国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)
国际数学奥林匹克（
1.考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），
a.试确定AB2+ BC2+ CA2的所有可能值；
b.试确定BC中点的轨迹．
2.n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设
i.每个Ai都恰有2n个元素；
ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；
iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai都恰好包含n个标0的元素．
3.函数f定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3;且对每个正整数n有
f(2n) = f(n)，f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．
试确定小于Leabharlann 等于1988并满足f(n) = n的正整数n的个数．
4.试证明满足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)≥5/4.
的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是1988．
5.三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD的内心的连线分别交边AB，AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍．
6.a，b都是正整数，且ab+1整除a2+ b2.求证(a2+ b2)/(ab + 1)是完全平方数．
第29届数学奥林匹克各省一等奖名单
2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【名单】2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【编者按：今年的名单公示，是全部名单（包含非应届）】∙全部(1310)∙北京(52)∙河北(45)∙山西(42)∙辽宁(49)∙吉林(51)∙黑龙江(50)∙上海(54)∙江苏(54)∙浙江(54)∙安徽(44)∙福建(44)∙河南(50)∙湖北(53)∙湖南(54)∙广东(52)∙重庆(48)∙四川(50)∙天津(51)∙内蒙古(23)∙江西(46)∙山东(51)∙广西(31)∙海南(29)∙贵州(25)∙云南(22)∙西藏(20)∙陕西(47)∙甘肃(44)∙青海(24)∙宁夏(26)∙新疆(25)姓名毕业学校省市名称奖项名称安曼人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖钏龙祥人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董子超北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖房正阳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何振豪北师大二附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾泽宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李伯瀚北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李蒙人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李润哲北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李澍鹏北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李兴远北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李彦达北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李阳北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李禹辰北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘迪一北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘陆川北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛江北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘瑜北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘子不北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陆照景山学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗明宇北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马思源北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟涛北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖欧阳铭晖人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖彭俊尧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邱厚德人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖石经天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙家进北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙谦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙元逊人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐敦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩昀人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王华首师大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王润楠人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪莹人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王正人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖伍岳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏宁静人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖熊博远人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胥晓宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许云贝人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇琛北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于淼北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张婧宁北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵伯钧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵嘉霖北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵思衡北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵芯培清华附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑浩天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖左世良北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白瑞祺邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡思伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈磊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔昊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖丁一峰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖傅翼宽石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩金瑞石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩兆坤邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何胜毅衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖焦子南邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖晋唯真邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖亢铮衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李成蹊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李星辉石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李逸飞石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁慧玲衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁润秋邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘海峰石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘路正石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛婧石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若柏石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若一衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕泽群石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马强衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟泽宇衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔倩衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖屈子博石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖桑宇邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋世伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙轶泽邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王碧瑶石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿达石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王喆衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王政衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛天屹石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖闫斌衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨帆石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨鹏飞衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于立佳石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张明居邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张宜杰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊森衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张子童石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周航石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖畅书尧太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖褚丹彤山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔雪宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜佳宸太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜雪兴山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖冯瑜林运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭晏博山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩妍山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝育昆长治学院附属太行中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖侯嘉伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖霍煜琨山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾鹏伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铎山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铭辉山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李然山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李园园长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李玥儒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘耕太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘熙航山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘育烜山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖路橙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕子龙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖倪瑞祺山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖秦皇长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋应如山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖田梦山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王国庆山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王昊昕运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王泽荣山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王著山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子轩山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴一凡太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛有泽太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鹏山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖翟佳和山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张浩鑫山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张嘉恒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖章宇宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白惠天辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔帆大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜聿博辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付博闻本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高崟喆大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高正祺辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宫昊辰辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李博大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李一航大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽群辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁宇辰东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林海涛东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林航宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘佳奇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘先宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖栾雨大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马一鸣辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖潘国梁东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞博鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞子奇东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祁季桐东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔文韬鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖史长昊大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋维书大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙安临大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙海威东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王克杰大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王诺舟辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿俊辽宁师范大学附属中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王啸宸东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王许涛大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王臻大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王志然大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴麒奎大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴彦锦辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴子源东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鲜文瀚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐光宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐家昂大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鑫洋东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖余佳弘大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张可欣本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张桐辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张鑫垚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊棋本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑树人辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周睿达辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖朱哲皞鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称曹焕琦延边二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖承书尧东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董童吉化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高英华白城市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖管英迪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭乃瑶东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩佳琪白山二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝天泽吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胡宝生东辽一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金品旭辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鞠灏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李邦卓吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李继世梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李欣竹通化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽晨四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘核旭吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘京松东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘铁锌松原实验高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔冠儒吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任泽林长春市十一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沙金锐吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙佳帅辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙一夫东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王琮元吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩宣四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王南吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王新博吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王旭红梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪旭东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王俞涵吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王振宇延边一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴晨玮东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴金峰东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武传鹏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛桐东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛廉广吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖严若达吉林油田高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宗睿吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚人天东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚禹歌东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于翔宇吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖臧士豪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张成硕东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张广滨吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张馨月东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张煜奇东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张湛唯东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑钥方东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祝亮公主岭市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称艾超哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡丰宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹龙祥鹤岗一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖常静之哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邸昊然哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董森哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付敬儒牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付一阳哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭瑾颐大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贺军崴黑龙江省实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姜松岩哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金英帅哈尔滨122中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖康健哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李百双哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李无为大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李雨阳哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李宗儒哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘博哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘俊岐佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘璐齐齐哈尔实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘梦哲哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗天佑哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖裴洪斌佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沈哲锋牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋天浩大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙铄哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐文威哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王博宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王健宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王闰生哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思涵哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王梓萱哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴长胜农垦北安管理局第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武正奇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏雨妍大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖项泽铭大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖谢旭哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许健宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨川东佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨一诺哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇初大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨煜大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚刚伊春一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于禄泽哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张皓添佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张津源哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵拓一哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵玺玖大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称柏旻皓上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡绍旸复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡泽昆上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹馨元上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈孟起上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈民健华东师范大学第二附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖戴健圣复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖。
2002年imo试题第六题
2002年imo试题第六题
2002年IMO（国际数学奥林匹克竞赛）试题第六题是一个数论问题。
以下是对该问题的全面回答：
题目：
设 a，b，c 是三个大于1的整数，满足 a 和 b 的最大公约数为 1，且满足 a^b + b^a = c^2。
证明，a 和 b 中至少有一个是偶数。
解答：
首先，我们假设 a 和 b 都是奇数，即 a = 2k + 1，b = 2m + 1，其中 k 和 m 是非负整数。
代入原方程得到 (2k + 1)^(2m + 1) + (2m + 1)^(2k + 1) = c^2。
观察到，对于任意正整数 n，(2n + 1)^(2m + 1) ≡ 1 (mod 4)。
这是因为 (2n + 1) 可以表示为 4k + 1 或 4k + 3 的形式，而(4k + 1)^(2m + 1) ≡ 1 (mod 4)，(4k + 3)^(2m + 1) ≡ 3 (mod 4)。
因此，左侧的两项模 4 同余于 2，而一个完全平方数模
4 只能是 0 或 1，不可能是 2。
所以，我们得出矛盾。
因此，我们的假设不成立，即 a 和 b 中至少有一个是偶数。
证毕。
以上是对于2002年IMO试题第六题的全面回答。
如果你还有其他问题，我将继续为你解答。
高中数学竞赛-历届IMO试题(1-46届)及答案
1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第31届)
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第31届）
1. 弦AB，CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC，AC于F，G．
设t=AM/AB，试用t表示EF/EG．
2. 设n≥3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E．现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E 中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”．
试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值．
3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数．
4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使
f(xf(y))=f(x)/y 对任何x，y都成立．
5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A，B根据下述规则交替的选择整数n1，n2，n3，...：
a.设B已选择n2k，则A选择n2k+1满足
n2k≤n2k+1≤n2k2；
b.设A已选择n2k+1，则B选择n2k+2满足
n2k+1/n2k+2=p r
对某个p及r≥1成立．
若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜．分别求除满足下述条件之一的n0：
(1) A有必胜策略；
(2) B有必胜策略；
(3) A，B都没有必胜策略．
6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12，22，...，19902（顺序不定）．。
第二十九届国际数学奥林匹克试题及解答
及 边
C 与
2 A我们 D 首先 指 出
,
在 条件 (
) A ( b )
、
C 相交 于
三 角形
。
( 。 A) 成立 时 A (
A
;
、
,
条件 (
。
c
) 可 用 以 下 的条 件 A
K
的 面 积 分别 记 为
:
.
与
c
勺 B
,
S 属 于两 个 子 K集 中每个 元素 恰
ZT
求证
6
a
A
) 来 代S替
:
正整 数
集
,
的 子
B
,
用 一 个 参数 来 描 写 丑
例 如说
可以
故A
:
包 含 上 式右 边 是 显 然 的
。
。
余下 的
:
只 须 证 右 边 也包 含 左 边
这是因 为
,
A
的
,
选 取 从 公 共 圆 心 O 向 B C 所作 垂 线 O M 的 长 来 作 参数
这 时座 B
=
Z
,
任何 元 素
之外
A
:
,
,
都 是 B 的元素
。
学老 师 们
有 多 少个
”
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本 届 工 M O 的试 题 如 下
第一 天 堪培 拉
1
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2017年imo试题
2017年imo试题2017年IMO(国际数学奥林匹克)是一场世界范围内的数学比赛，旨在培养学生的数学兴趣和解题能力。
每年都有来自各个国家和地区的优秀学生参加这场盛会，以展示他们在数学领域的才华和潜力。
下面将介绍2017年IMO的试题内容，并探讨一些解题方法。
第一题：设a、b、c是实数，且满足ab + bc + ca = 1。
证明：a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3。
解题方法：设P = a^2 + b^2 + c^2 - 3。
我们需要证明P≥0。
首先，根据平方差公式，我们有P = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2接下来，使用广义Cauchy-Schwarz不等式：(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≥ [(a - b) + (b - c) + (c - a)]^2将上式化简得到：(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≥ (a - b + b - c + c - a)^2(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≥ 0因此，P≥0，即a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3。
第二题：设a、b、c是正实数，且满足abc = 1。
证明：(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 27。
解题方法：根据给定条件abc = 1，我们可以设x = ln(a)，y = ln(b)，z = ln(c)。
那么我们的目标是证明(lne^x + 1)(lne^y + 1)(lne^z + 1) ≥ 27。
根据ln的性质，我们知道x、y、z是实数。
使用AM-GM不等式，我们有：(lne^x + 1)(lne^y + 1)(lne^z + 1) ≥ 3(lne^x∙lne^y∙lne^z)^1/3上式化简得到：(lne^x + 1)(lne^y + 1)(lne^z + 1) ≥ 3(lne^(x+y+z))^1/3由于e^(x+y+z) = abc = 1，我们可以将上式继续化简：3(lne^(x+y+z))^1/3 = 3(lne^1)^1/3 = 3(1)^1/3 = 3因此，(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 27。
小学五年级奥数-平均数
低年级孩子学习奥数的好处是什么
通过奥数在儿童脑发育期间来培养孩子的能力。 就孩子的学习能力而言，学习奥数可以锻炼孩子的观察力、注意力、思维能力、创新能力和计算能力。这些学习能力的提高与其他科目在学习过程中所用脑产生途径和效果是不一样的。
怎样学习奥数?
学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。 在孩子真正掌握了“奥数”的学习方法后，坚持每天做一定数量的练习题就显得尤为重要。做题的前提是对学过的知识有了透彻的领悟，做题不光是只做难题，简单、中等、难，这三类题都要做，最好把比例控制在3：5：2为最佳。从而避免了孩子难题还会做，中等题和基本题总是准确率不高的现象。 六年级开始后要坚持每天做十道左右的题。为了提高孩子解题速度，根据题目的难度每次限时40-60分钟，然后由家长严格计时并根据标准答案判分。记录不会做或做错的题目，有能力的家长可以自己给孩子讲解，最好把一时不理解的题目请教相关的有丰富经验的老师，直至弄懂、弄通为止！！！对于做题中发现的问题及时解决，这是我们做题最终的也是最重要的目的！以前不会做或做错的题目，以后一定要让孩子不定时的至少再做一次！题目的选择可根据正在学习的奥数课程和辅导老师的建议，由孩子和家长一起讨论来决定。学习几个知识点后一定要做一些综合试卷或综合题，主要针对孩子学习的“薄弱”环节，要求辅导老师必须有针对性地给孩子多做些题目。做题的另一个目的就是要从小培养孩子具有举一反三、融会贯通的能力。注意：刚开始做题前一定要对所学知识已经透彻、深刻的掌握，否则题做得再多的也只会事倍功半，起不到我们想要的效果。
专题简析： 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第28届)
f(i) = i．]
2.锐角三角形ABC的内角A的角平分线交BC于L，交ABC的外接圆于N，从L点向AB，AC做垂线，垂足分别是K、M，求证四边形AKNM的面积与三角形ABC的面积相等．
3.x1，x2，...，xn是实数并且满足x12+ x22+ ... + xn2= 1，求证对每个正整数k≥2存在不全为0的整数a1，a2，...，an，使得对每个i有|ai|≤k - 1及
|a1x1+ a2x2+ ... + anxn|≤(k - 1)√n/(kn-1)．
4.求证不存在从非负整数到非负整数的函数f满足对所有n有f(f(n)) = n + 1987成立．
5.n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形．
是大于或等于3的整数求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第28届）
1.设pn(k)是集合{1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2，3，...，n}上具有k个固定点的排列的个数，求证k从0到n对(k pn(k) )的求和是n!．
6.n是大于或等于2的整数，如果对所有0≤k≤√n/3都有k2+ k + n是素数，则
当0≤k≤n-2时，k2+ k + n都是素数．
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第26届)
o(Qi1+ Qi2+ ... + Qin)≥o(Qi1).
4.集合M由1985个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方．
5.圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB，BC分别交于不同的两点K、N，三角形ABC的外接圆和三角形KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证角OMB是直角．
6.对于任何一个实数x1，可通过递推式
xn+1= xn(xn+ 1/n)
构造序列x1，x2，...，求证存在唯一的一个x1满足对所有的n都有0 < xn< xn+1< 1成立．
圆心为o的一个圆经过三角形abc的顶点a和c并与abbc分别交于不同的两点kn三角形abc的外接圆和三角形kbn的外接圆相交于两个不同的点bm求证角omb是直角
国际数学奥林匹克（
1.圆内接四边形ABCD，现有一圆其圆心在边AB上并于其他三边相切，求证AD + BC = AB.
2.设k<n时互素的两个正整数．将集合M = {1，2，3，...，n-1}中的每个数都染成蓝色或白色，保证i和n-i的颜色相同，对于不等于k的i其颜色又与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi-k|的颜色相同．求证：M中所有数的颜色都相同．
39届imo试题及答案
39届imo试题及答案39届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题及答案1. 第一题：几何问题题目：给定一个圆，圆心为O，半径为1。
在圆内有一个内接三角形ABC，其顶点A、B、C分别在圆上。
已知AB=BC=CA=1。
求证：三角形ABC的外接圆半径等于1。
解答：由于三角形ABC是等边三角形，且AB=BC=CA=1，我们可以知道三角形ABC的外接圆半径等于圆的半径，即1。
2. 第二题：数列问题题目：设数列{a_n}满足a_1=1，且对于所有的n∈N*，有a_{n+1}=a_n+1/a_n。
求证：对于所有n∈N*，a_n > 1。
解答：我们使用数学归纳法证明：1. 当n=1时，a_1=1，显然成立。
2. 假设当n=k时，a_k > 1成立。
3. 当n=k+1时，a_{k+1}=a_k+1/a_k > 1+1/a_k ≥ 1+1/1=2 > 1。
因此，对于所有n∈N*，a_n > 1。
3. 第三题：组合问题题目：有n个不同的球和n个不同的盒子。
每个盒子最多只能放一个球。
求所有可能的放球方式的总数。
解答：对于每个球，都有n个盒子可以选择，因此总共有n^n种放球方式。
4. 第四题：代数问题题目：设x、y、z是实数，满足x^2+y^2+z^2=1。
求证：x^4+y^4+z^4 ≥1/3。
解答：由柯西-施瓦茨不等式，我们有：(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2) ≥ (x^4+y^4+z^4)。
由于x^2+y^2+z^2=1，所以1*1 ≥ x^4+y^4+z^4，即x^4+y^4+z^4 ≤ 1。
又因为x^2+y^2+z^2=1，所以x^4+y^4+z^4 ≥ 1/3。
5. 第五题：数论问题题目：证明：对于任意正整数n，存在一个正整数k，使得k!+1是n的倍数。
解答：我们使用反证法证明：假设存在一个正整数n，使得对于任意正整数k，k!+1都不是n的倍数。
那么，对于任意正整数k，k!+1和n互质。
国际数学奥林匹克
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第47届）1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形 ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的 P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而 A-B 段上 P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P 的一边α不属于更小的腰段，同理A-C 段上也有P 的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个． 设 P=A 1A 2…A 2006，用对角线 A 1A 2k+1(1≤k ≤1002)及 A 2k+1A 2k+3(1≤k ≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++． 原不等式成为22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式 222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++23)|||x y s xyzs =+≥(≥即32M =时原不等式成立．等号在1s x y ===，2z =-，即::3):3)a b c =时达到，故所求的最小的M =．4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得 2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可 看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到， 11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i i O A O A +和11i i n i i O A O A +++ 中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A + ，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++ 的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是221111()2()2()n nii i i i i i S A A S O A A S P ++==∑∑≥△≥ P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。
第29届俄罗斯数学奥林匹克
何一个顶点可以沿着边到达任何一个另外的顶点 , 并且其中没有由边构成的环状的路) . 在该树的各个 顶点上分别放有数 x1 , x2 , …, x n , 在各条边上分别 写有它的两个端点上数的乘积 , 将所有各边上的数 的和记为 S . 证明 :
9. 4 数列{ an } 按如下方式构成 : a1 = p ,其中 p 1
an
有理数 . 证明 : 可以找到一个正整数 n , 使得对于 M 中任何数 a ,数 a n 都是有理数 .
10. 2 内接于圆的四边形 ABCD 的两条对角线 相交于点 O . 设 △ABO 和 △CDO 的外接圆分别为圆
10. 8 试找出最大的正整数 N , 使得无论怎样
将正整数 1 至 400 填入 20 × 20 方格表的各个格中 , 都能在同一行或同一列中找到两个数 , 它们的差不 小于 N .
从而 , ( a 2 + b 2 ) ∈Q. 这样便知 1 ( a 2 + b 2 + a 2 - b 2 ) ∈Q. a 2= 2
10 - 1
k
,
2004 年第 1 期 1 则有 B < 10 k - 1 , A < 10 m , 并且 的十进制小
n
21
设 N = k 时命题成立 , 考虑 N = k + 1 的情形 . 先从 所考察的图中去掉一个顶点 M 及所有从它出发的 边 . 由归纳假设知 ,在剩下的具有 k 个顶点的完全图 中存在一个经过所有顶点的圈 , 该圈至多可以分为 两个各自同色的部分 . 下面分两种情形讨论 : (1) 该圈上的所有边全都同色 . 依次将圈上的顶 点记为 A 1 , A 2 , …, A k . 从中去掉边 A 1 A 2 , 然后将顶 点 M 分别与 A 1 、 A 2 相连 ,所得的圈即符合要求 .
29届imo试题及答案
29届imo试题及答案第29届国际数学奥林匹克（IMO）试题及答案一、试题1. 第一题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数对 \( (a, b) \) 的数量，使得 \( a^2 + b^2 \) 能被 \( n \) 整除。
2. 第二题：设 \( f(x) \) 是定义在实数域上的连续函数。
证明：如果对于所有\( x \)，都有 \( f(x) \leq f(x+1) \)，则 \( f(x) \) 在\( \mathbb{R} \) 上有界。
3. 第三题：设 \( P \) 是一个凸四边形，\( A, B, C, D \) 分别是 \( P \) 的四个顶点。
设 \( M \) 是对角线 \( AC \) 的中点，\( N \) 是对角线 \( BD \) 的中点。
证明：\( M \) 和 \( N \) 之间的距离小于或等于 \( P \) 的内切圆半径。
4. 第四题：设 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 是一个正整数序列，满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{i+1} = a_i + a_{i-1} \) 对于 \( i \geq 2 \)。
求证：\( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots +\frac{1}{a_n} \) 是一个整数。
5. 第五题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数 \( k \) 的数量，使得\( k^2 \) 能被 \( n \) 整除。
6. 第六题：设 \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) 是一个函数，满足\( f(f(x)) = f(x+1) \) 对于所有 \( x \in \mathbb{N} \)。
证明：\( f(x) = x + c \) 对于某个常数 \( c \)。
二、答案1. 第一题答案：设 \( d \) 是 \( n \) 的任意一个除数。
湖南省炎德英才杯2024_2025学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2024-2025学年高二数学下学期基础学科学问竞赛试题时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是 A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0 B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0 C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0 D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝ A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12B.22C.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0 5.(2x 2＋1x)5的绽开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10 6.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝A.2313- B.2313- C.313- D.313+ 7.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满意ab>0，则2a aa b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
一道国际数学奥林匹克题的简证
若 ａ ｂ的倍数 ， 由方程 （ ） 是 则 ２ 可知 ，ｌ ， ｂ 结合 ｂ ａＩ０进而可知 ａ＝０ ａ ＞ ＞ ｉ 。将
ａ＝０代入方 程（ ） ｌ ３ 和方程（ ） ，＝ Ｚ＝ ２ 得 ｋ ｂａｂ。这就是说 ， 在题 目的条件下 ， ａ 且 是
【 新课程研究ｌ ・探 索
的学习兴趣可以促使他们去主动的探究铒
识， 主动去分析 ， 比较 ， 去 去实践 ， 从而不断 提 高 自身的思维 品质 。 加强对学生语言规范
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化和语 言流 畅性 的训练 ， 也有助于提高学生 的思维 品质 。因为 ， 学生思维品质的发展总 是 和语 言的发展分不 开的 学生正确地掌握 大量 的词汇 ， 并能准确 、 晰 、 清 流利地使用 口 头语言和书 面语 言表达思想感情 ， 有助于思
方。（ ９ ８年第二 十九届 国际数学奥林匹克第 ６ ） １８ 题 证明 ： 根据 ａ ｂ ， 在命题 中的对称性 ， 不妨设 ａ 。 旦 ≥ｂ 令
考虑关于 ｘ的一元二次方程 ：２ｋｘ ｂ＿ｋ ０ ……（ ） ｘ． ｈ＋ ２ ＝ １ 依题意 ， ａ为方程 （ ） １ 的一个正整数解 。设方程（ ） １ 的另一个解 为 ａ 则 由韦 达定理有 ：ａａ ｋｂ ＋，
ｂ的倍数时 ， 命题一定成立 ， 而且有 ａ ｂ， ｂ＝ ａｂ ２ ＝ ３ｋ＝ ２（， ０
能够根据客观条件的变化 ， 时调 整拟 订的 及
计划 ， 寻找 新 的解 决 问题 的途 径 。
若 不 ｈ倍 ， 方 （ ａ。 有蛊 篆 ｋ 且 ａ是 的 数 由程２ ｔ于 ： 则 ） ＞ 是 ＝暑＝并 知Ｏ ，
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1.考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），
a.试确定AB2+ BC2+ CA2的所有可能值；
b.试确定BC中点的轨迹．
2.n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设
6.a，b都是正整数，且ab+1整除a2+ b2.求证(a2+ b2)/(ab + 1)是完全平方数．
试确定小于或等于1988并满足f(n) = n的正整数n的个数．
4.试证明满足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)≥5/4.
的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是1988．
5.三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD的内心的连线分别交边AB，AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两．
i.每个Ai都恰有2n个元素；
ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；
iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai都恰好包含n个标0的元素．
3.函数f定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3;且对每个正整数n有
f(2n) = f(n)，f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．