精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程 第02课 韦达定理及应用

第02课 韦达定理及应用
知识点：
一元二次方程根的判别式 ：
当△>0时⇔方程有 ，
当△=0时⇔方程有 ，
当△<0时⇔方程 .
韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值
4.已知两数的和与积，求这两个数
例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根.
例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由.
例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x .
(1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值;
例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+
-+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

(2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。

例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根：
(1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2.
例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。

例7.若0>n ，关于x 的方程04
1)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。

课堂练习：
1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A.0122=-+x x
B.02222=++x x
C.0122=++x x
D.022=++-x x
2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2
111x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C.13
D.1 3.关于x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（ ）
A.1
B.-3
C.1或－3
D.不等于1的实数
4.方程0)2()25(22=-+--k x k x 的两根互为相反数，k 的值为（ ）
A.5=k 或5-
B.5=k
C.5-=k
D.以上都不对
5.若方程x 2＋mx ＋4=0的两根之差的平方为48，则m 的值为（ ）
A.±8
B.8
C.-8
D.±4
6.已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m=________ ，这时方程的另一个根是 ________；若两根之和为5
3-，则m=_______ ，这时方程的两个根为____________ 7.已知方程012=-+px x 的一个根为52-+，可求得p=_______
8.若32-是关于x 的方程0822=+-k x x 的一个根，则另一个根为_____，_____=k 。

9.方程05622=--x x 两根为α，β，则α2+β2= ，2)(βα-= 。

10.要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n=
11.解下列方程：
(1)16)12(2=-x (2)0342=+-x x (3)02352=--x x
12.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a ax 有实数根，求a 的取值范围。

13.设21,x x 是方程01422=--x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1))1)(1(21++x x ； (2)
1
221x x x x +； (3)2221x x +.
14.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a x ，试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。

15.已知关于x 的方程0113)1(222=-+-+m x m x ，
（1）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（2）是否存在实数m ，使方程的两根x 1、x 2满足1221
1x x x x +=-？若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。

16.关于x 一元二次方程()()022=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根,其中c b a ,,是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。

17.已知ABC R ∆t 中，两直角边长为方程0)2(4)72(2=-++-m m x m x 的两根，且斜边长为13，求ABC S ∆的值.
课堂测试题02
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
2.将方程0142=--x x 的左边变成平方的形式是( )
A.1)2(2=-x
B.1)4(2=-x
C.5)2(2=-x
D.4)1(2=-x
3.设x 1，x 2是方程03622=+-x x 的两根，则2
221x x +的值是（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
4.已知x 方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（ ）
A.042<-mk n
B.042=-mk n
C.042>-mk n
D. 042≥-mk n 5.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）
A.k<1
B.k ≠0
C.k>0
D.k<1且k ≠0
6.关于x 的方程012)2(2=++--a ax x a 有两个不相等的实数根，a 的值为（ ）
A.2-<a
B.22<<-a
C.2->a 且2≠a
D.2-≥a 且2≠a
7.设n 为方程)0(02≠=++n n mx x 的一个根，则m+n 等于________
8.如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k=_______
9.如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_______
10.已知x 1，x 2是方程0252=---x x 的两根，则：
(1)21x x +=________ ； (2)21x x ⋅==________ ； (3)221)(x x -=________
11.解下列一元二次方程：
(1)01322=++x x (2)03472=--x x (3)0262=+-x x
12.已知关于x 的方程01)1(22=-++-m x m x 的一个根为4，求m 值及此方程的另一个根。

13.已知：关于x 的一元二次方程08144)32(222=+-+--m m x m x ，若m ＞0，求证：方程有两个不相等的实数根。

14.若规定两数a, b 通过“※”运算, 得到4ab, 即 a ※b=4ab. 例如2※6=4×2×6=48.
(1) 求 3※5的值；(2) 求x ※x+2 ※x-2※4=0 中x 的值。

15.求证：不论k 取什么实数，方程0)3(4)6(2=-++-k x k x 一定有两个不相等的实数根.。