哈工大概率论小论文

概率论课程小论文计算机科学与技术学院

信息安全专业一班(1303201)

姓名：宫庆红

学号：1130320103

概率论中用到的几种数学思想

作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进行简单的讨论。

一．概率论中的数学归纳法思想

在概率问题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论, 这些结论在使用数学归纳法来证明时, 常常需要配合使用全概率公式, 从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。

例l 设有冷个罐子, 在每一个罐子中各有m 个白球与k 个黑球, 从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中, 并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。

分析: 先探索规律, 设n =2

令 H1=“ 从第一个罐子中取出一个球, 是白球”

H2=“ 从第二个罐子中取出一个球, 是白球”

显然P(H1)=k m m

+,所求之概率

P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1)

=k

m m k m m k m k k m m k m m +=++⋅+++++⋅+111 这恰与n=1时的结论是一样的，于是可以预见，不管n 为什么自然数，所求的概率都应是k

m m +。

上述预测的正确性是很容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i 个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t 时，结论成立，即 P(Ht)=k

m m + 则当n=t+1时，有

P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht ’)P(Ht+1|Ht ’) =

k

m m k m m k m k k m m k m m +=++⋅+++++⋅+111 于是，结论P(Hn)=k m k +对任意自然数n 都是成立的。 不难看出，在这里数学归纳法之所以能顺利进行，那是由于在知道从第t 个罐中取出的球的颜色（比如是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全清楚了。（相当于从第t 罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k 个黑球）所以相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=11+++k m m (或P(Ht|Ht ’)=1

++k m m )也就随之而得了。 二．概率论中的微积分思想

在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的基础。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得重视的问题。现在，简单归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。 幂级数方法

例1 设随机变量ξ服从参数为（r,p ）的负二项分布，（r ≧1,0

P{ξ=m}=q p C r m r r m ---11,m=r,r+1,……q=1-p,

求E(ξ).

解 这道题的解题过程中要用到公式 ∑-∞=-+=r m r m r m r x C x )1(1

1

。 这个公式是有)10(110

<<=-∑∞=x x n n x 连续逐项求导r 次后得到的。事实上 p

r r r m E q p q C p q p C r r r m r m r m r r m r r m r m ====-∑∑+-∞=-∞=--)1(1111)(ξ. 三．概率论中的集合论思想

集合论是在十九世纪末由德国数学家康托创立的, 以后逐步发展形成一门独立学科, 现已渗透到数学的各个分支。早在上世纪30 年代初, 冯#米泽斯就开始用集合论观点研究事件。以下主要探讨集合论观点在概率论中的应用。概率论中有关事件与概率部分内容, 概念、公式繁多, 难以理解,以下结合集合论知识可直观地理解概率论中基本知识。

1 集合及运算

1.1集合及事件。

集合是一个原始概念, 康托曾这样描述过它: 集合就是由某些确定的能够区分的对象( 具体的或抽象的事物) 汇集而成的一个整体。组成集合的每一个对象( 事物) 称为该集合的元素。如果集合A 中的所有元素都是集合B 的元素, 称A 为B 的子集。

概率论中引进集合论, 用集合来研究事件, 使得概率论的研究更加严格化。将随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间, 用Ω表示。样本空间的每一个元素即试验的每一个可能的结果,

称为基本事件或样本点, 用w 表示。而随机事件由若干个基本事件组成, 可看作样本空间的一个子集, 用A 、B 、C 表示。在一次试验中出现的样本点w∈A⇔事件A 发生, 反之, 若w∉A⇔事件A 不发生。Ω是自身的子集, 每次试验中必然发生, 称必然事件。空集∅也是样本空间的子集, 在每次试验中不可能发生, 称不可能事件。

1.2集合的关系及运算。

集合的关系和运算有: 包含、相等、并、交、差、补、对称差。而用集合论观点定义的事件也有相应的关系及运算: 包含、相等、和、交、互不相容、差、对立、对称差。集合论中, 通常用文氏图来表示集合间的关系及运算, 全集U 用一个矩形表示, 矩形中的点表示元素, 每个子集用该矩形内的闭区域( 常用圆形区域) 表示。类似地, 当事件间的关系及运算借助于文氏图来表示时, 就比较直观,易于理解、掌握。

1.3 运算律。

集合的运算律对事件同样适用, 运算律包括否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律和对偶原则。

以上性质关于和与交的等式有一特点, 等式都是配对出现的, 把其中一个等式中的运算和换成交,交换成和, 那么便得到另一等式, 这种性质称为对偶性质, 和与交是一对对偶运算。而关于差, 对称差就没有这种对偶性质, 如分配律, 有C ( A - B ) = CA - CB 成立, 即交对差的分配律成立, 而和对差的分配律不成交。有A(B∆C) = ( AB)∆( AC ) 成立, 交关于对称差的分配律成立, 而和关于对称差