矩阵二次型讲解

a11 x1 a12 x2 a1n xn

(
x1 ,
x2
,,
xn)
a21
x1

a22
x2



a2n
xn

an1 x1 an2 x2 ann xn
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a11 a12 a1n x1
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2

A E 2
14
4

182 9
2 4 14
5 1 3
解：A


1 3
5 3
3 c

r( A) 2 A 0 c3
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四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
二次型；
二次型的矩阵 A 满足：
⑴ A 的对角元 aii是 xi2 的系数；
⑵ A 的 (i, j) (i j) 元是 xi x j系数的一半.
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三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
若C 是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换
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二次型研究的主要问题是：
寻找可逆变换 x Cy，使
nn
f ( x)
aij xi x j
i1 j1
x Cy f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2 .
这种只含平方项的二次型称为二次型的标 准形(法式). 标准形的矩阵是对角阵.
2a x x a x x a x x 则


,
ij i j
ij i j
Hale Waihona Puke Baiduji j i
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则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
存在正交变换 x Py，使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1, 2 ,, n是 f 的矩阵 A 的特征值.
即任何二次型都可用正交变换化为标准形.
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A; 2.求出A的所有特征值1, 2,, n; 3. 求出对应于特征值的特征向量1, 2 ,, n ;
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 当aij是实数时, f称为实二次型
（我们仅讨论实二次型）
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例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2

f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz

都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
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例１ 写出二次型 f x12 2x22 3x32 4x1x2 6x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取 a ji aij ,
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
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练习 求二次型 f 的矩阵
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x22 2x1x2 3x2 x3


1 1 0

解： A 1

2
3

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从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 9代入A Ex 0, 得基础解系 1 1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A Ex 0, 得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
f (x, y) x2 y2 5 f (x, y) 2x2 y2 2x

不是二次型。

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只含有平方项的二次型
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
4. 将特征向量1, 2,,n正交化, 单位化, 得
1,2 ,,n , 记C 1,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2.
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例 将二次型
f 17x12 14x22 14x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 通过正交变换 x Py, 化成标准形.

x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由变量x1, x2,, xn到变量y1, y2,, yn 的一个线性变换.
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c 记C ( ), ij
二次型用和号表示
n
aij xi x j i , j1
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2
xn (an1 x1 an2 x2
a2n xn ) ann xn )
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x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
(3) f ( x ,, x ) x x x x x x
1
n
12
23
n1 n

0

1 2
0
0
1 2
0
1 2
0

解： A


0
1 2
0
0



0
0
0
0
0 0 0
1

2
0


0


0


1
2

0
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－2

x


x2
xn
,
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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则 f xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵：AT A.
说明
对称阵与二次型一一对应；
若 f xT Ax ( AT A)，则对称阵 A称为
二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的
2
0
3
0
2

(2) f ( x1, x2, x3, x4 ) x12 2x22 7 x42 2x1x2 2x2 x3 4x3 x4
1 1 0 0
解：
A


1
2
1
0

0 1 0 2

0
0
2
7

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化二次型为标准形
对二次型 f xT Ax 作可逆变换 x Cy，
相当于对对称阵 A 作合同变换； 把二次型化成标准形相当于把对称阵 A用合
同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，
即寻找可逆阵C , 使C T AC diag(k1, k2,, kn ). 定理 任给二次型 f xT Ax( AT A) , 总
例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。A 3
解： f ( x1, x2 , x3 )

1 2
2 x12 x22 x32 2 3 x1 x2 x1 x3
3
1
2

1 0

0 －1
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
f ( x1, x2, x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3


x1
,
x2
,,
xn

a21
a22
a2n x2
an1 an2 ann xn
a11 a12 a1n
x1
记
A


a21
an1
a22
an2

a2n
ann
,
所以r(B) r(A)
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以上说明：
二次型 f X T AX 经过可逆线性变换 X CY后， 二次型 f 的矩阵由对称矩阵 A变为对称矩阵 B CT AC, 且二次型 f 的秩不变.
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矩阵的合同关系
定义 设 A和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C ，
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注释：
1. 二次型 f 的矩阵 A必为对称矩阵.
2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的） 3. “合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中，
多针对对称矩阵考虑合同关系 4. 任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同
与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵
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三个特数别中地取，值如，果那标么准这形个中标的准系形数称k为i只二在次1,型1,0
的规范形.
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经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：
f xT Ax x Cy f yT By 因为有 f xT Ax
(Cy)T A(Cy) yT (CT AC) y, 所以 A与 B 的关系为：B C T AC.
c11 c12 c1n
系数 矩阵
C


c21
c22
c2n
cn1 cn2 cnn

x 1

X


x2


x n


y 1

Y


y2

yn
则线性变换可记作： X CY
若C 是可逆矩阵，则称线性变换（2）是非退化线性变换
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则 (1) B CT AC 仍是对称矩阵 (2) r(B) r( A)
因为 (1) BT (CT AC )T CT AT (CT )T CT AC B
(2) B CT AC 所以 r(B) r(AC) r(A)
A (C T )1 BC 1 所以r(A) r(BC 1) r(B)
使
B CT AC,
则称矩阵A与 B 合同.
说明
合同关系是一个等价关系.
设A 与B合同，若A 是对称阵，则B 也对称阵. 若 A与 B合同，则 R( A) R(B) .
经可逆变换 x Cy 后，二次型的矩阵由 A变 为与A 合同的矩阵 C T AC , 且二次型的秩不变.
对称阵一定合同, 相似与一个对角阵.