平面向量四心问题(最全).

近年来，对于三角形的"四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考

B .内心 D .垂心

解析：由厂上-“一…」--八八,

即"-「；

- :

' .1 |L <'匸-

则 I '<：|1

厂

所以P 为的垂心.故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识•将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合•

内心问题

三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点， 所以“内心”就在内角平分线线上

例3 已知P 是厶ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足

D 、内心

AB

解析：如图2所示，因为亠 是向量一丄，的单位向量设】-丄，

与」」方向上的单位向量

―I- 1-

_____ ___________ ____________ __________________________________________ ■-

— 1

分别为又---止-，则原式可化为一 —7) ■-，由菱形的基本性质 知AP 平分二工7-'，那么在一丄匚 中,AP 平分一三上L'，则知选 B.

A.外心 心

C .重

则动点 P 一定过△ ABC 的 C

A 重心

B 、垂心

C 、外

AB

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 MT 是什么？想想一个非零向

量除以它的模不就是单位向量？

此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、

向量的基本定理、菱形的基本性质、 角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁 移到一起，这道题就迎刃而解了 •

四、 外心问题

三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线 线上•

例4已知0是厶ABC 内的一点，若

= 0^ = 0C 2，则0是厶ABC 的〔 〕.

A.重心

B.垂心

C.外心 D

内心

解析:丫囲J 习厲溝制帀F.帀旨元|—|刃冃方冃元|,由向量模的 定义知。到述C 的三顶点距离相等.故。是曲&C 的外心，选C .

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合

三角形的“四心”与平面向量

向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法， 易于数形结合，而

且向量问题在进行数形结合时具有新形式、

新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

三

角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： G AB i AC ）必平分/ BAC 该向量必通过△ ABC 的内心; AB AC

AB AC

( )必平分/ BAC 的邻补角

AB AC

① 设

0,

② 设

0,

，则向量

，则向量

例1 : (2003年全国高考题) 0是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动

易知四边形AETF 是菱形 故选答案B

例2 : ( 2005年北京市东城区高三模拟题)

ABC 所在平面内一点，如果

OA OB OB OC OC 0A ，则 0必为△ ABC 的( )

(A )外心

(B )内心 (C )重心 (D )垂心

事实上 OA OB OB OC (OA OC) 0B 0 CA 0B 0 0B 丄 CA 故选答案D

③设 0,

,则向量

AB AB cosB

AC

AC cosC

)必垂直于边BC,该向量必通过△ ABC

的垂心

一 一 uuu

④ △ ABC 中AB AC 一定过BC 的中点，通过△ ABC 的重心

⑤ 点0是△ ABC 的外心 ⑥ 点0是厶ABC 的重心 ⑦ 点0是厶ABC 的垂心 ⑧ 点0是厶ABC 的内心

___ 2 _______ 2 _______ 2

OA OB 0C

OA 0B 0C 0

0A 0B 0B 0C 0C 0A

a 0A

b 0B

c 0C 0(其中 a 、b 、c 为A ABC 三边)

⑨ △ ABC 的外心0、重心G 、垂心H 共线，即0G // 0H ⑩ 设0

ABC 所在平面内任意一点, GABC 的重心，，I

ABC 的内心,

则有 OG 1(0A 0B 0C)

3

01

aOA bOB cOC

a b c

并且重心

X A +X+X C

G

( —T-

Y A +Y B +Y C

)

内心I

a —A + bX B + C X C a+b+c

ay A + by B + cy

C

点P 满足OP 0A

(AB AC )

AB AC ，

0,

，则动点P 的轨迹一定通过厶ABC 的()

(A )外心 (B )内心

(C )重心

(D )垂心

事实上如图设AE

AB AL AB F

AC

都是单位向量

E T

C