导数在不等式中 应用

导数在不等式中的应用

【例1－1】已知函数f(x)＝1－ln x

x

，g(x)＝

a e

e x

＋

1

x

－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一

个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直.

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2

x .

角度2 适当放缩构造函数证明不等式

【例1－2】已知函数f(x)＝a e x－ln x－1.

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥1

e

时，f(x)≥0.

【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝ln x.

①求函数g(x)＝f(x－1)－x＋2的最大值；

②已知02a（b－a）

a2＋b2

.

(2)(角度2)已知函数f(x)＝ln x－a ln x x2

.

①若a＝1，求f(x)的单调区间；

②若a＝0，x∈(0，1)，证明：x2－1

x

<

f（x）

e x

.

考点二隔离分析最值法证明不等式

【例2】已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)≤e x－2e x.

【训练2】已知函数f(x)＝x ln x－ax，G(x)＝

x

e x＋1

－

2

e2

(x>0).

(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；

(2)求函数G(x)的最大值；

(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>

1

e x＋1

－

2

e2x

成立.

考点三不等式恒成立或有解问题

角度1 不等式恒成立求参数

【例3－1】已知函数f(x)＝a ln x－x＋1(其中a>0).

(1)讨论函数f(x)的极值；

(2)对任意x>0，f(x)≤1

2

(a2－1)成立，求实数a的取值范围.

【训练3】已知函数f(x)＝ax e x－(a＋1)(2x－1).

(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 角度2 不等式能成立或有解求参数的取值(范围)

【例3－2】已知函数f(x)＝ax－e x(a∈R)，g(x)＝ln x x

.

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x

成立，求a 的取值范围.

规律方法 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 (1)a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ； (2)a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max . 2.含全称、存在量词不等式能成立问题

(1)存在x 1∈A ，任意x 2∈B 使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )max ≥g (x )max ；(2)任意x 1∈A ，存在

x 2∈B ，使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )min ≥g (x )min .

【训练4】 已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭

⎫x －1x －2ln x (m ∈R)，g (x )＝－m

x

，若至少存在一个x 0∈[1，e]，

使得f (x 0)

逻辑推理——两个经典不等式的活用

逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程. (1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立. (2)指数形式：e x

≥x ＋1(x ∈R)，当且仅当x ＝0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：e x

>x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1). 【例1】 (1)已知函数f (x )＝

1

ln （x ＋1）－x

，则y ＝f (x )的图象大致为( )

(2)已知函数f (x )＝e x

，x ∈R.证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.

【例2】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；

(2)证明：对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋1

2n

【例3】 已知函数f (x )＝ax －ln x －1. (1)若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值； (2)证明：

e

－x

x

＋x ＋ln x －1≥0.

强化训练

一、选择题

1.函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x )，若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(1，2) D.(1，3)

2.已知函数f (x )＝a

x

－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( ) A.a >2 B.a <3 C.a ≤1 D.a ≥3

3.已知a ∈R，设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

＋a ，0≤x ≤1，x －a ln x ，x >1，若关于x 的不等式f (x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒

成立，则a 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[0，2] C.[0，e] D.[1，e]

二、填空题

4.若对任意a ，b 满足0

5.函数f (x )＝x －2sin x ，对任意的x 1，x 2∈[0，π]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤M ，则M 的最小值为________.

三、解答题