2.2直线的方程(解析版)
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2.2直线的方程
一、单选题
1．已知点 ､ ，则线段 的垂直平分线的方程是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出 中点坐标，再求出直线 斜率可得中垂线斜率，从而得直线方程．
由题意线段 的中点为 ，又 ，
所以线段 中垂线方程为 ，即 ．
故选：C．
2．不论 为何实数，直线 恒过定点（）
A． B．
又 ， ，如图，
， ．
直线 和以 ， 为端点的线段相交，
则 的取值范围为 ．
的取值范围是： ， ， ．
故选：D.
二、填空题
6．过点 作一直线，使它夹在两直线 ： 与 ： 之间的线段 恰被点 平分，则此直线的方程为______.
【答案】
【解析】设出 、 其中一点坐标，结合中点坐标公式表示另一点坐标，代入直线方程求出 、 两点坐标，进而计算此直线方程.
设过点 的一条直线为 ，与 和 分别交于点 ，则点 关于点 对称.
设 ，则 .
将点 坐标代入直线 : 可得 ，解得 .
则 ，所以直线 方程的斜率为 .
所以此直线方程为 ，整理后即为 .
故答案为：
7．已知直线 ，和两点 ，给出如下结论其中真命题的序号是________
①当 变化时， 与 分别经过定点 和 ；
（2）因为 ，所以 .
若 ，则 ，故 ，
故 ，故直线 即 .
若 ，则 ，故 ，
故 ，故直线 即 .
故直线 的方程为： 或 .
因为直线 的方程为 即 ，故该直线过 ，
同理直线 过 ，所以当 变化时， 与 分别经过定点 和 ，①正确．
因为 ，故直线 与 垂直，故②正确.
因为直线 与 垂直，故 ，
所以 ，
根据基本不等式有 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故③错误.
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，故④正确.
综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，
边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0
（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，
可得 ，
∴AC中点D坐标为（﹣4，2）
再由直线的两点式方程，
得BD所在直线的方程为 ，
化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
9．在平面直角坐标系内，已知点 .
故答案为：Baidu Nhomakorabea②④.
三、解答题
8．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）
（1）求边AC和AB所在直线的方程
（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
【答案】（1）边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0；（2）2x﹣y+10=0
【解析】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；
当 时， ， ，此时 .
所以“ ”是“ ”的充分条件.
当 时，则有 ，解得 或 ，
若 ，则 ；若 ，则 .
所以“ ”推不出“ ”即“ ”是“ ”的不必要条件.
故“ ”是“直线 直线 平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4．在 中，设 分别是角 所对的边长，且直线 与 垂直，则 一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
C． D．
【答案】C
【解析】将直线方程变形为 ,即可求得过定点坐标.
根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
3．设 ，则“ ”是“直线 直线 平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不允分又不必要条件
【答案】A
【解析】利用充分不必要条件的定义判断即可.
②不论 为何值时， 与 都互相垂直；
③如果 与 交于点 ，则 的最大值是2；
④ 为直线 上的点，则 的最小值是 ．
【答案】①②④
【解析】根据直线方程的形式可以得到它们各自经过的定点以及两条直线是相互垂直的，故可判断①②正确，又可判断 在一个定圆上，从而可求 的最大值为 ，故③错误，求出点 关于直线 的对称点后可求 的最小值，从而可判断④正确与否．
【答案】C
【解析】本题首先可以结合角 是 的内角排除两条直线一条平行于 轴、一条平行于 轴的情况，然后根据两直线垂直得出 ，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.
当 ， 时，两直线方程为 、 ，相互垂直，
因为角 是 的内角，所以 与 不可能同时为 ，故排除这种情况，
因为直线 与 垂直，
（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为（﹣4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程．
（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），
∴直线AC的截距式方程得： ，化简得x﹣2y+8=0
∵B（﹣2，6），A（0，4）
∴由直线的两点式方程，得AB方程为 ，即x+y﹣4=0
所以 ，
即 ， ， ，
故 一定是等腰三角形，
故选：C.
5．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率，求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数 的取值范围．
解：由直线 可知直线过定点 ，且斜率为 ，
（1）求线段 的中垂线方程：（最后的结果写成 的形式）
（2）若点 在直线 上，且 ，求直线 的方程.（最后的结果写成 的形式）
【答案】（1） （2） 或
【解析】（1）求出 的中点和斜率后可求 的中垂线方程.
（2）利用 求出 的坐标后可求直线 的方程.
（1） 的中点为 ，斜率为 ，故 中垂线的斜率为
所以中垂线的方程为 即 .
一、单选题
1．已知点 ､ ，则线段 的垂直平分线的方程是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出 中点坐标，再求出直线 斜率可得中垂线斜率，从而得直线方程．
由题意线段 的中点为 ，又 ，
所以线段 中垂线方程为 ，即 ．
故选：C．
2．不论 为何实数，直线 恒过定点（）
A． B．
又 ， ，如图，
， ．
直线 和以 ， 为端点的线段相交，
则 的取值范围为 ．
的取值范围是： ， ， ．
故选：D.
二、填空题
6．过点 作一直线，使它夹在两直线 ： 与 ： 之间的线段 恰被点 平分，则此直线的方程为______.
【答案】
【解析】设出 、 其中一点坐标，结合中点坐标公式表示另一点坐标，代入直线方程求出 、 两点坐标，进而计算此直线方程.
设过点 的一条直线为 ，与 和 分别交于点 ，则点 关于点 对称.
设 ，则 .
将点 坐标代入直线 : 可得 ，解得 .
则 ，所以直线 方程的斜率为 .
所以此直线方程为 ，整理后即为 .
故答案为：
7．已知直线 ，和两点 ，给出如下结论其中真命题的序号是________
①当 变化时， 与 分别经过定点 和 ；
（2）因为 ，所以 .
若 ，则 ，故 ，
故 ，故直线 即 .
若 ，则 ，故 ，
故 ，故直线 即 .
故直线 的方程为： 或 .
因为直线 的方程为 即 ，故该直线过 ，
同理直线 过 ，所以当 变化时， 与 分别经过定点 和 ，①正确．
因为 ，故直线 与 垂直，故②正确.
因为直线 与 垂直，故 ，
所以 ，
根据基本不等式有 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故③错误.
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，故④正确.
综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，
边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0
（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，
可得 ，
∴AC中点D坐标为（﹣4，2）
再由直线的两点式方程，
得BD所在直线的方程为 ，
化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
9．在平面直角坐标系内，已知点 .
故答案为：Baidu Nhomakorabea②④.
三、解答题
8．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）
（1）求边AC和AB所在直线的方程
（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
【答案】（1）边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0；（2）2x﹣y+10=0
【解析】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；
当 时， ， ，此时 .
所以“ ”是“ ”的充分条件.
当 时，则有 ，解得 或 ，
若 ，则 ；若 ，则 .
所以“ ”推不出“ ”即“ ”是“ ”的不必要条件.
故“ ”是“直线 直线 平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4．在 中，设 分别是角 所对的边长，且直线 与 垂直，则 一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
C． D．
【答案】C
【解析】将直线方程变形为 ,即可求得过定点坐标.
根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
3．设 ，则“ ”是“直线 直线 平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不允分又不必要条件
【答案】A
【解析】利用充分不必要条件的定义判断即可.
②不论 为何值时， 与 都互相垂直；
③如果 与 交于点 ，则 的最大值是2；
④ 为直线 上的点，则 的最小值是 ．
【答案】①②④
【解析】根据直线方程的形式可以得到它们各自经过的定点以及两条直线是相互垂直的，故可判断①②正确，又可判断 在一个定圆上，从而可求 的最大值为 ，故③错误，求出点 关于直线 的对称点后可求 的最小值，从而可判断④正确与否．
【答案】C
【解析】本题首先可以结合角 是 的内角排除两条直线一条平行于 轴、一条平行于 轴的情况，然后根据两直线垂直得出 ，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.
当 ， 时，两直线方程为 、 ，相互垂直，
因为角 是 的内角，所以 与 不可能同时为 ，故排除这种情况，
因为直线 与 垂直，
（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为（﹣4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程．
（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），
∴直线AC的截距式方程得： ，化简得x﹣2y+8=0
∵B（﹣2，6），A（0，4）
∴由直线的两点式方程，得AB方程为 ，即x+y﹣4=0
所以 ，
即 ， ， ，
故 一定是等腰三角形，
故选：C.
5．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率，求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数 的取值范围．
解：由直线 可知直线过定点 ，且斜率为 ，
（1）求线段 的中垂线方程：（最后的结果写成 的形式）
（2）若点 在直线 上，且 ，求直线 的方程.（最后的结果写成 的形式）
【答案】（1） （2） 或
【解析】（1）求出 的中点和斜率后可求 的中垂线方程.
（2）利用 求出 的坐标后可求直线 的方程.
（1） 的中点为 ，斜率为 ，故 中垂线的斜率为
所以中垂线的方程为 即 .