上海交通大学2008-2中-高数试卷(180)答案

2008级《高等数学》第二学期期中考试参考答案(180学时)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 一质点的运动轨迹为曲线:31,14sin ,cos C x t y t z t =-+=+= (位移单位:m)，

其中t 为时间变量（单位:s ），则质点在点(1,1,1)处的速度大小为（单位:m/s ）： (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【 A 】

2. 函数3(,)f x y xy =在椭圆22:234S x y +≤上的最大值为 【 B 】

(A) 1

(B) 2

(C) 12 (D) 2 3. 设222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩

，则函数(,)f x y 在(0,0)沿方向(1,2)l = 的方向导数(0,0)|f l ∂=∂ 【 C 】

(A) 0 (B) 25

(C) (D) 不存在 4. 设(,)f x y 连续，且221

(,)2(,)x y D f x y xe f x y dxdy π+=++⎰⎰，其中D 是由曲线

y =0y =围成的平面闭区域，则(,)D

f x y dxdy =⎰⎰ 【 B 】

(A) π (B) 2π (C)

12π (D) 0

5. 10z z dz dy -=⎰⎰ 【 D 】

(A) π (B)

12π (C) 13π (D) 16

π 二、填空题（每小题3分，共15分）

6． 设 cos cos 1sin sin x y y x z x y

-=++，则全微分(0,0)|dz =dx dy - 7

．设函数ln u =在点(,,)x y z 处的梯度u ∇满足条件： 1||2

u ∇=，则点(,,)x y z 满足条件：222()()()4x a y b z c -+-+-= 8．曲线22212122330

x y z x y z ⎧+-=⎪⎨⎪+-+=⎩ 在点(1,1,2)处的切线方程为： 2102330x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩

或 112210x y z ---==-.

9. 交换积分次序：2201cos (,)d f r dr π

θθθ+=⎰⎰221arccos(1)(,)r dr f r d π

θθ-⎰⎰. 10. 设区域2222{(,,)|}x y z x y z R Ω=++≤，则22[(43)25]x y z dV Ω

--=⎰⎰⎰ 0 .

三、计算各题（每小题8分，共16分）

11. 设(,)f x y 在(0,0)点可微，且(0,0)f =,(0,0)1x f =,(0,0)2y f =，求极限

10lim[1(,2)]x x f x x →+ 5

e = 12. 已知210z x y ze +--=，ln(1)0x xe t -+=，cos y t =，求z x ∂∂，z y ∂∂，0|t dz dt =. 1x z z z e ze

=+，2y z z y z e ze =+，dz dt 11[2sin ]()(1)z z x x y t e ze e xe t =-+++，0|1t dz dt == 四、计算下列重积分（13，14题每题8分，15题10分，共26分）

13. 计算D

I xydxdy =⎰⎰，其中221{(,)|1,,0}3D x y x y y x x =+≤≥≥. 332= 14. 设空间立体Ω由抛物线214(12)0

y z y x ⎧=+≤≤⎨=⎩绕y 轴旋转而成的旋转曲面围成，求三重积分()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰. 524

π=

15. 计算|I z dxdydz Ω

=⎰⎰⎰，其中2222{(,,)|,0}x y z x y z R z Ω=++≤≥.

414

R π= 五、应用题（每小题10分，共20分）

16. 求上半球面z =22222()x y x y +=-所截下部分的面积.

1)π=-

17. 设一长方体内接于椭圆锥体222{(,,)|2(1),01}x y z x y z z Ω=+≤-≤≤，且长方体的三对侧面都

平行于不同的坐标面，求此长方体体积的最大值.max 27V =

六、证明题（本题8分）

18. 设二元函数(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,0)(0,1)f f =，证明：等式0f f x

y y x

∂∂-=∂∂至少在单位圆上某两点1122(,),(,)x y x y 处成立.

证 单位圆参数方程：cos ,sin x t y t ==， 在单位圆上，(,)(cos ,sin )()f x y f t t t ϕ==， ()sin (cos ,sin )cos (cos ,sin )x y t tf t t tf t t ϕ'=-+，(1)C ϕ∈， 由条件知：(0)()(2)2

πϕϕϕπ==，故 12(0,),(,2)22

t t πππ∃∈∈，使得12()()0t t ϕϕ''==，即 令1111(,)(cos ,sin )x y t t =，2222(,)(cos ,sin )x y t t =，则有 2222(,),(,)[(,)(,)]|0x y x y x y yf x y xf x y -+=