国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第29届)
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试确定小于或等于1988并满足f(n) = n的正整数n的个数．
4.试证明满足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)≥5/4.
的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是1988．
5.三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD的内心的连线分别交边AB，AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍．
i.每个Ai都恰有2n个元素；
ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；
iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai都恰好包含n个标0的元素．
3.函数f定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3;且对每个正整数n有
f(2n) = f(n)，f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．
国际数学奥林匹克（
1.考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），
a.试确定AB2+ BC2+百度文库CA2的所有可能值；
b.试确定BC中点的轨迹．
2.n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设
6.a，b都是正整数，且ab+1整除a2+ b2.求证(a2+ b2)/(ab + 1)是完全平方数．
4.试证明满足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)≥5/4.
的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是1988．
5.三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD的内心的连线分别交边AB，AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍．
i.每个Ai都恰有2n个元素；
ii.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；
iii.B中的每个元素至少属于两个Ai．
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai都恰好包含n个标0的元素．
3.函数f定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3;且对每个正整数n有
f(2n) = f(n)，f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．
国际数学奥林匹克（
1.考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），
a.试确定AB2+ BC2+百度文库CA2的所有可能值；
b.试确定BC中点的轨迹．
2.n是正整数，A1，A2，...，A2n+1都是集合B的子集，假设
6.a，b都是正整数，且ab+1整除a2+ b2.求证(a2+ b2)/(ab + 1)是完全平方数．