2015-2016复变、积变、场论A答案 (1)

河北科技大学2015—2016学年第一学期
《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷）
学院 电气学院 年级 14级 考试班级 电气141、142、143、144、SY14 一、选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分） 1. D ； 2. C ； 3.D ； 4.A ； 5.D 。

二、填空题(本题共7小题，每小题3分,共21分) 1. -arctan 3
4
； 2．0； 3.2sin 2; 44422sin )
0,1,233
k k i k ππππ-+-++=;
5．-u ; 6
7．[(5)(5)]j πδωδω+--。

三、计算下列积分(本题共4小题，每小题5分,共20分) 1.()
33
21
,1C
z z dz z -+-⎰
Ñ，其中C 为正向圆周3||=z .
解：()
33
21
1C
z z dz z -+-⎰
Ñ312=
(21)2!
Z i
z z π=''-+ ………………………………2分
=12.i π ………………………………3分
2. sin (1)z
C
z dz z e -⎰
Ñ，其中C 为正向圆周1
||2
z =. 解： 0z =sin (1)
z
z
z e -是
的一级极点，利用留数定理，………………………………1分 Re [(),0]1s f z =-， ………………………………2分 sin (1)z C z dz z e -⎰Ñ=2Re [(),0]i s f z π=-2i π . ………………………………2分
3.2
4
.1x dx x +∞
-∞+⎰ 解：2
4
1x dx x +∞
-∞+⎰2i π=344
22
44
Re [,]Re [,]11i i z z s e s e z z ππ⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭
…………………2分 2i π=3442244
11z i z i z z z z ππ==⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬''++⎪⎪⎩⎭（）（） 2i π=34
4
2
2
3
344z i
z i z z z z ππ==⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
=
2
. …………………3分 4. 20
.t t
e e dt t
--+∞
-⎰
解：利用公式0
0()
[()]f t dt L f t ds t
+∞+∞=⎰
⎰，
20
t t e e dt t
--+∞
-⎰
20=L t t
e e ds +∞--⎡⎤-⎣⎦⎰ …………………3分 0
11=12
ds s s +∞
---⎰
01=ln 2s s +∞
+⎛⎫
⎪+⎝⎭=ln2. …………………2分
四、(6分)利用卷积定理，证明()-1
222L sin 2+s t at a s a ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥⎣⎦
. 证：由()-1
22L cos +s at s a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，()-1
2211L sin +at a s a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
， …………………2分
及卷积定理得
()-1
2221L cos sin +s at at a s a ⎡⎤
⎢
⎥=*⎢⎥⎣⎦
…………………2分 01sin cos ()t
a a t d a τττ=-⎰
01sin sin(2)2t
at a at d a ττ=
+-⎰ sin 2t
at a = …………………2分 五、计算题 (6分)求函数
1()()()()()222
a a f t t a t a t t δδδδ⎡
⎤=
-++-+++-⎣⎦
的Fourier 变换. 解：[]221L ()2a a
j j j a j a f t e e e e ωωωω--⎡⎤=
-+++⎣
⎦ …………………4分
2
2
22
a
a
j j j a j a e e e
e j j
ωωωω--++=-+
sin cos
2
a
j a ωω=-+ …………………2分
六、解下列各题 (每小题8分,共32分)
1.利用Laplace 变换求方程222cos t y y y e t '''-+=满足(0)(0)1y y '==的解. 解：方程两边取拉氏变换，并记[()]()L y t Y s =，得
222(1)
()2()2()(1)1
s s Y s sY s Y s s --+=
-+ …………………2分
即222
2(1)1
()(22)(1)1
s Y s s s s -'=
=--+-+（） …………………2分 再取拉氏逆变换，并利用公式11[()][()]L F s tL F s --'=-（微分性质）， …………2分 得其解为
11122
11()[()][(
)][]sin (1)1(1)1
t
y t L Y s L tL te t s s ---'==-==-+-+. …………………2分 2. 求矢量场222A yz i zx j xy k =++u v v v v
的散度和旋度.
解：222022020z zy D A zx x y xy ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
u v
0divA = …………………4分
222
(2)(2)(2)rotA xy x i zy y j xz z k =-+-+-v v v …………………4分
3. 把函数()()
1
()12=--f z z z 分别在011<-<z 和12<-<+∞z 内展开为洛朗级
数.
解：在011<-<z 内，
()()
1
()12=
--f z z z ()()
11
111z z -=
---g ()01(1)1n n z z +∞
=-=--∑g …………………2分
-1
01
-(1)
-(1)n n n n z z +∞
+∞
===-=-∑∑ …………………2分
在12<-<+∞z 内，
()()
1
()12=
--f z z z ()()1121+2z z =
--g ()()
2
11
121+
2z z =--g …………………2分 ()
2
1
(1)(2)
2n
n
n z z +∞
-==---∑g 2
(1)(2)n
n n z +∞
+=-=-∑ …………………2分
4.设矢量场cos cos sin ,A y xy i x xy j z k →→→→
=++ (1)证明矢量场→
A 为有势场； (2)求矢量场→
A 的势函数.
解：(1)22sin cos sin 0cos sin sin 000cos y xy xy xy xy D A xy xy xy x xy z ⎡⎤--⎢⎥
=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
u v
0rotA =，因此，矢量场→
A 为有势场。

…………………3分
(2) 0
(,0,0)(,,0)(,,)x y z
u P x dx Q x y dy R x y z dz =++⎰⎰⎰
cos sin y z
x ydy zdz =+⎰⎰
sin cos xy z c =-+ …………………3分 全体势函数sin cos V xy z c =-++（C 为任意常数）。

…………………2分。