B-349_基于连续潮流法的电力系统临界负荷能力评估
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资助信息：国家自然科学基金资助项目(51177093, 51207082)。
系统稳定性影响最大的节点，并增加此节点的注入有 功，可以使系统在接近临界点时负荷增长比较小。
2 最小模特征值对系统功率注入的灵敏度
极坐标系统中注入有功功率和无功功率变量为 YS = [ P 1P 2P 3 ...P n −1Q1Q2 ...Qm −1 ] ，系统的状态变量相角和 电压为 X = [δ1δ 2δ 3 ...δ n −1U1U 2 ...U m −1 ] ，其中 n 代表节点 个数，m-1 代表 PQ 节点个数。系统潮流方程进行线 性化可得[5]
1 引言
传统的潮流方法在负荷增加到系统临近崩溃点附 近会由于雅可比矩阵可能出现奇异而造成潮流无解， 所 以并不能给出系统在临近崩溃时候的运行状态。 而对于 调度人员来说，最实用的稳定安全指标应是功率裕度， 这就要求准确地确定临界点。 连续潮流法通过不断更新 [1] 潮流方程 ，使得在所有可能的负荷状态下，潮流方程 都有解，克服了接近极限运行状态时的收敛问题，较为 准确地提供系统的临界电压和极限功率。 传统连续潮流法假设系统负荷按照相同系数增长 [2] ，这并不是系统接近失稳临界点的最灵敏方式，此种 方式求得的系统临界负荷必定不是系统临界时所能承 受负荷的最小值。文献[3，4]中运用逐步逼近电压安全 域边界法计算临界负荷裕度， 虽然考虑了最恶劣的负荷 增长方向，但采用迭代计算，存在临界点收敛性问题。 本文在连续潮流法中运用扩展潮流矩阵子矩阵的 最小模特征值对系统有功功率注入的灵敏度来判断对
预估的目的是找到一个潮流解的近似值，为校正 步中求解扩展潮流方程提供一个初值，所以预估值要 尽可能的接近实际值，校正过程需要的迭代步数才会 越少。本文采用线性预估法中的切线预估法[8]。 通过预估步得到一个估计值之后，需要通过误差 校正来获得实际潮流值。校正步类似普通潮流计算中 的给定初值后的迭代计算，所以可运用牛顿拉夫逊法 进行计算。 3.1.2 连续参数的选择及步长控制 合适的连续参数选择对于校正来说是特别重要 的。连续参数选择不好可能引起解的发散[9]。可先将 切向量 [ dx d λ ] 的每个分量分别除以相应的状态变
a= 0.1 1 dx dλ −1 dλ 1
则此时可得到此节 若某一节点 i 增加负荷 λ * PLi 0 ， 点含负荷增长参数的潮流方程：
PGi（1+ λ kGi） − PLi（1+ λ） − 0 0 U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) = 0
j∈i
（12）
ΔYs = J r ΔX
（1）
求出雅可比矩阵 J r 的最小模特征值 λmin ，同时可 得出对应于矩阵最小模特征值的左右特征向量
J rU = λminU , U = U min
J rT V = λminV , V = Vmin
（2） （3）
式（2）、（3）中 λmin 代表矩阵的最小模特征值， V 和 U 分别代表对应于 λmin 的左右特征向量。 式（3）两边对状态量 xi 求偏导可得
T
（8）
3 改进连续潮流法计算系统临界负荷
3.1 单一负荷增长的连续潮流法
连续潮流法是从初始稳定工作点开始，随着负荷 缓慢变化，对下一工作点进行预估、校正，直到得出 临界点的方法。 连续潮流法的主要步骤是预估和校正， 并在其中涉及连续参数选择和步长控制的问题[6]。 极坐标下初始负荷潮流方程表示为[7]：
B-349
中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013
的子矩阵
∂H 为常规潮流方程的雅可比矩阵，也是用 ∂x 来计算最小模特征值灵敏度的子矩阵。
正常状态下，此子矩阵的所有特征值都为负实部， 随着负荷的增长，系统逐渐向失稳发展，矩阵最小模特 征值在失稳过程中以单调方式逐渐接近于零， 所以系统 的失稳对应于最小模特征值为零， 系统达到临界点的最 快方式也应该是最小模特征值最快到达零点的方式。 传统连续潮流法的负荷增长节点确定之后就不再 改变，而本文中负荷增长节点由扩展矩阵的子矩阵的 最小模特征值对系统有功功率注入灵敏度来判定，灵 敏度最大的点选择为负荷增长节点，在潮流计算的每 一个状态点都重新计算灵敏度，并在灵敏度最大的节 点发生变化后改变负荷增长节点。 改进连续潮流法负荷增长方式后计算系统临界负 荷的流程如下图 1 所示：
Abstract: Critical load is an important stability index in power system. A method is proposed by the article to assess the critical load of power system with the use of continuous power flow which increase node can be changed, so that the system can get to the critical point faster with less load increase. Simulation results of the New England 39-bus system show that the critical load calculated with this method is less than the traditional ways which total load increase and only a single load increases, which proves that the critical load of the system calculated by this method is more critical. Keywords: continuous power flow; minimum modulus eigenvalue; sensitivity; critical load
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⎡ ∂J r ⎤ ∂λ ∂V T ∂V = min V + λmin ⎢ ⎥ V + Jr ∂ ∂ ∂ ∂xi x x x i i ⎣ i⎦
T
（4）
负荷的功率增长方式为保持功率因数不变。节点 i 增加的有功为 λ * PLi 0 ，若要保持功率因数不变，则
Hale Waihona Puke 1.1873，所以系统临界负荷为 13430.68MW。临界点 处的雅可比矩阵的最小模特征值为-0.0047。连续潮流 法得到的系统 PV 曲线如图 2 所示：
图 2. 全部负荷同时增长时的 PV 曲线
相应的最小模特征值随负荷的变化曲线如下图 3 所示：
图 3. 全部负荷同时增长时的最小模特征值曲线
所以 8 号节点的有功负荷增长对最小模特征值的灵敏 度最高， 应当选择 8 号节点作为初始的负荷增长节点。 4.2.1 不改变负荷增长节点 若只有 8 号节点单一增长负荷，临界点处雅可比 子矩阵的最小模特征值为-0.03287。 8 号节点的最大负
4.1 常规连续潮流法下全部负荷同时增长
连续潮流法求得此时系统的最大负荷率为
PGi 0 − PLi 0 − U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) = 0
j∈i
量，再取模最大的元素对应的状态变量作为连续参数 即[10]：
xk : ⎧ dX k dλ ⎫ ⎪ dx dx ⎪ = max ⎨ 1 , 2 ,..., ⎬ xk x x λ ⎪ ⎪ 2 ⎩ 1 ⎭
中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013
基于连续潮流法的电力系统临界负荷能力评估
王超，褚晓东，张文
电网智能化调度与控制教育部重点实验室（山东大学） Email: wangchaowant@
摘 要：电力系统临界负荷是重要的稳定裕度指标。本文提出了一种运用改变负荷增长节点的连续潮 流法来评估系统临界负荷的方法，可以使系统达到临界点的总负荷增长较小。新英格兰 39 节点系统仿 真计算结果表明，与传统的全部负荷同时增长和只有单一负荷增长方式相比，此种负荷增长方式下系 统达到临界点时的总负荷比较小，证明了此种方法求得的系统临界负荷更为严格。 关键词：连续潮流法；最小模特征值；灵敏度；临界负荷
λ =0
图 2 与图 3 比较可得出最小模特征值的变化与系统状 态的变化是一致的，当雅克比矩阵的最小模特征值趋 向于零时，系统趋向于失稳。
4.2 最小模特征值灵敏度指示负荷增长节点
图 1. 计算流程图
初始状态下的最小模特征值对负荷注入有功功率 的灵敏度排序如下表 1 所示：
表 1. 最小模特征值对负荷注入有功功率的灵敏度
节点号 灵敏度 8 -0.0468 7 -0.0461 4 -0.0459 … … 29 -0.0402 23 -0.0390
4 算例分析
采用新英格兰 10 机 39 节点系统来进行验证，系 统总的初始有功负荷为 6140.3MW，连续潮流法采用 极坐标，系统达到临界点的标志设定为负荷变为负增 长，系统 PV 曲线进入下半支。
式（10）中参数 kGi， kQLi 分别代表指定节点的发电机 有功出力增长系数和无功负荷增长系数，因为发电机 的无功输出一般不随负荷增加而变化，所以发电机没 有无功增长系数。
⎡ ∂H ⎢ ∂x ⎣
∂H ⎤ ⎡ dx ⎤ ⎢ ⎥=0 ∂λ ⎥ ⎦ ⎣d λ ⎦
（13）
式（13）为系统的扩展潮流方程，其中扩展潮流矩阵
式（12）中 a 代表步长控制因子。 （10）
QGi 0 − QLi（1+ − λ kQLi） 0 U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) = 0
j∈i
3.2 连续潮流法中负荷增长节点的确定
含参数潮流方程（10）可写为 H ( x, λ ) = 0 ，两边 取全微分可得
Assessment of Critical Load Capacity in Power System Based On Continuation Power Flow
Wang Chao, Chu Xiaodong, Zhang Wen
Key Laboratory of Power System Intelligent Dispatch and Control of Ministry of Education (Shandong University) Email: wangchaowant@
PLi 0 PG new 。
（5）
根据隐函数求导法则有
∂λmin ∂λmin = ∑ j =1 ∂xi ∂y j ∂xi
n+m−2
3.1.1 预估及校正
∂y j
（6）
写成矩阵形式
∂λmin ∂λ = [ J r ]T [ min ] ∂X ∂ys
（7）
因此得到最小特征值对系统功率注入的灵敏度
∂λmin ∂λ = [ J r−1 ]T [ min ] ∂Ys ∂X
（11）
QGi 0 − QLi 0 − U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) = 0
j∈i
（9）
这样在初始点处选择 λ 作为连续参数，而在接近临界 点时，某个电压分量变化很快，适合作为连续参数。 步长的确定对于连续潮流计算具有重要意义。步 长过大则计算结果不够准确甚至潮流不能收敛；过小 又会浪费计算时间。本文采用步长控制方式为[11-12]：
kQLi 取值为 1。
式（4）转置右乘 U 并带入式（2）得到系统稳定 裕度 λmin 对状态变量 X 的灵敏度为
∂λmin = ∂xi
VT
∂J r U ∂xi V TU
发电机有功出力按照比例增长。发电机节点 l 增 加的出力为 其中 PG new 为前一时段 （ λ * PLi 0） PGl 0 PG new 。 发电机的有功出力之和（不包括平衡机）， PGl 0 代表 前一时段发电机 l 的有功出力，此时 kGl 可以取为
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系统稳定性影响最大的节点，并增加此节点的注入有 功，可以使系统在接近临界点时负荷增长比较小。
2 最小模特征值对系统功率注入的灵敏度
极坐标系统中注入有功功率和无功功率变量为 YS = [ P 1P 2P 3 ...P n −1Q1Q2 ...Qm −1 ] ，系统的状态变量相角和 电压为 X = [δ1δ 2δ 3 ...δ n −1U1U 2 ...U m −1 ] ，其中 n 代表节点 个数，m-1 代表 PQ 节点个数。系统潮流方程进行线 性化可得[5]
1 引言
传统的潮流方法在负荷增加到系统临近崩溃点附 近会由于雅可比矩阵可能出现奇异而造成潮流无解， 所 以并不能给出系统在临近崩溃时候的运行状态。 而对于 调度人员来说，最实用的稳定安全指标应是功率裕度， 这就要求准确地确定临界点。 连续潮流法通过不断更新 [1] 潮流方程 ，使得在所有可能的负荷状态下，潮流方程 都有解，克服了接近极限运行状态时的收敛问题，较为 准确地提供系统的临界电压和极限功率。 传统连续潮流法假设系统负荷按照相同系数增长 [2] ，这并不是系统接近失稳临界点的最灵敏方式，此种 方式求得的系统临界负荷必定不是系统临界时所能承 受负荷的最小值。文献[3，4]中运用逐步逼近电压安全 域边界法计算临界负荷裕度， 虽然考虑了最恶劣的负荷 增长方向，但采用迭代计算，存在临界点收敛性问题。 本文在连续潮流法中运用扩展潮流矩阵子矩阵的 最小模特征值对系统有功功率注入的灵敏度来判断对
预估的目的是找到一个潮流解的近似值，为校正 步中求解扩展潮流方程提供一个初值，所以预估值要 尽可能的接近实际值，校正过程需要的迭代步数才会 越少。本文采用线性预估法中的切线预估法[8]。 通过预估步得到一个估计值之后，需要通过误差 校正来获得实际潮流值。校正步类似普通潮流计算中 的给定初值后的迭代计算，所以可运用牛顿拉夫逊法 进行计算。 3.1.2 连续参数的选择及步长控制 合适的连续参数选择对于校正来说是特别重要 的。连续参数选择不好可能引起解的发散[9]。可先将 切向量 [ dx d λ ] 的每个分量分别除以相应的状态变
a= 0.1 1 dx dλ −1 dλ 1
则此时可得到此节 若某一节点 i 增加负荷 λ * PLi 0 ， 点含负荷增长参数的潮流方程：
PGi（1+ λ kGi） − PLi（1+ λ） − 0 0 U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) = 0
j∈i
（12）
ΔYs = J r ΔX
（1）
求出雅可比矩阵 J r 的最小模特征值 λmin ，同时可 得出对应于矩阵最小模特征值的左右特征向量
J rU = λminU , U = U min
J rT V = λminV , V = Vmin
（2） （3）
式（2）、（3）中 λmin 代表矩阵的最小模特征值， V 和 U 分别代表对应于 λmin 的左右特征向量。 式（3）两边对状态量 xi 求偏导可得
T
（8）
3 改进连续潮流法计算系统临界负荷
3.1 单一负荷增长的连续潮流法
连续潮流法是从初始稳定工作点开始，随着负荷 缓慢变化，对下一工作点进行预估、校正，直到得出 临界点的方法。 连续潮流法的主要步骤是预估和校正， 并在其中涉及连续参数选择和步长控制的问题[6]。 极坐标下初始负荷潮流方程表示为[7]：
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的子矩阵
∂H 为常规潮流方程的雅可比矩阵，也是用 ∂x 来计算最小模特征值灵敏度的子矩阵。
正常状态下，此子矩阵的所有特征值都为负实部， 随着负荷的增长，系统逐渐向失稳发展，矩阵最小模特 征值在失稳过程中以单调方式逐渐接近于零， 所以系统 的失稳对应于最小模特征值为零， 系统达到临界点的最 快方式也应该是最小模特征值最快到达零点的方式。 传统连续潮流法的负荷增长节点确定之后就不再 改变，而本文中负荷增长节点由扩展矩阵的子矩阵的 最小模特征值对系统有功功率注入灵敏度来判定，灵 敏度最大的点选择为负荷增长节点，在潮流计算的每 一个状态点都重新计算灵敏度，并在灵敏度最大的节 点发生变化后改变负荷增长节点。 改进连续潮流法负荷增长方式后计算系统临界负 荷的流程如下图 1 所示：
Abstract: Critical load is an important stability index in power system. A method is proposed by the article to assess the critical load of power system with the use of continuous power flow which increase node can be changed, so that the system can get to the critical point faster with less load increase. Simulation results of the New England 39-bus system show that the critical load calculated with this method is less than the traditional ways which total load increase and only a single load increases, which proves that the critical load of the system calculated by this method is more critical. Keywords: continuous power flow; minimum modulus eigenvalue; sensitivity; critical load
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⎡ ∂J r ⎤ ∂λ ∂V T ∂V = min V + λmin ⎢ ⎥ V + Jr ∂ ∂ ∂ ∂xi x x x i i ⎣ i⎦
T
（4）
负荷的功率增长方式为保持功率因数不变。节点 i 增加的有功为 λ * PLi 0 ，若要保持功率因数不变，则
Hale Waihona Puke 1.1873，所以系统临界负荷为 13430.68MW。临界点 处的雅可比矩阵的最小模特征值为-0.0047。连续潮流 法得到的系统 PV 曲线如图 2 所示：
图 2. 全部负荷同时增长时的 PV 曲线
相应的最小模特征值随负荷的变化曲线如下图 3 所示：
图 3. 全部负荷同时增长时的最小模特征值曲线
所以 8 号节点的有功负荷增长对最小模特征值的灵敏 度最高， 应当选择 8 号节点作为初始的负荷增长节点。 4.2.1 不改变负荷增长节点 若只有 8 号节点单一增长负荷，临界点处雅可比 子矩阵的最小模特征值为-0.03287。 8 号节点的最大负
4.1 常规连续潮流法下全部负荷同时增长
连续潮流法求得此时系统的最大负荷率为
PGi 0 − PLi 0 − U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) = 0
j∈i
量，再取模最大的元素对应的状态变量作为连续参数 即[10]：
xk : ⎧ dX k dλ ⎫ ⎪ dx dx ⎪ = max ⎨ 1 , 2 ,..., ⎬ xk x x λ ⎪ ⎪ 2 ⎩ 1 ⎭
中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013
基于连续潮流法的电力系统临界负荷能力评估
王超，褚晓东，张文
电网智能化调度与控制教育部重点实验室（山东大学） Email: wangchaowant@
摘 要：电力系统临界负荷是重要的稳定裕度指标。本文提出了一种运用改变负荷增长节点的连续潮 流法来评估系统临界负荷的方法，可以使系统达到临界点的总负荷增长较小。新英格兰 39 节点系统仿 真计算结果表明，与传统的全部负荷同时增长和只有单一负荷增长方式相比，此种负荷增长方式下系 统达到临界点时的总负荷比较小，证明了此种方法求得的系统临界负荷更为严格。 关键词：连续潮流法；最小模特征值；灵敏度；临界负荷
λ =0
图 2 与图 3 比较可得出最小模特征值的变化与系统状 态的变化是一致的，当雅克比矩阵的最小模特征值趋 向于零时，系统趋向于失稳。
4.2 最小模特征值灵敏度指示负荷增长节点
图 1. 计算流程图
初始状态下的最小模特征值对负荷注入有功功率 的灵敏度排序如下表 1 所示：
表 1. 最小模特征值对负荷注入有功功率的灵敏度
节点号 灵敏度 8 -0.0468 7 -0.0461 4 -0.0459 … … 29 -0.0402 23 -0.0390
4 算例分析
采用新英格兰 10 机 39 节点系统来进行验证，系 统总的初始有功负荷为 6140.3MW，连续潮流法采用 极坐标，系统达到临界点的标志设定为负荷变为负增 长，系统 PV 曲线进入下半支。
式（10）中参数 kGi， kQLi 分别代表指定节点的发电机 有功出力增长系数和无功负荷增长系数，因为发电机 的无功输出一般不随负荷增加而变化，所以发电机没 有无功增长系数。
⎡ ∂H ⎢ ∂x ⎣
∂H ⎤ ⎡ dx ⎤ ⎢ ⎥=0 ∂λ ⎥ ⎦ ⎣d λ ⎦
（13）
式（13）为系统的扩展潮流方程，其中扩展潮流矩阵
式（12）中 a 代表步长控制因子。 （10）
QGi 0 − QLi（1+ − λ kQLi） 0 U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) = 0
j∈i
3.2 连续潮流法中负荷增长节点的确定
含参数潮流方程（10）可写为 H ( x, λ ) = 0 ，两边 取全微分可得
Assessment of Critical Load Capacity in Power System Based On Continuation Power Flow
Wang Chao, Chu Xiaodong, Zhang Wen
Key Laboratory of Power System Intelligent Dispatch and Control of Ministry of Education (Shandong University) Email: wangchaowant@
PLi 0 PG new 。
（5）
根据隐函数求导法则有
∂λmin ∂λmin = ∑ j =1 ∂xi ∂y j ∂xi
n+m−2
3.1.1 预估及校正
∂y j
（6）
写成矩阵形式
∂λmin ∂λ = [ J r ]T [ min ] ∂X ∂ys
（7）
因此得到最小特征值对系统功率注入的灵敏度
∂λmin ∂λ = [ J r−1 ]T [ min ] ∂Ys ∂X
（11）
QGi 0 − QLi 0 − U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) = 0
j∈i
（9）
这样在初始点处选择 λ 作为连续参数，而在接近临界 点时，某个电压分量变化很快，适合作为连续参数。 步长的确定对于连续潮流计算具有重要意义。步 长过大则计算结果不够准确甚至潮流不能收敛；过小 又会浪费计算时间。本文采用步长控制方式为[11-12]：
kQLi 取值为 1。
式（4）转置右乘 U 并带入式（2）得到系统稳定 裕度 λmin 对状态变量 X 的灵敏度为
∂λmin = ∂xi
VT
∂J r U ∂xi V TU
发电机有功出力按照比例增长。发电机节点 l 增 加的出力为 其中 PG new 为前一时段 （ λ * PLi 0） PGl 0 PG new 。 发电机的有功出力之和（不包括平衡机）， PGl 0 代表 前一时段发电机 l 的有功出力，此时 kGl 可以取为
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