第三章平面一般力系
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第三章 平面任意力系
平面任意力系 ：各力的作用线在同一平面内，既不汇
交为一点又不相互平行的力系叫 平面任意力系 。
[例]
解 除 约 束
力系向一点简化 ： 把未知力系 （平面任意力系） 变成已知 力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
2
第三章 平面一般力系
§3–1 力线平移定理 §3–2 平面一般力系向一点简化 §3–3 平面一般力系的简化结果 ? 合力矩定理 §3–4 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 §3–5 平面平行力系的平衡方程 §3–6 静定与静不定问题的概念 ?物体系统的平衡 §3–7 平面简单桁架的内力分析
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且m与d有关，m=F?d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
一个力向另一点平移，得到一个力 (等于原力矢)和一个
力偶(力偶矩等于原力对该点的矩)；反之，若某点有一个力和
一力偶作用，则可按相反的程序，把它简化至某一点 (只有一
点)，可得到一个力。
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§3-2 平面一般力系向一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系 力偶系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上) 6
主矢 R ' ? F1 ? F 2 ? F 3 ? ? ? ? F i
主矩 mO ? m1 ? m2 ? m3 ? ?
简化结果： 主矢R?，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R?=0， M0 =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R?=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO =M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故此时，主矩与简化中心O无关。
③ R?≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。
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固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
9
固定端（插入端）约束
说明
①认为F i这群力在同一 平面内 ;
② 将F i向A点简化得一 力和一力偶 ;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力 ;
⑤ YA, XA限制物体平动 ,
MA为限制转动。
10
§3-3 平面一般力系的简化结果 ? 合力矩定理
[因主矢 等于各力的矢量和]
7
大小： MO ? ? mO ( Fi )
主矩MO 转向： 方向规定 +
—
（转动效应） 作用点: 矩心
主矩:一般与简化中心位置有关
Baidu Nhomakorabea
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
力系简化的结论：
平面任意力系向其作用面内任一点简化，一般可得到一力 和一力偶；该 力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力 系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。
13
§3-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
=0 ——力平衡 =0 ——力偶平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：
? ? R' ? ( Fx)2 ? ( Fy )2 ? 0
MO ? ? mO (Fi )? 0
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??? Fx ? 0
??? Fy ? 0
??
? ? mO ( F1 ) ? mO ( F2 ) ? ? ? mO ( Fi )
R? ? ? 主矢
大小： R, ? Rx,2 ? R,y2 ? ( Fx )2 ? ( Fy )2
（移动效应）
? 方向：? ? tan?1 Ry ? tan?1 Fy
? Rx
Fx
作用点：在简化中心
主失的大小和方向:与简化中心位置无关
??
___
M0( F ) ? 0
??
?
Fx ? 0
??
?
___
MA( F ) ? 0
??
??
___
MB(F ) ? 0
? mA(Fi ) ? 0 ? mB (Fi ) ? 0 ? mC (Fi ) ? 0
①基本式
②二矩式
条件：Ｘ轴不⊥ＡＢ
连线
③三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
二矩式
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
解除约束
? F ? 0 XA ? 0 x
? mA(F ) ? 0;
RB
?a
?
q
?a
?a 2
?
m?
P
?2a
?
0
解得：
? F ? 0 ? YA ? RB ? qa ? P ? 0 y
?
YA ?
P 3
(
)
16
§3-5 平面平行力系的平衡方程 所以 平面平行力系的平衡方程为：
?F ?0 y
? mO (Fi )? 0 一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即? X ? 0 恒成立 ， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
? mA(Fi ) ? 0 ? mB (Fi ) ? 0
证 合力矩定理：由于主矩
n
MO ? ? mO (Fi ) i?1
而合力对O点的矩 mO ( R)? R?d ? MO (主矩)
?
n
MO (R)? ? mO (Fi )R ———合力矩定理
i?1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
平面一般力系习题课
3
§3-1 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F 平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证]
力F
的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩。
力系 F, F?, F?? 力F ??力偶（F，F ??）
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说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
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[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究
②画受力图（以后注明
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
解除约束
的原图上）
由? mA(Fi ) ? 0 ?
? Fx ? 0 X A ?
P
0
?2 a
?
NB
?3a ? 0
? NB
?
2P 3
? Fy ? 0
YB ?
NB ?
P
?
0
这时，R ? R?
简化结果就是合力（这个力系的合力)。（此种情况与简 化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ R?≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
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结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ②合力R ③平衡
第三章 平面任意力系
平面任意力系 ：各力的作用线在同一平面内，既不汇
交为一点又不相互平行的力系叫 平面任意力系 。
[例]
解 除 约 束
力系向一点简化 ： 把未知力系 （平面任意力系） 变成已知 力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
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第三章 平面一般力系
§3–1 力线平移定理 §3–2 平面一般力系向一点简化 §3–3 平面一般力系的简化结果 ? 合力矩定理 §3–4 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 §3–5 平面平行力系的平衡方程 §3–6 静定与静不定问题的概念 ?物体系统的平衡 §3–7 平面简单桁架的内力分析
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且m与d有关，m=F?d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
一个力向另一点平移，得到一个力 (等于原力矢)和一个
力偶(力偶矩等于原力对该点的矩)；反之，若某点有一个力和
一力偶作用，则可按相反的程序，把它简化至某一点 (只有一
点)，可得到一个力。
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§3-2 平面一般力系向一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系 力偶系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上) 6
主矢 R ' ? F1 ? F 2 ? F 3 ? ? ? ? F i
主矩 mO ? m1 ? m2 ? m3 ? ?
简化结果： 主矢R?，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R?=0， M0 =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R?=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO =M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故此时，主矩与简化中心O无关。
③ R?≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。
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固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
9
固定端（插入端）约束
说明
①认为F i这群力在同一 平面内 ;
② 将F i向A点简化得一 力和一力偶 ;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力 ;
⑤ YA, XA限制物体平动 ,
MA为限制转动。
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§3-3 平面一般力系的简化结果 ? 合力矩定理
[因主矢 等于各力的矢量和]
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大小： MO ? ? mO ( Fi )
主矩MO 转向： 方向规定 +
—
（转动效应） 作用点: 矩心
主矩:一般与简化中心位置有关
Baidu Nhomakorabea
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
力系简化的结论：
平面任意力系向其作用面内任一点简化，一般可得到一力 和一力偶；该 力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力 系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。
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§3-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
=0 ——力平衡 =0 ——力偶平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：
? ? R' ? ( Fx)2 ? ( Fy )2 ? 0
MO ? ? mO (Fi )? 0
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??? Fx ? 0
??? Fy ? 0
??
? ? mO ( F1 ) ? mO ( F2 ) ? ? ? mO ( Fi )
R? ? ? 主矢
大小： R, ? Rx,2 ? R,y2 ? ( Fx )2 ? ( Fy )2
（移动效应）
? 方向：? ? tan?1 Ry ? tan?1 Fy
? Rx
Fx
作用点：在简化中心
主失的大小和方向:与简化中心位置无关
??
___
M0( F ) ? 0
??
?
Fx ? 0
??
?
___
MA( F ) ? 0
??
??
___
MB(F ) ? 0
? mA(Fi ) ? 0 ? mB (Fi ) ? 0 ? mC (Fi ) ? 0
①基本式
②二矩式
条件：Ｘ轴不⊥ＡＢ
连线
③三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
二矩式
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
解除约束
? F ? 0 XA ? 0 x
? mA(F ) ? 0;
RB
?a
?
q
?a
?a 2
?
m?
P
?2a
?
0
解得：
? F ? 0 ? YA ? RB ? qa ? P ? 0 y
?
YA ?
P 3
(
)
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§3-5 平面平行力系的平衡方程 所以 平面平行力系的平衡方程为：
?F ?0 y
? mO (Fi )? 0 一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即? X ? 0 恒成立 ， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
? mA(Fi ) ? 0 ? mB (Fi ) ? 0
证 合力矩定理：由于主矩
n
MO ? ? mO (Fi ) i?1
而合力对O点的矩 mO ( R)? R?d ? MO (主矩)
?
n
MO (R)? ? mO (Fi )R ———合力矩定理
i?1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
平面一般力系习题课
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§3-1 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F 平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证]
力F
的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩。
力系 F, F?, F?? 力F ??力偶（F，F ??）
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说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
15
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究
②画受力图（以后注明
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
解除约束
的原图上）
由? mA(Fi ) ? 0 ?
? Fx ? 0 X A ?
P
0
?2 a
?
NB
?3a ? 0
? NB
?
2P 3
? Fy ? 0
YB ?
NB ?
P
?
0
这时，R ? R?
简化结果就是合力（这个力系的合力)。（此种情况与简 化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ R?≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
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结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ②合力R ③平衡