2020年中考数学专题复习和训练：新定义题型例谈

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2020年中考数学专题复习和训练:

新定义题型例谈

班级： 姓名：

编制：赵化中学 郑宗平

专题透析：

“新定义”题型主要是指题型中嵌入了新概念、新符号、新运算等，要求结合书本知识，根据“定义”的规则加以运算、推理等以求问题得以解决；这类题在新课改、新课标下的各类数学测试中经常出现，也是近年来中考的热点题型，填空、选择和解答题均有涉及；“新定义”题型注意两点：其一.读懂“定义规则”，找准切入点；其二.经过运算、推理进行迁移解决问题

典例精析：

例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111

234

L 任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111

236341245209L ；根据对上述式子的观察思

考：如果理想分数111

n a b

=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的式

本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.

追踪练习：

1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,… 就是一个数列；如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做这个等差数列的公差．如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2；如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1,3,9,19,33, …，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1,3,9,19,33,，…是一个二阶等差数列；那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,，… 的第五个数应是 ___ ．

2.若x 是不等于1的实数，我们把

11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1

112

=--，1-的差倒数为()11112=--，现已知11

x 3

=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差

倒数，…，依次类推，则 2020x = . 例2.我们把

a b c d

称作二阶行列式，规定它的运算法则为

a b

ad bc c d

=-，比如：

23

2534245

=⨯-⨯=-，如果有

23x 01

x

->，则x 的取值范围为 .

分析：

根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：x 1>. 点评：

本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型. 追踪练习：

1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),

,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12= ((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）

A.(),100902-

B.(),101002-

C.(),100902

D.()

101002， 2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =

+，例如：()11

f 4145

==+，114f 145

14

⎛⎫

=

= ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L L 的值为 ，

()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L L 的值为 .

二阶行列式运算法则”，计算填空：

= ； ⑵.

x 3x 2x 4x 3

+---= ；⑶.

2x x 26x 2

x

-=+，则x = .

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4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+

，则

⎛⋅ ⎝

= .

5.对于两个不相等的实数a,b ，定义一种新的运算如下，(a a b a b a b +=+-332+=()654 的值.

6.我们定义

a b

ad bc c d

=-，比如：()121623663

6

-=-⨯-⨯=--=-整数，且满足1x 13y 5

<< ，求x 2y -的值.

作,垂足为

在Rt ⊿OEA 中，AE

tan AOE ∠=

,则AE OE tan AOB =∠= ()b'b'0=> .解得：b'= 本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.

追踪练习：

1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 . ⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．

2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB ∠是