精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程 第02课 韦达定理及应用

第02课 韦达定理及应用

知识点：

一元二次方程根的判别式 ：

当△>0时⇔方程有 ，

当△=0时⇔方程有 ，

当△<0时⇔方程 .

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数

2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值

4.已知两数的和与积，求这两个数

例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根.

例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根.

(1)求k 的取值范围;

(2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由.

例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x .

(1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值;

例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+

-+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

(2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。

例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根：

(1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2.

例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。

例7.若0>n ，关于x 的方程04

1)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。

课堂练习：

1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）

A.0122=-+x x

B.02222=++x x

C.0122=++x x

D.022=++-x x

2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2

111x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C.13

D.1 3.关于x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（ ）

A.1

B.-3

C.1或－3

D.不等于1的实数

4.方程0)2()25(22=-+--k x k x 的两根互为相反数，k 的值为（ ）

A.5=k 或5-

B.5=k

C.5-=k

D.以上都不对

5.若方程x 2＋mx ＋4=0的两根之差的平方为48，则m 的值为（ ）

A.±8

B.8

C.-8

D.±4

6.已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m=________ ，这时方程的另一个根是 ________；若两根之和为5

3-，则m=_______ ，这时方程的两个根为____________ 7.已知方程012=-+px x 的一个根为52-+，可求得p=_______

8.若32-是关于x 的方程0822=+-k x x 的一个根，则另一个根为_____，_____=k 。

9.方程05622=--x x 两根为α，β，则α2+β2= ，2)(βα-= 。 10.要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n=

11.解下列方程：

(1)16)12(2=-x (2)0342=+-x x (3)02352=--x x

12.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a ax 有实数根，求a 的取值范围。

13.设21,x x 是方程01422=--x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

(1))1)(1(21++x x ； (2)

1

221x x x x +； (3)2221x x +.

14.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a x ，试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。

15.已知关于x 的方程0113)1(222=-+-+m x m x ，

（1）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？

（2）是否存在实数m ，使方程的两根x 1、x 2满足1221

1x x x x +=-？若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。

16.关于x 一元二次方程()()022=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根,其中c b a ,,是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。

17.已知ABC R ∆t 中，两直角边长为方程0)2(4)72(2=-++-m m x m x 的两根，且斜边长为13，求ABC S ∆的值.

课堂测试题02

日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：

1.关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

2.将方程0142=--x x 的左边变成平方的形式是( )

A.1)2(2=-x

B.1)4(2=-x

C.5)2(2=-x

D.4)1(2=-x

3.设x 1，x 2是方程03622=+-x x 的两根，则2

221x x +的值是（ ）

A.15

B.12

C.6

D.3

4.已知x 方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（ ）

A.042<-mk n

B.042=-mk n

C.042>-mk n

D. 042≥-mk n 5.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）

A.k<1

B.k ≠0

C.k>0

D.k<1且k ≠0

6.关于x 的方程012)2(2=++--a ax x a 有两个不相等的实数根，a 的值为（ ）

A.2-

B.22<<-a

C.2->a 且2≠a

D.2-≥a 且2≠a

7.设n 为方程)0(02≠=++n n mx x 的一个根，则m+n 等于________

8.如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k=_______

9.如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_______

10.已知x 1，x 2是方程0252=---x x 的两根，则：

(1)21x x +=________ ； (2)21x x ⋅==________ ； (3)221)(x x -=________

11.解下列一元二次方程：

(1)01322=++x x (2)03472=--x x (3)0262=+-x x