田间统计第5章_方差分析(第1节)

用 f (F )表示F分布的概率密度函数，则其分
布函数 F ( F ) 为：
F ( F ) P( F F )

F
f ( F )dF
因而F分布右尾从 F到+∞的概率为：
P( F F ) 1 F ( F )
F
f ( F )dF
附表4列出的是不同
F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的
变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、 df2的增大逐渐趋于对称，如图3-15所示。

特点：1、F分布的平均数μ F=1； 2、取值范围[0，+∞]； 3、只有一尾概率，右尾概率； 4、F分布是一组曲线系，当V1、V2都 趋近于+∞时，F分布趋于对称分布。
都显著或极显著的，也不能具体说明哪些处理
平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显
著。
有必要进行两两处理平均数间的比较，以 具体判断两两处理平均数间的差异显著性。 统计学上把多个平均数两两间的相互比
较称为多重比较。
多重比较的方法很多，常用的有最小显
著差数法(LSD法)和最小显著极差法 (LSR法) 。
极差， 根据极差范围内所包含的处理数(称为 秩次距)
k 的不同而采用不同的检验尺度。这
些在显著水平α上依秩次距 k 的不同而采用的不 同的检验尺度叫做 最小显著极差(LSR)。
常用的LSR法有q检验法和SSR法两种。
1、q 检验法 利用q检验法进行多重比较时 ， 将极差与 比较，从而作出统计推断。q a ( df ,k ) S x 为秩次距为K、 α水平上的最小显著极差，记为
是否显著大于处理内(误差)均方。
实际进行F检验时，是将由试验资料所算得 的 F 值与根据 df1= dft (大均方即分子均方的自 由度)、df2=dfe (小均方即分母均方的自由度)查 附表4所得的临界F值
F0.05( df1 ,df 2 ) ， F0.01( df1 , df2 )
相比较作出统计推断。
（ 一）、F分布
设在一正态总体N（μ，σ2）中随机抽取样本
容量为n1和n2的两个样本，得到两个样本方差
（均方） S S， 、 2
2 1
2
S12 S22 构成一新的随机变量，
记为F，即
S F S
2 1 2 2
F S12 S22 服从
df1 n1 1 ，
df 2 n2 1
的F 分布 。
j
LSDa t a ( dfe ) S xi x j
t ( df e ) 为在F 检验中误差项自由度下，显著水平
为α的临界t 值， S x x 为均数差数标准误， i j
S xi x j
2MS e / n
MS e 为F 检验中的误差均方，n为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出
2
k 2 SST xij C i 1 j 1 n
1 k 2 SSt xi C n i 1
SSe SST SSt
（二）总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中kn个观测值
的离均差 ( xij x) 要受
( x
i 1 j 1
k
n
ij
x) 0
即0.01＜p≤0.05，否定H0： μ1=μ2=…=μk 接受HA:各μi不全相等 统计学上，把这一检验结果表述为：各
处理间差异显著或简述为F值显著，在F值的
右上方标记“*”；
若F≥
F0.01( df1 , df2 )
即p≤0.01，否定H0：μ1=μ2=…=μk 接受HA:各μi不全相等 统计学上，把这一检验结果表述为： 各处理间差异极显著或简述为F值极显著， 在F值的右上方标记“**”。
统计学上，这种分解是通过将总均方
的分子──称为总离均差平方和，简称为总
平方和，分解为处理间平方和与处理内平
方和两部分；将总均方的分母──称为总自
由度，分解为处理间自由度与处理内自由
度两部分来实现的。
（一）总平方和的分解
在表5-1中，反映全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数 x .. 离均差平方和，记为SST。 的
SST ( xij x)
i 1 j 1
k
n
2
n ( xi x) 2
i 1
k
为各处理平均数
与总平均数
的离均差平方和与重复数nxi 的
k
x 乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处
SSt n ( xi x)2 理间平方和，记为SSt，即
i 1
df1 和 df2 下
P（F ≥ F ）=0.05和P（F ≥ F ）= 0.01
时的F 值，即右尾概率 α =0.05 和α =0.01 时的临界F 值，一般记作：
F0.05( df1 ,df2 )
F0.01( df1 ,df2 )
例如，查附表4，当df1=3，df2=18时， F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09 表示如以n1=4，n2=19，在同一正态总 体中连续抽样 ，所得 F 值大于 3.16 的仅为 5%，大于5.09的仅为1%。
t0.05( dfe )
和 t0.01( df ) ， 得：
e
LSD0.05 t 0.05( dfe ) S xi x j LSD0.01 t 0.01( dfe ) S xi x j
利用LSD法进行多重比较时，可按如下步骤进行：
(1) 列出平均数多重比较表，各处理按其
平均数降序排列； (2)计算最小显著差数 比较，作出统计推断。
LSD0.05 t0.05(15) S xi x j 2.1311.8433 3.9091
LSD0.01 t0.01(15) S xi x j 2.947 1.8433 5.4060
(二)最小显著极差法 (LSR法)
LSR 法是把平均数的差数看成是平均数的
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
故处理内自由度为资料中观测值的总个数
减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe
dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
对于【例5·1】，因为
MSt 75.30 F 11.19** MSe 6.73
根据 df1=dft=4， df2=dfe=15 查附表 4 ，得 F0.01(4，15) =4.89，因为F＞F0.01(4，15) , 即p＜0.01，
表明五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著，
施肥处理不同，产量亦不同。
表5-3 变异来源 处理间 处理内 总变异
表5-2资料方差分析表 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F值 11.19**
SS 301.2 101.0 402.2
三、多重比较
F 值显著或极显著，否定无效假设HO ，表
明试验中各处理平均数间存在显著或极显著差
异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异
对于【例5-1】， 各处理平均数多重比较表见 表5-5（同表5-4）。
MSe 6.73, df e 15, n 4
Sx MSe n 6.73 1.2971 4
查附表7，得df=15时，p=2,3,4的q 值，进而可得 LSR，列于表5-6。
( x
i 1 j 1
k
n
xi )2 ij
为各处理内离均差平方和之
和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理
内平方和或误差平方和，记为SSe，即
SSe ( xij xi )2
i 1 j 1 k n
SST = SSt + SSe
3种平方和的简便计算公式 矫正数
C x / kn
qa ( dfe , k ) S x
e
LSR。
LSR , k qa ( dfe , k ) S x
Sx MS e / n
步骤：
(1)列出平均数多重比较表； (2)由自由度 dfe、 秩次距k 查临界q值，计 算最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k； (3)将各极差与相应的最小显著极差 LSR0.05,k , LSR0.01,k 比较，作出统计推断。
SST x C 24 30 21 C
2 ij 2 2 2
402.2
1082 982 1142 1262 802 SSt C C n 5 301.2 xi2
SSe SST SSt 402.2 301.2 101.0
所以
dfT df t df e
dfT kn 1 dft k 1 dfe dfT dft
各项平方和除以各自的自由度便得到总 均方、处理间均方和处理内均方，分别记为
2 MST（或 S）、MSt（或 S t2 ）和 MSe （或 T
2 S e ），即
SSt SS e SST MST , MS t , MS e dfT df t df e
第五章
第一节
方差分析
方差分析的基本原理 与步骤
假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其 数据结构和符号如表5-1所示。
一、分解平方和与自由度
在方差分析中用样本方差即均方来度量 资料的变异程度。 在表5-1中，度量全部观测值总变异的总 均方分解为度量处理间变异的处理间均方和 度量处理内变异的处理内均方两部分。
（二）、F检验
用 F 值出现概率的大小推断一个总
体方差是否大于另一个总体方差的方法
称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差
分析:
无效假设H0：μ1=μ2=…=μk
备择假设HA：各μi不全相等 或 假设 H0：σt2=σe2 对 HA：σt2﹥σe2， F=MSt / MSe，也就是要判断处理间均方
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
df e dfT dft 19 4 15
SSt 301.2 MSt 75.30 dft 4 SSe 101.0 MSe 6.73 df e 15
二、F分布与F检验
（一）最小显著差数法(LSD法)
此法的基本作法是： 在F 检验显著 的前提下 ，先 计 算 出 显 著 水 平为α的 最 小显著差数 比较：
LSD
，然后将任意两个
处理平均数的差数的绝对值 xi x j 与其
若 xi x j ＞LSDα，则 x与 x 在α水平上差异显 i 著；反之，则在α水平上差异不显著。
LSD0.05
和
LSD0.01
；
(3)将两两平均数的差数与
LSD0.05
LSD 、 0.01
对于【例5-1】，多重比较如表5-4所示。
MSe 6.73, df e 15, n 4
S xi x j 2MSe n 2 6.73 1.8344 4
t0.05(15) 2.131, t0.01(15) 2.947
【例5-1 】有一水稻施肥的盆栽试验，设
置了5个处理：A1和A2分别施用两种不同工艺
流程的氨水，A3施碳酸氢铵，A4施尿素，A5 不施氮肥。每个处理各4盆（施氮处理的施肥 量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有5×4＝20 盆，随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/ 盆）列于表5-2。
各项平方和与自由度计算如下 2 2 x 526 C 13833.8 nk 4 5
这一条件的约束，故总自由度等于资料中观
测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为Hale Waihona Puke Baidu
dfT，dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时，k个处理均数的
离均差 ( xi x) 要受
(x
i 1
k
i
x) 0
这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1
若F ＜ F0.05( df1 , df2 ) ，即p＞0.05，不能否定 H0：μ1=μ2=…=μk 统计学上，把这一检验结果表述为：各处 理间差异不显著或简述为F值不显著，在F值的
右上方标记“ns”，或不标记符号；
若
F0.05( df1 , df2 ) ≤F＜
F0.01( df1 , df2 )