有关定积分问题的常见题型解析全题型

有关定积分问题的常见题型解析

题型一 利用微积分基本定理求积分

例1、求下列定积分：

（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x

分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭

， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32

。 （2）因为()12

1x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以

()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。 练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x

评注：利用微积分基本定理求定积分

dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二 利用定积分求平面图形的面积

例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2

所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩

⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。故所求图形面积为：

S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x

）332311

3313=---x 。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：

（1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积：

S ＝()⎰b

a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=

b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积：

S ＝()()⎰⎰-=b

a b

a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=

b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝()()⎰-b

a dx x g x f ][，如图3。

题型三 解决综合性问题

例3、在曲线2x y =（x ≥0）上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121。试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程。

分析：设出切点A 的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A 的坐标，使问题解决。

解：如图，

设切点A （00,y x ），由y '＝2x ，过A 点的切线方程为

y －y 0＝2x 0（x －x 0）,即y ＝2x 0x －x 02。

令y ＝0,得x=2

0x 。即C （20x ，0）。 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S AOB ∆曲边－S ABC ∆。 S AOB ∆曲边＝3000323103

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x x x dx x x ==⎰， S ABC ∆＝2

1｜BC ｜·｜AB ｜＝21（x 0－20x ）·x 02＝41x 03， 即：S ＝31x 03－41x 03＝121x 03＝12

1。 所以x 0=1，从而切点A （1,1）,切线方程为y=2x －1。

评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形AOC 的面积。