留数在物理学中的应用

留数在物理学中的应用

摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。

关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导

目录

第一章 留数..........................................3 1.1 引言 1.2 留数的定义 1.3 留数定理

1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展

第二章 留数定理在电磁学中的应用.........................6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用

第三章 留数定理在物理学其他领域的应用.......................15 3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分dx x

x

⎰

∞

sin 中的 3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分

dx dx x x ⎰⎰

∞

∞

2

2

cos ,sin 中的应用

3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的⎰

∞->0

),0(cos 2

为任意实数b a bxdx x e

a

积分中的应用

第四章 结语 (18)

参考文献 (19)

第一章 留数]1[

1.1 引言

留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.

1.2 留数的定义

如果函数)(z f 在z 0的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理

0)(=⎰dz z f c

（1）

其中C 为z 0邻域内的任意一条简单闭合曲线.

但是如果z 0是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在z 0的某个去心邻域内，并包围点，则积分

⎰c

dz z f )(

的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 ⎰c

dz z f )(＝ic π21- （2）

我们把（留下的）这个积分值除以2πｉ后所得的数为)(z f 在0z 的留数,记作Res ]),([0z z f ，即

Res ]),([0z z f =

⎰c

dz z f i )(21

π （3） 从而有

Res ]),([0z z f =c 1- （4） 此处的c 1-是函数)(z f 通过洛朗级数展开的第负一次项系数.

1.3 留数定理

定理一 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇1z ，2z ，...，n z 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ⎰c

dz z f )(=2πi

∑

=n

k 1

]),([k z z f （5）

利用这个定理，求沿封闭曲线C 的积分，就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.

定理二 如果函数)(z f 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.

1.4 留数求法及一般规则

I 如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么 Res ]),([0z z f =0，

以为此时)(z f 在0z 的展开式是泰勒展开式，所以c 1-=0

II 如果0z 是本性奇点，那就往往只能把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求

c

1

-.

III 在0z 是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果0z 为)(z f 的一级极点，那么

Res ]),([0z z f =lim 0z z →（z-0z ）)(z f （6）

规则二 如果0z 为)(z f 的m 级极点，那么

Res ]),([0z z f ={})()

(lim 0)!1(11

1

0z f z z dz

d m

m m z z m ---→- （7）

规则三 设)(z f =

)

()

(z Q z P ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果P(z)≠0，Q （z ）=0，Q '(z)≠0，那么0z 为)(z f 的一级极点，而

Res ]),([0z z f =

)

(')

(z Q z P （8） 规则四 ]0,1

)1([Re ]),([Re 2z

z f s z f s ⋅-=∞ （9）

1.5 留数定理的拓展

对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及． 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出． 当被积函数满足一定的条件]2[，即区域D 的境界线为C ，函数 )(z f 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: a z z K z f z f |||)()(|2121-≤-，(0≤α＜1 ) ，其中K 、α 都是实常数，1z 、2z 为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式: