例题教学后的反思

例题教学后的反思

“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的.善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变、一题多问、一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.我们可以将此例题进行一题多变、一题多解.

一、一题多变

例1.原题：函数y=lg（x+■）的图象关于原点对称.

解：该函数定义域为r，且f（-x）+f（x）=lg（-x+■）+

lg（x+■）=lg（-x+■）（x+■）=lg1=0

∴f（-x）=-f（x），∴该函数图象关于原点对称.

变题1：已知函数y=f（x）满足f（-x+1）=-f（x+1），则y=f（x）的图象关于（1，0）对称.

解：∵f（-x+1）=-f（x+1），∴y=f（x+1）为奇函数，即y=f（x+1）的图象关于原点（0，0）对称，故y=f（x）的图象关于（1，0）对称.

变题2：已知函数y=f（x）满足f（x）+f（-x）=2，则函数y=f （x）的图象关于（0，1）对称.

解：由f（x）+f（-x）=2得，∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，y=f （x）-1为奇函数，即y=f（x）-1的图象关于（0，0）对称，∴y=f （x）的图象关于（0，1）对称.

变题3：已知函数y=f（x）满足f（x）+f（2+x）=2，则y=f（x）

的图象关于（1，1）对称.

解：令x=t-1，则-x=1-t，故由f（x）+f（2+x）=2得f（1+t）+f（1-t）=2，即f（x）满足f（1+x）+f（1-x）=2，即f（-x+1）-1=[f（x+1）-1]，∴y=

f（x+1）-1的图象关于原点（0，0）对称，故y=f（x）的图象关于（1，1）对称.

结论：若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（c-x）=b，则y=f（x）的图象关于■，■对称.

变题4：已知f（x）=■

求证：（1）f（x）+f（1-x）=1

（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由.

（3）求f（■）+f（■）+…+f（■）的值.

证明：（1）f（x）+f（1-x）=■+■=■+■=1，得证.

（2）解：该函数图象的对称中心为（■，■），由f（x）+f（1-x）=1得f（■+x）+f（■-x）=1，即f（-x+■）-■=-[f（x+■）-■]，∴y=

f（x+■）-■的图象关于原点中心对称，故y=f（x）的图象关于（■，■）对称.

（3）解：∵f（x）+f（1-x）=1，故f（■）+f（■）=1，f（■）+

f（■）=1，…，∴f（■）+f（■）+…+f（■）=500.

变题5：求证：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象没有

对称中心.

证明：假设（m，n）是f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称中心，则对任意x∈r，都有f（m+x）+f（m-x）=2n，即，

a（m+x）2+b（m+x）+c+a（m-x）2+b（m-x）+c=2n恒成立，

即有ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0与a ≠0矛盾，

∴f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象没有对称中心.

二、一题多解

已知函数f（x）=■，x∈[1，+∞），

（1）当a=■时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a 的取值范围，

解：（1）当a=■时，f（x）=x+2+■≥2+2■，当且仅当x=

■时取等号.

由f（x）=x+■（k>0）性质可知，f（x）在[■，+∞）上是增函数.

∵x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）是增函数，f（x）在区间[1，

+∞）上的最小值为f（1）=■.

（2）方法一：在区间上[1，+∞），f（x）=■>0恒成立？圳

恒x2+2x+a>0成立，

设y=x2+2x+a，∵x∈[1，+∞）y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在[1，

+∞）上是增函数，

∴x=1时，ymin=a+3，于是当且仅当ymin=a+3>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>-3

方法二：f（x）=x+■+2，x∈[1，+∞）

当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；

当a0时，函数f（x）>0恒成，故a>-3，

方法三：在区间[1，+∞）上，f（x）=■>0恒成立？圳x2+2x+a>0恒成立？圳a>-x2-2x恒成立，故a应大于u=-x2-2x，x∈[1，+∞）时的最大值为-3，

∴a>-3，0≤a<2.

通过例题的层层变式一题多解，学生对恒成立的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定式，有利于培养思维的变通性和灵活性。

三、在学生易错处反思

学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果

有这样一个教学案例：一位高一的老师在讲完函数后，出了这样一道题：已知函数y=log■（3x2-ax+5）在[1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是？

a学生的答案是（-2■，-6]，老师一看：错了！于是马上请b同学回答，这位同学的答案是“（-8，-6]”，老师便请他讲一讲方法：……下课后听课的老师对给出错误答案的学生进行访谈，那位学生说：……故答案为（-2■，-6].他的答案的确错了，怎么错的？为什么会有这样的想法？又怎样纠正呢？如果我们的例题教学能

抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视.

四、在情感体验处反思

教学中，如何从一道例题出发进行变式教学，无论从方法上还是从内容上都起着“固体拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同时可培养学生提出问题和解决问题的能力并使学生探究能力和创新能力得到发展。像以上的例子很多，只要善于挖掘，对很多课本的例题、习题及概念都可做到举一反三，融会贯通，既能巩固基础知识，又能拓展知识空间，训练思维，提高能力，同时使得学生不再认为课本是枯燥无味的，也培养了学生多种思维品质，可以收到事半功倍的教学效果.

（作者单位江苏省金坛市第一中学）