1.8 共轴理想光具组的基点和基面

1 1 1 s ' p' s p f '

O1
( s p)
H

H ' O2
s ' p '


f 是厚透镜的像方焦距。（见姚启钧书第四版P157附录3.4）
f1 ' f 2 或 f ' n( f1 ' f 2 )
1 1 (n 1) 1 (n 1) f' r1 r2 nr1r2
f1 ' d f 'd p f1 ' f 2 d f2 f2d f 'd p' f1 ' f 2 d f1 '
f从H量起
p从H1量起
p从H2量起
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d
H1 H 1 '
F1 '

F2


H 2 H2 '
如图
d f1 ' f 2
s
f
p' F ' P ' H ' O2
f'
s'
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在近轴条件下，通过F和F 垂直于主轴的平面分别称为 物方焦平面和像方焦平面。
F

O1
f
H

F' H ' O2 f'
通过H和H 垂直于主轴的平面分别称为物方主平面和像方主 平面。
物方焦距、物距从物方主点量起；像方焦距、像距从像方 主点量起。 这样高斯公式和牛顿公式对厚透镜同样成立。
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则空气中的厚透镜物象公式的高斯形式即为：
二、厚透镜的基点和基面
从上面可以看出，厚透镜的物象公式与薄透镜形式上完全相 同。但这里要注意，厚透镜的物距s不是从顶点O1 量起，而是从 H点量起；像距s也不是从顶点O2量起，而是从H量起。
H和H分别称为物方主点和像方主点。
一束平行于主轴的入射光， PF p 通过光具组所成的像，即为像 O1 H 方焦点F 。 从物方焦点F发出的光，通过 光具组后，将称为平行光。
可得
f1 ' 0
f2 0
O1
H
H'
O2
一般情况下
f ' 0
p0
p' 0
p p'
同样方法可得： 对于r2＝的平凸透镜可得： p 0
O1
H
H'
p'

n
O2
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对于r1＝的平凹透镜可得：
O2
n 其它情况，两个主平面有可能都在透镜左侧，也 有可能都在透镜右侧，还有可能一再内部另一个 在外部。主要视具体情况来分析。
形成了点与点、直线与直线、以及平面与平面共轭的 纯几何理论。
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在高斯理论中，除 光线仍旧限于近轴外， 不要求光具组是“薄” 的。
F

O1
f
H

F' H ' O2 f'
只需建立一系列的基点和基面，利用这些基点和 基面就可以描述光具组的基本光学特性。 而不用去研究光具组光线的实际路径，从而使问 题大大简化，最重要的基点和基面是： 焦点、主点、节点； 焦平面和主平面
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厚透镜是由两个单球面组合而成的简单光具组。 如果知道单个球面的基点，从这些已知的基点就能 求得整个光具组的基点的位置。
同样，对于多个共轴光具组复合而成的情况，可以 先把两个相邻的光具组合并为一个光具组，求出基点， 然后再和下一个简单光具组合并，求其基点，直到最 后一个光具组为止。
第1章 几何光学的基本原理
（Principles of Geometrical Optics ） §1.8 共轴理想光具组的基点和基面
Basing-Point and Basal Plane of Perfect Optical System
共轴球面系统：由球心在同一条直线上的多个 折射球面、反射球面所组成的光学系统，也成为 光具组。
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H

H'


F
K
K'
F'
由几何关系可以证明：
HK H ' K ' f ' f
上式说明：两节点到相应主点的距离相等。若物方和 像方空间的介质相同，即n＝n 则f ＝－f，此时H和 K重合，H 和 K 重合。
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例题 惠更斯目镜是一种常用的目镜，它有两个薄平凸透 镜L1和L2组成。f1＝3a， f2＝a，d＝2a，求惠更斯目 镜的基点。当物在L1前a处时，求像的位置。
d 2a
解：（1）如图 两透镜的光学 间隔为：
H1

F2
H1 '


F2 '

F1 ' F2 2a
f1 ' 3a
F1 '
d 2a
由
1 1 1 d f ' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '
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可得 由
3 f ' a 2
f1 ' d p
1 1 1 s' s f'
即 可得：
1 1 1 3 s ' 4a 2 a
s' 2.4a
如图
像在L2后面1.4a 处。
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四、理想光具组的作图法求像 轴外物点成像的三条特征光线：
（1）平行于主轴的入射光线，交物方主平面上一点M1， 出射光线必通过像方焦点，且从像方主平面与物方主 平面上M1点等高共轭点M1的位置出射。
一般情况下 可得
1 1 (n 1) 1 (n 1) f' nr1r2 r1 r2
f ' 0
p' 0
p
p p'
f '
f2
O1
p'
H
H'
f '
f1 '
O2
p0
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对于对称的双凹透镜：
r1 r2
f1 ' f 2
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ss ' f ' s s'
s也必须等于零。
1 1 1 s' s f'
当s＝0时，
说明位于物方主点H的一个物点，必成像于像方主 点H处，两个主点是共轭的。
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如果物点是在物方主平面上，则 x＝－f，
由牛顿公式可得：
x' f '
x' f 1 此时 f' x 即物方主平面和像方主平面是横向放大率为＋1的 共轭点的集合。
f1 ' f1 f2 ' f2
在空气中
则空气中两个光具组的组合有：
f1 ' f 2 ' f '
f1 f 2 f
f1 ' d p
f2 ' d p'
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f1 ' f 2 复合光具组的焦距公式还可以写成： f ' f1 ' f 2 d
或用I的像方主点H1和Ⅱ的物方主点H2 之间距d（称 为两个系统的之间距）来表示它们的相对位置。
d
H1 H 1 '
F1 '

F2


H 2 H2 '
各光具组涉及到的距离都遵照符号法则。
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用厚透镜类似的方法，可得出：
f1 ' f 2 f ' f1 ' f 2 d
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可求得：
P

p

p p'
f ' (n 1)
nr2
f '
f2 f1 '
O1
( s p)
H

H ' O2
s ' p '

p'
P'

f ' (n 1)
nr1
f '
若令：
ssp
s' s ' p'
1 1 1 s' s f'
1 1 1 d f ' f1 ' f 2 f1 ' f 2
f2 ' f2
在空气中
则有
1 1 1 d f ' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '
若两个光具组互相接触d＝0，则有
1 1 1 f ' f1 ' f 2 '
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四、基点和基面的性质 1. 主点和主平面的性质 由理想光具组成像的高斯公式： 可得：
因此，两个光具组合并是最基本的。在此只讨论两 个相邻单光具组合并成一个时，如何求出其焦点和主 点的位置。
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一、空气中厚透镜物象公式的高斯形式
n

P
s O1
O2 s 'P '

P '1
s'1
如图，厚透镜的厚度为，P和P分别为物点和像点。 在近轴条件下，厚透镜的物象关系可以通过对曲率半径 为r1和r2的两个折射球面逐次成像求得。 设
PO1 s
对折射球面O1，
O2 P' s ' n 1 n 1 s1 ' s r1
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对折射球面O2，
P

n
s
O1
P'
O2

1 n 1 n s ' s1 ' r2
第
s'1
( s )
nr1 f1 ' n 1
主光轴：球面中心所在的直线。
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用逐个球面成像法可以解决任意多个球面的成像。 但采用这个方法解决由多个球面成像问题时，不仅计 算工作量大，而且实际遇到的光学系统中各球面间的 相对位置往往并不完全知道。 在这种情况下，可以把共轴系统当作一个整体来处 理。设法找到它的基本特征点。如焦点、主点等。可 以不考虑光在该系统内部的实际路径，利用这些特征 点来确定像的大小和位置。
O1
O2 H
p

O1
H
H'
p' 0
H'
H
H'
对于薄透镜，p＝p ＝0，因为 ＝0 即薄透镜的两个主平面通过透镜中心，透镜的焦 距、物距、像距等从透镜的光心量起。
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三、复合光具组的基点和基面 一个复杂的光学系统往往是由若干简单系统组合而 成，如果已知两个子系统的主点和焦点，如何确定由 它们组合而成的系统的主点和焦点呢？
P

M1
M1 '

H
H'


F
K
K'
F'
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P

M1
M1 '

H
H'


F
M2
K
M2 '
K'
F'
P'
(2)通过物方焦点F的入射光线，交物方主平面上M2点， 出射光线必通过像方主平面上的等高点M2，且与主轴 平行。
（3）通过物方节点K的入射光线，出射光线必通过像方 节点K ，且与入射光线平行。 注意：所有与物方主平面相交的入射光线，其出射光 线均从像方主平面等高点射出。
第二个折射 ( s ' ) 球面的物方焦 nr2 f2 距为：
则有
n 1

n 1 n s1 ' s f1 ' 1 n n s ' s1 ' f2
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消去上式中的s1，并把测量物距和像距的参考原点 从原来的O1和O2分别移动了p和p后到H和H点处，如 图，则有： p p' P' P
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德国数学家高斯（Gauss, 1777－1855）于1841 年提出了光具组的一般理论： 理想光具组可以保持光束单心性 以及像和物在几何上的相似。 在理想光具组里，物方的任意 点都和像方的一点共轭，对应于 物方的每一条直线或每一个平面， 在像方都有一条共轭直线或一个 共轭平面。
说明入射到物方主平面上某一点M的任何一条光线， 必将从像方主平面上对应的等高点M点射出光具组。
1
光轴
M
H
M
H
2
F
2
F
1
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由此可以得出：光具组的两主平面是共轭平面， 面上任一一对共轭点到主轴的距离相等。 2. 节点的性质
定义：在主轴上角放大率等于＋1的一对共轭点 分别称为物方节点K 和像方节点K。 或者说：通过（或延长线通过）物方节点的光线， 出射光线必通过（或延长线通过）像方节点，且出射 光线和主轴的夹角与入射光线和主轴的夹角相等。如 图
即
f' f 1 s' s
xx' ff '
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关于p，p，x，x ，s，s ，f，f 各量的正负仍然参 考前面规定的符号法则进行。 对于对称的双凸透镜： nr1 r2 r1 f1 ' 0 n 1
nr2 f2 0 n 1
f1 ' f 2
下面以两个厚透镜组合的复杂光具组为例，来说明 已知两个单光具组如何求复合光具组的主点和焦点。
设两个共轴单光具组I和Ⅱ的主点分别为H1、H1 和 H2、H2，焦距分别为f1、f1 和f2、f2 。
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用I的像方焦点F1和Ⅱ的物方焦点F2 之间距（称 为两个系统的光学间隔）来表示它们的相对位置。
3 f a 2
f2 ' d p'
可得
p 3a
p' a
d 2a
H1

因此，物方和像方焦点和主点的位置如图：
F2 '
返回
H H1 ' F F ' F1 ' f1 ' 3a

H 'F2
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（2）当物在L1前a处时，如图 对于物点P有： s＝－4a 由高斯公式：