微积分(赵树嫄)第一章函数

R={x|x为实数}
函数-集合
子集 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
如果A B且或AB，则称A与B相等。
1. AA即集合A是其自己的子集。 2. 传递性 AB、B C 则A C。 3. A，即空集是任何集合A的子集。
集合的交：A B={x|x A 且x B}
集合的差：A-B={x|x A 且x B}
函数-集合
区 在一条直线上指定了一点作为原点O，再指 间 定了正向，此外又规定了单位长度，这条直 线就称为数轴。
数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的 关系。有时为了形象化起见，把数 x 称为点 x ， 就是指数轴上与数x对应的那个点。
链接目录
第一章 函数 第二章 极限与连续
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
第一章 函数
• • • • • • 集合 函数概念 函数的几种特性 反函数 复合函数 初等函数
logic
理性 思维
（应用）
关于学习数学的要求
搞清概念，侧重思路 适当做题，掌握基本 广泛联想，多方应用
（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
• 一元函数微分 • 一元函数积分 • 多元函数
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算 微分学应用
不定积分 定积分概念与计算 积分学应用 偏导数 重积分
2. 彩电、电冰箱、VCD。
3. x2-5x+6=0的根。
4. 全体偶数。
集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个 集合是确定的，是或不是二者必居其一。 由有限个元素构成的集合，称为有限集合。
由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；
函数-集合
集合的表示法 1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素 , 并 用{}括起来。
• 简单微分方程
交作业时间： 星期一
微积分
dx rx dt
微积分
在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨 论简单的量的关系，尤其只讨论常量和固定图 形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔 后法国数学家笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)把 变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在 数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而 开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。 这主要归功于英国数学家牛顿(I.Newton 16431727)和法国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今后要学习的课程。
a- δ a a+ δ x
例： U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3 } =( 1,2)U(2,3)
1 δ=1 2 δ=1 3 x
函数-函数概念
定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空 数集，若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则f 总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数
O
(-∞ ,b]={x|x≤b}
O
a
x
b
x x
(a, +∞)={x|a<x}
O a
(-∞ ,b)={x|x<b} x 实数集 Ｒ＝(-∞ ,+∞)={x | - ∞ <x<+ ∞}
b O
函数-集合
邻 域
Ｕ(a,δ)={x| |x-a|< δ}={x|a-δ<x<a+}=(a-δ,a+δ) 称为点 a 的 δ 邻域。a 称为邻域的中心，δ 称
O -1 0 1
x
函数-集合
有 限 区 间 闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}
O
Байду номын сангаас
a
O
b
x
开区间：(a,b)={x|a<x<b} x 左闭右开区间：[a,b)={x|a≤x<b}
a
b
O a
b
x
左开右闭区间：(a,b]={x|a<x≤b}
O
a
b
x
函数-集合
无 限 区 间 [a, + ∞)={x|a≤x}
记作
因变量
yf(x )
自变量
当 x D 时 , 称 f ( x ) 为函数在点 x 处的函 . 0 0 0
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为： A={2,3} 注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。
函数-集合
2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A 为满足P(a)的一切a构成的集合，记为： A={a|P(a)} 例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为： A={x|x2-5x+6=0} 例：全体实数组成的集合通常记作R，即：
函数-集合
全集与空集
所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。
不含任何元素的集合称为空集，记为： 。 例1：x2+1=0实数根集合为空集。
例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。
注： {0} 及 {} 都不是空集，前者有元素 0 ，后者 有元素。
函数-集合
集合的运算 集合的并：AB={x|x A 或x B}
为邻域的半径。
a- δ a a+ δ
x
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1 1 2 δ=1 3 x
函数-集合
空 心 邻 域
Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ} =(a- δ, a)U(a , a+ δ) 称为点a的δ空心邻域。
引言
（一）上大学学什麽？ • 珍惜时光 • 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围同学 尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题 注重持续性学习： 有计划地安排学习
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性
演绎性 广泛性
（研究对象） （论证方法） 结论 假设
函数-集合
集 合 定 义 集合是指具有特定性质的一些事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示 元素. a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).
函数-集合
例子 1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。