几何的研究对象是曲线的方程和方程的曲线，核心是通过坐标系将曲线和方程联系起来，实现二者的双向转化.
3.加强基本方法，典型问题的训练：设而不求、整体代换、点差法这些基本方法必须熟练掌握，直线与曲线位置关系、定点、定值、范围等问题必须熟练解题套路.
4.突破运算关：直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点，解答的关键是坐标化，难点是代数运算和推理，以及参数的处理.
5.提高学生等价转化的能力：实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化.例如教给孩子一些常用的解答策略：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?列的前提是找关系，解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位.
6.指导学生对问题进行较深入的思考和横向联系(椭圆、双曲线、抛物线).
7.进一步强调表达的规范，解题步骤书写合理（如不进行对△的判断直接出现韦达定理的结果）.
8.根据本校的实际情况有针对性地设立专题（如定义、性质的应用，范围、最值问题，定点、定值问题，存在性问题等）.
解析几何题不但体现考试说明中对运算能力的要求，还很好体现个性品质要求：考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。

五、难点突破
1.参数范围、最值问题——创建不等式或函数关系，解不等式或求值域（熟悉常见函数类型值域求法，特别是2ax b
y cx dx e
+=
++或其倒数型）
2.定点、定值问题——恒成立问题（与参数无关）
3.存在性问题——设存在——推演——得结果或矛盾——下结论. 六、参考例题
1. 点P 在
22
11620
x y -=上，若19,PF =则2PF = .17 2. 抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则a 的值为 （B ） A ．
14 B ．1
4
- C ．4 D ．-4 3.(山东07第21题)已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ≠0）与椭圆交于不同的两点A 、B （A 、B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
3,1a c a c +=-=，2
2,1,3a c b === 22
1.43
x y ∴+=
(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-， 1212122
y y
x x ∴
⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--+++=+++，2271640m mk k ++=， 解得1222,7k
m k m =-=-，且满足22340k m +->.
当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k
m =-
时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
4.(期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为
2
,Q 为椭圆C 的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知过点6(,0)5
-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.
（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;
（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，且2
22a
b c .
由题意可知：1b
，
3
2
c
a . ………………………………………2分 所以2
4a .
所以，椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65
x =-
. 由226,514
x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
即64
64(,), (,)5555
A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.
………………………………………5分
则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ
BQ .
所以 2
AQB π
∠=
. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6
()(0)5
y k x k =+≠.
由226(),514
y k x x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6
(
,0)5
在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222
122240,25100144100.25100k x x k
k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116
()5y k x =+，226()5
y k x =+， 所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++
121266(2)(2)()()55
x x k x k x =++++⋅+ 2
221212636(1)(2)()4525
k x x k x x k =+++
+++ 222
2222144100624036(1)
(2)()402510052510025
k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.
所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA
=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB .
记点6
(,0)5
为N .
另一方面，点M 的横坐标22
1
2
22
120242
25100520M
x x k k x k k ，
所以 点M 的纵坐标2
66()5520M M
k
y k x k .
所以 22222
1016666(,)(,)520520520520k k k
QM NM
k k k k 222
601320(520)k k .
所以 QM 与NM 不垂直，矛盾.
所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.
………………………………………13分
5.已知抛物线方程为2
4 (0)y ax a =>，抛物线上有两个动点P 、Q 满足OP ⊥OQ （O 为坐标原点）.证明：直线PQ 过定点.
6.（江苏2010
7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(0,1).
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）,A B 为椭圆C 的左右顶点，
直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.证明：当点P 在椭圆C 上运动时，
||||DE DF ⋅恒为定值.
解：（Ⅰ）由题意可知，1b =，而
c a =222a b c =+
. 解得2a =，所以，椭圆的方程为2
21
4
x y +=. （Ⅱ）(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P
x y ，022x -<<，
直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =
02)2y y
x =+， 即00||
||2)|2|
y DE x =+；
直线BP 的方程为00(2)2y y x x =
--，令x =0
02)2
y y x =-，
即00||
||2)
|2|
y DF x =-；
0000||||||||2)2)|2||2|y y DE DF x x ⋅=⋅+-22
00
22
0044|4|4y y x x ==-- 而2
2
0014
x y +=，即220044y x =-，代入上式，
∴||||1DE DF ⋅=，所以||||DE DF ⋅为定值1.
8.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为，长轴长为
4.设直线l 是圆O ：
224x y +=上动点00(,)P x y 处的切线，l 与椭圆C 交于不同的两点,A B .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P
点坐标为，求l 的直线方程； （Ⅲ）证明:∠AOB 的大小为定值.
解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程22
1126
x y += (2)
分（Ⅱ）40x -=………………4分
（Ⅲ）点P 在圆224x y +=上， 当x 0≠0时,
圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0
000
x y y x x y -=-
-，化简得004x x y y +=. 当x 0=0，切线为x=-2或x=2,满足上式，故切线方程为004x x y y +=………………6分 当x 0y 0=0时，切线斜率不存在或斜率为0，可得AOB ∠=2
π
………………7分 当x 0y 0≠0时,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
由002
2
4212
x x y y x y +=⎧⎨
+=⎩及224x y +=得，222000(4)1612160x x x x x +-+-=
20122012164x x x x ∆>⎧⎪-⎨=⎪+⎩……10分, 同理消去x 得0
2
012
2
012164x y y x ∆>⎧⎪-+⎨=⎪+⎩
………………12分
12120x x y y ∴+=………………13分 故AOB ∠=
2π
，定值
………………14分
9.过x 轴上动点A(a ,0)引抛物线y=x 2+1的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点.
（Ⅰ）若AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值，并求出该定值； （Ⅱ）求证：直线PQ 恒过定点，并求出这个定点坐标； （Ⅲ）当
S APQ PQ
∆取得最小值时，求AP AQ ⋅的值.
10.已知抛物线C ：y 2=x 和直线l ：y=kx+
4
3
,要使C 上存在关于l 对称的两点，求实数k 的取值范围.
11.在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为OAB ∆的直角顶点.已知||2||OA AB =，
且点B 的纵坐标大于零. （Ⅰ）求向量AB 的坐标；
（Ⅱ）求圆0262
2
=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使抛物线12
-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不
存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.
（1）设22||2||
100(,),,430,0
AB OA u v AB u v u v AB OA ⎧=⎧+=⎪=⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩则由即得
66
,.(4,3),88u u OB OA AB u v v v ==-⎧⎧=+=+-⎨
⎨==-⎩⎩
或因为 所以v －3>0,得v =8,故AB =（6，8）.
（2）由OB =（10，5），得B （10，5），于是直线OB 方程：.2
1
x y =
由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则
,31,2
3
102
1223
⎩⎨
⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则
.23
,022544,02252,,2252,202222
22221221212
1212121>>-⋅-=∆=-++
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a a
a a a
a
x a x x x a a x x a
x x x x y
y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当2
3
>
a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 12.（2009山东）设椭圆E :22
221(0)x y a b a b
+=>>
过M N 两点，O 为坐标原点，
(I)求椭圆E 的方程；
(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
解析:(Ⅰ)因为椭圆E : 22
221(0)x y a b a b +=>>
过M N 两点,
所以2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,解得2211
8
114a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,所以2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.
椭圆E 的方程为22
184
x y +=
(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
222(12)4280k x kmx m +++-=,
则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22840k m -+>.
1222
1224,1228.12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++, 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
2228801212m m k k k --+=++,
所以2
2
3880m k --=,所以22
38
08
m k -=≥
又22
840
k m
-+>,所以
2
2
2 38 m
m
⎧>
⎪
⎨
≥
⎪⎩
,
所以m≥
或m≤,
因为直线y kx m
=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为22
2
2
2
8
,
38
13
1
8
m m
r r r
m
k
=====
-
+
+
所求的圆为22
8
3
x y
+=,
此时圆的切线y kx m
=+
都满足m
或m≤,
而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆
22
1
84
x y
+=
的两个交点为
或(满足OA OB
⊥,
综上, 存在圆心在原点的圆22
8
3
x y
+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB
⊥.
因为
122
2
122
4
12
28
12
km
x x
k
m
x x
k
⎧
+=-
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
,
所以
222
222
1212122222
4288(84) ()()4()4
1212(12)
km m k m
x x x x x x
k k k
--+
-=+-=--⨯=
+++
,
||
AB===
==
①当0
k≠
时||
AB
因为2
2
1
448
k
k
++≥所以
2
2
11
18
44
k
k
<≤
++
,
所以
2
2
32321
(1)12
1
3344
k
k
<+≤
++
,
||AB ≤k =时取”=”.
②当0k =时,||AB
③当AB 的斜率不存在时, 两个交点为或(,
所以此时||AB =
综上, |AB |||AB ≤≤: ||AB ∈ 13. 已知椭圆C ：22
22 1 (0,0)x y a b a b
+=>>的焦点在x 轴上，它的一个顶点B 与抛物线x 2=4y
的焦点重合，其离心率为双曲线x 2-y 2=3的离心率的倒数.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设F(-c,0)是椭圆的左焦点，点P 2,0a c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，过点P 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，
求△ABF 面积的最大值. 解：（1）因为抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),所以b=1. …………1分
又因为双曲线x 2-y 2=3，所以椭圆C 的离心率为
2
，…………2分
2
==，解得a 2=2, …………3分 所以椭圆C 的方程为2
2 1 2
x y +=…………4分 （2）由（1）知P （-2,0），可设直线l 的方程为：x=my-2, …………5分 代入椭圆方程整理得，（2+m 2）y 2-4my+2=0, …………6分 △=8m 2-16,依题△>0, …………7分 所以m 2>2. ………8分 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 y 1+y 2=
242m m +, y 1y 2
=2
2
2m +,………9分 而S △ABF =S △ABF -S △PAF ………10分
=
211
||||2PF y y ⋅- =211
||2y y -
4
………13分
当且仅当m2=6即
m=(此时适合m2>2)时取得等号.
所以△ABF
面积的最大值为
4
.………14分
14.（北京2011 19题）已知椭圆G:
2
21
4
x
y
+=.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G
于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值. 解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1.
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B
的坐标分别为,1,
⎛⎛
⎝⎭⎝⎭
此时
当m=－1时，同理可得
|AB|=
当|m|>1时，设切线l的方程为y=k(x-m)
由
4
4
8
)
4
1(
.1
4
),
(
2
2
2
2
2
2
2=
-
+
-
+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
-
=
m
k
mx
k
x
k
y
x
m
x
k
y
得
设A、B两点的坐标分别为
)
,
)(
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x，则
222212
221414
4,418k m k x x k m
k x x +-=+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]41)
44(4)41(64)[1(2
222242
k m k k m k k +--++=2
.
3
||342+=
m m
由于当m =±3时，|AB|=3
所以(][)243||
| ,11,3
m AB m m =
∈-∞-+∞+.
因为2
43||43
||233||||
m AB m m m =
=≤++ 且当3m =±时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
15.（辽宁理20）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设1
2
e =
，求|BC|与|AD|的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)
x y b y x C C a b a b a a +=+=>>
设直线l :x=t (|t|<a)，分别与C 1，C 2的方程联立，求得
2222
(,
),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分 当1
2
e =
时，32b a =,分别用y A 、y B 表示A ，B 的纵坐标，可知
222||3
||:||.
2||4B A y b BC AD y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即
,
a b t t a =- 解得22
2
221ab e t a a b e
-=-=--- 因为|t|<a,又0<e<1,所以2
211e e
-<
1e <<，
所以当02
e <≤
时，不存在直线l ，使得BO//AN ；
当12
e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分
16.（2010北京高考理科19）在平面直角坐标系xoy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
(湖北省2011)20题 平面内与两定点A 1(-a ,0), A 2(-a ,0)(a>0)，连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C ；对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞)，对应的曲线为C 2，设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问：在C 1上是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2.若存在，求tan F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由.
(源于教材选修2-1 B （07版）P 。

38 练习B3,P.43练习B2，P 。

58 习题2-3B 3 )
参考习题
1.
已知两曲线参数方程分别为 (0)sin x y θθπθ⎧=⎪
≤<⎨=⎪⎩和25 ()4x t t R y t
⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交
点坐标为___________．
2.在极坐标系中，过点A （3,0）且与极周垂直的直线交曲线4cos ρθ=于M 、N 两点，则|MN|= .23
3.（2011年北京高考理科14）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2
(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则21PF F ∆的面积不大于
212
a . 其中，所有正确结论的序号是____________.②③
4.已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
（A ）
34 （B ）1 （C ）54 （D ）74
5. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足
1122::PF F F PF =6:5:4，则曲线C 的离心率等于 ．15
22
或
6.已知椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.
求证:（1）22
221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b +.
7.(浙江2010) 已知1m >，直线2
:02m l x my --=， 椭圆22
2:1x C y m
+=，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ， 12BF F 的重心分别为,G H .若原点O
在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
（Ⅰ）解：因为直线:l 202
m x my --=经过2
2(1,0)F m -，所以2212m m -=,得
22m =，又因为1m >，所以2m =，
故直线l 的方程为210x y --=。

（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，
由2
2
22
21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得
2
2
2104
m y my ++-=
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>，知28m <， 且有212121
,282
m m y y y y +=-⋅=
-。

由于12(,0),(,0),F c F c -由题可知1122(,),(,),3333
x y x y
G H 因原点O 在以线段GH 为直径的圆内1212099
x x y y
OG OH ⋅=+<
即12120x x y y +<
而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1()82
m m =+-） 所以
21
082
m -<，即24m <。

又因为1m >且0∆>，所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2). 8.（2011山东理22）
已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +=交于P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)两不同点，且△OPQ 的面积
2
OPQ S ∆=
,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22
12y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求|OM||PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，
使得2
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以2121,.x x y y ==-
因为
11(,)
P x y 在椭圆上，
因此22
11132x y +=
①
又因为
2OPQ S ∆=
所以
11||||x y ⋅=
②
由①、②得11||| 1.x y =
=
此时
2222
12123,2,
x x y y +=+=
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
1
32x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
其中
2222
3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+-> 即22
32k m +>
…………（*）
又2121222
63(2)
,,2323km m x x x x k k -+=-=++
所以2
||23PQ k ==+
因为点O 到直线l
的距离为
d =
所以
1
||2OPQ S PQ d ∆=
⋅
223k =+
223m k =
+
又
OPQ S ∆=
整理得
22322,k m +=且符合（*）式， 此时22
22
21
2
121222
63(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++
222222
121212222(3)(3)4() 2.
333y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述，
222212123;2,
x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时，
由（I
）知
11|||||2||2,OM x PQ y ==
==
因此
||||2OM PQ ⋅=
=
（2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
123,22x x k
m +=
2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),
(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m
k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以
2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=
⨯-⨯⨯+
2222
211
(3)(2)113225(
).24m m m m =-
+-++≤= 所以
5||||2OM PQ ⋅≤
，当且仅当2211
32,m m m -=+=即时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.
2
解法二： 因为
222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=
所以224||||10
2|||| 5.
25OM PQ OM PQ +⋅≤==
即
5
||||,
2OM PQ ⋅≤
当且仅当2||||OM PQ == 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5
.2
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G
，使得
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
证明：假设存在1122(,),(,),(,)ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===
满足，
由（I ）得
22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.2
,,,,,1,2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取 因此D ，E ，G
只能在(1)2±
±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.。