空间向量与平行关系

量 a ，则向量 a 叫做平面 的 法向量 .
l
a
给定一点A和一个向量 a ,那么过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定
的. 几点注意：
1.法向量一定是非零向量.
2.一个平面的所有法向量都 A 互相平行.
3.向量 a 是平面的法向量，
向量 n 与平面平行或在平面
内，则有a n 0.
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面 的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等关系.
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向
量.PLeabharlann O⑵直线P
a
B A
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A 以及一个定方向确定.
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
所以 QA QB = 6λ2 - 16λ+ 10,
所以当λ=
4 3
时，QA
QB取得最小值
-
2 3
,
此时Q（4，4，8）. 333
C
2．下列命题中正确的是 （ A ） A．若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和 平面ABC 内任意一条直线的方向向量垂直 B．若n和平面ABC内两条直线的方向向量垂直， 则n是平面ABC的法向量 C．若n既是平面α的法向量，又是平面β 的法向量，则α∥β D．若α∥β ，则它们所有共同的法向量都 在一条直线上
例2.已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三个坐标平面的交点。
解：设A, B连线与yOz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC =（1- t）OA +tOB得
（0，y1，z1）=（1- t）(1,-2,3)+t(2,1,-3), （0，y1，z1）=(1+t，- 2 +3t，3 - 6t）, 所以 0 = 1+t,
引入1、平面向量 推广到 空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形) 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在 立体几何中的应用.
引入2、复习 共线向量定理: 对空间任意两个向量a,（b b 0），a / /b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个 平面在空间的位置吗？
1．了解如何用向量把空间的点、直线、平面 表示出来.（重点）
2．理解并掌握用向量方法解决立体几何问题. （重点）
3．掌握把立体几何问题转化为向量问题． （难点）
探究点1 点,直线，平面的位置向量
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、 垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用 平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置 关系以及它们二面角的大小吗？
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
lm
a
b
l / /m a / /b a b
a
l
u
l / / a u a u 0
所以a v 0,b v 0.
因为l,m α,且l,m相交，
所以α内任一直线的方向向量p
a
可以表示为如下形式
αb
p = xa + yb,x,y R.
因为p×v = xa + yb ×v
= xa×v + yb×v = 0.
v
β
uｍ
l
即平面β的法线与平面α内任一直线垂直. 所以平面β的法向量也是平面α的法向量， 即u∥v.因此，α∥β.
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
u
v
/ / u / /v u v
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ， 平面, 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 线面平行 面面平行
l∥m a∥b a b, R; l∥ a u a u 0; ∥ u∥v u v, R.
所以 t=-1.
所以 OC =（0，- 5，9）.
同理得A,B连线与xOz，xOy平面的交点(为5 ,0,1),(3 , 1 ,0).
3
22
变式练习： 已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）， 点Q在OP上运动，求当QA QB取得最小值时，点Q的坐标.
解：设OQ =λOP =(λ,λ,2λ),
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行. 已知：直线l,m和平面α，β，其中l,m ⊂ α, l与m相交,l ∥β,m ∥β, 求证：α∥β.
证明:取l,m的方向向量a,b, 取α,β的法向量u,v. 因为l∥β,m∥β,所以a⊥v,b⊥v.
3．空间中的点P，可用向量OP表示， OP称为点P的_位_置__向__量__． 4．空间中任意一条直线l的位置可以由_l_上__一_个__定__点__A__ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的__方__向_向__量____． 5．直线l ⊥ 平面α，取直线l的方向向量a，则向量 a ⊥ 平面α，向量a叫做平面α的____法__向__量_____．
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量 p与向量a,b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
引入3、思考 1.如何确定一个点在空间的位置？
2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能 确定一条直线在空间的位置吗？
3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个 平面在空间的位置吗？
a
B
P
对于直线 l 上的任一点 P ,
存在实数 t 使得 AP t AB,
此方程称为直线的向量参数方程.
A
OP = OA + ta 或 OP = xOA + yOB (x + y = 1）.
⑶平面
P
b
O a
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
探究点2 平面的法向量
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n
b
O a
P
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a,b 不仅可以确定平面 的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点.
除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向
量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如图，直线 l ，取直线l的方向向