自动控制理论第1-7次作业.

第一次作业

2—1 设机械系统如图2—1 所示，其中x i 为输入位移，x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式及传递函数。

图2—1 机械系统

解①图2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

2 1

f 1 ( x &i x &0 ) f 2 x &0 = m &x

&0

整理得

m d x 0

+ ( f + f ) dx 0 = f dx i dt 2 1 2 dt 1 dt

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

[ms 2

+ ( f + f 2

)s ]X 0

(s ) = f 1

sX i

(s )

于是传递函数为

X 0 (s ) =

X i (s ) f 1

ms + f 1 + f 2

②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A ，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B 。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：

K 1 ( x i x ) =

f ( x & x &0 )

K 2 x 0 = f ( x

& x &0 )

消去中间变量 x ，可得系统微分方程

f (K + K ) dx 0 + K K x

= K f dx i 1 2 dt 1 2 0 1 dt

对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为

X 0 (s ) =

X i (s ) fK 1 s f (K 1 + K 2 )s + K 1 K 2

③图 2—57(c)：以 x 0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

K 1 ( x i x ) + f ( x

&i x &0 ) = K 2 x 0

移项整理得系统微分方程

f dx 0

+ (K dt 1 + K

2 ) x 0 = f dx i dt

+ K 1 x i

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

x i (0) = x 0 (0) = 0

则系统传递函数为

X 0 (s ) =

X i (s ) fs + K 1

fs + (K 1 + K 2 )

⎨ 0 ⎭ R 1

2—2 试分别列写图中个无源网络的微分方程式。

解：（a ） :列写电压平衡方程：

du C

u C

u i u 0 = u C

i C = C

⎩

dt

du C

u C ⎤ i R 1 =

R 1

⎩

d (u i u 0 )

u i u 0 ⎤ u 0 = (i C + i R 1 )R 2 = ⎪C + ⎥ R 2 = ⎪C + ⎥ R 2

整理得：

⎣

dt

⎫

R 1 ⎦

dt R 1 ⎦ CR du 0 + ⎧ C R 2

+ 1⎪u

= CR du i

+ C R 2 u 2 dt ⎧ R 1

⎪ 2 dt i

(b) :列写电压平衡方程：

du C 1

u i u 0 = u C 1 （1） i C 1 = C 1

dt

（2）

i C 2 = u C 1 + i C 1 R R + i C 1 = u C 1 R + 2i C 1 = C 2 du C 2 dt = C 2 d (u 0 i C 1 R )

dt

（3）

2

2

2 即： u C 1 R

+ 2i C 1 = C 2

d (u 0 i C 1 R ) dt

（4）

将（1）（2）代入（4）得：

u i u 0

+ 2C d (u i u 0 ) = C du 0 C C R

d u C 1

R 1 dt 2 dt 1 2

dt 2

u

u du du du d 2 u d 2 u

即： i 0 + 2C

i 2C 0 = C 0 C C R i + C C R 0

R R 整理得：

1 dt 1 dt

2 dt 1 2 dt 2 1 2

dt 2

C C R

d u 0

C

C du 0 u 0

C C R d u i u i C

du i

1 2

dt 2

+ ( 2 + 2 1 ) dt + R

= 1 2 dt 2 + + 2 R

1

dt

第二次作业

2-3 已知控制系统结构图如图所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。

2-4 试简化图中的系统结构图，并求N 0时的传递函数C(s)/R(s)。

第三次作业

1、系统信号流图如下，试用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)

2、系统信号流图如下，试用梅森公式求系统传递函数0()Q s /()i Q s

第四次作业

1、 设单位反馈系统的开环传递函数为(1)

()(1)(5)

K S G S S S S +=

-+ , 确定K 的取值范围是闭环系统稳定。

2、 设潜艇潜水深度控制系统如图所示，问放大器增益K1如何取值可保证系统稳定？

第五次作业

1、 某控制系统如图所示，如果1()G S =，2210

()1G S S =+，()H S S =，试求()1()

n t t =时，系统的稳态误差()ss e ∞。

2、 设控制系统结构图如图所示。

（1） 分析说明内反馈f k S 的存在对系统稳定性的影响

（2） 计算静态位置误差系数，静态速度误差系数和静态加速度误差系数，并说明内反馈f k S 的存在对