贝叶斯方法评估系统(产品)的可靠性

贝叶斯方法评估系统（产品）的可靠性
用随机抽样进行统计分析计算的可靠性评估方法很多，而且都已标准化。

但都要专门进行长时间的可靠性试验。

这里介绍应用贝叶斯方法，推导了产品在研制中的增长评定方程式，充分利用产品在研制过程中和各现场试验信息，进行多母体统计分析，导出一种通用的故障率计算方程式，利用本方程式计算故障率，不仅简单、方便和经济，而且计算结果更符合产品的实际。

1 贝叶斯法可靠性评估模型
设产品研制分为m 个阶段，或产品的可靠性有m 次改进（一般m ＝2或m ＝3），每个阶段产品的故障率为λ1、λ2···λm ，且有λ1>λ2>···>λm ，各阶段的试验信息为（г1，r 1）、(г2，r 2)···(гm ，r m )，其中τi 和r i 分别为I 阶段的试验时间和故障数。

根据贝叶斯公式，产品在（г1，r 1）···(гm ，r m )条件下，λ的分布密度函数由条件分布密度表示为： f[λ1···λm /(г1，r 1) ···(гm ，r m )]
f[(г1，r 1) ···(гm ，r m ) ·λ1·λ2···λm ] =
f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )]
式中：f[λ1···λm /(г1，r 1) ···(гm ，r m )]为验后密度函数。

f （λ1···λm ）为验前分布函数 f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )/ λ1···λm ]为似然函数 f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )]为(г1，r 1) ···(гm ，r m )的边缘密度函数。

假设验前分布函数已知，通过贝叶斯公式可求得验后密度函数，进而可求得m 阶段故障率的密度函数f(λm )，最后可求得m 阶段产品故障率上限λmu 。

设产品寿命服从指数分布。

在这种假设下，产品的验前分布为伽玛函数，即
f(λ1···λm )=∏=m
i 1
(
λτ10000)-Γr r i r （e －r i 0λ
) 式中г0、r 0为验前分布参数。

似然函数为：
f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )/ λ1···λ
m ] =
∏
=m
i 1
(
λ
τ
r r i i i
i
i
r )11
+Γ+（e －
r i
i
λ)
[(г1，r 1) ···(гm ，r m )]的边缘密度函数为： f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )] =⎰⎰
∞
∞
λm 0···⎰∞
λ2
(f λ1···λm ) · f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )/ λ1···λm ]d
λ1···d λm
经推导，验后密度函数为：
f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )/ λ1···λm ]
∏=m
i 1
e r r
i i
λ)1(
-+
－
)(0
ττλi
i
+
=
⎰⎰∞
∞λ
m
···⎰
∏∞
=λ
2
1
m
i e r r i i
λ)1(0-+－
)(0
ττλi
i
+ d λ
1·
··d λm 第m 阶段产品故障率λm 的密度函数为， (λ
m )=
⎰∞
λ
m
···⎰∞
λ2
[f λ1···λm ) · (г1
，r 1) ···(гm ，r m )]d λ1···d λ
m-1
取置信度为1－α，m 阶段产品故障率上限λ
mu 可由下面的方程式求得：
⎰∞
(f λ
m ）d λm==1--
α
当m=2，且取验前分布参数г0＝0，r 0=0，经推导并整理其结果，得联立方程组如下：
∑
-=g m i 1
F i+1(1-∑
+=1
!
1p j j x j e －X
)=1-α X=
)2(τλ
mu
P=r 2-1
g
m 1
-
=r 1-1
F i+1=E i+1/D i=g
m 1
,0-
D=(0!)(1121
11
∑-=+Γr k K r K ))2()1(ττK
1=∑-=g m i 1
E i+1 E i+1=
))
2()1((!)(2ττi i r +Γi
i=m 1,0-
τ(1)=τ1
τ(2)=τ2
根据试验数据，给出总试验时间τ 1 ，τ2，和故障数r 1，r 2，并给定置信度1-α和m=2，就可通过计算计算机出λmu 和 MTBF 。

此增长评定方程式是一种通用的方程，它也适合只有一个研制阶段的情况。

当后一阶段的试验信息为τ2＝0，r 2＝1时（即相当此阶段信息毫无作用），由增长方程可解得与单母体相同的故障率数值。

当m=3时，同样可推导出可靠性评估的增长方程，不过计算公式要复杂多了。

一般m 的最大值为3。

2 计算结果
以某弹上计算机为例，收集的试验数据如表1。

从表1看出，可得试验信息：m=2，γ1＝7，γ2＝3，τ1=3222，τ2=1646。

取置信度1-- ＝90％，根据所得的试验信息，用高级语言编程，在计算机上算得
λ
=0.0024041409
mu
随之可计算出MTBF和R(t)。

3 讨论
1）有效使用贝叶斯方法的关键是合理假设验前分布密度函数，对电子产品和机电产品，许多文献资料都分析和论证了其验前分布密度函数为伽玛函数，故计算结果是可信的。

2）可靠性评估应该用区间法进行统计分析，用定点法计算，无置信度参数，计算结果可信度低。

3）用贝叶斯法评估产品的可靠性，充分利用了研制过程和现场的试验信息，它是一种简便、经济、可靠的可靠性评估方法。

4）可靠性评估成效的关键在于：首先要求建立有效的可靠性模型，其次要广泛收集有关产品运行的现场数据，两者不可偏废。

用贝叶斯法评估产品的可靠性，离开了有效数据，便可导致出错误的评估结果。