应用偏微分方程模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
∞ ������(������, ������)������������ 0
5
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
天增岁月人增寿
若不考虑死亡,时间的增量=年龄的增量 则在时刻 ������ + ∆������ ,年龄在[������, ������ + ∆������]中的人口数量
������(������, ������)~人口在时刻������ 按年龄������ 的分布密度
时刻������ ,年龄段 [������, ������ + ������������]中的人口数为
������(������, ������)������������
时刻������ 的人口总数为������ ������ =
偏微分方程是纯数学和应用数学的核心,通常
出现在因变量作为空间和时间为自变量的连续 变化的函数的模型中。
偏微分方程最引人注目的特点是普适性,可以
从物理科学、工程科学、生命科学甚至金融科 学领域中找每一个数学概念的来源。这种应用 性随着现代科学计算技术的发展而日益而增长。
2
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
∞
������ = 0: ������ 0, ������ =
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������ , ������ ≥ 0
其中������(������, ������)为迁移率。
利用特征线法结合积分变换法,可以得出模 型(2)及模型(3)的解。
∞
������ ������ ������ ������, ������ ������������ ������������
0
8
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
另一方面,在时间段[������, ������ + ������������]内出生的婴儿 总数应等于时刻 ������ + ������������ 在年龄区间[0, ������������]中的人 数������ 0, ������ + ������������ ������������ ,即
����ห้องสมุดไป่ตู้�
 ������ ������ ������, ������ ������������ ,
其中记 Β ������ = ������ ������
10
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
模型(2)往模型(������)的转化
作变换������ ������, ������ = ������(������, ������)������
7
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ (1) ������������ ������������
假设男女比例基本平衡,生育率为������(������),则 年龄段[������, ������ + ������������]的人生出婴儿数������ ������ ������ ������, ������ ������������ . 在时间段[������, ������ + ������������]内出生的婴儿总数为
������ ������ − ������������, ������ ������������ ∙ ������ ������ ������������
于是
������ ������ − ������������, ������ ������������ − ������ ������, ������ + ������������ ������������ = ������(������ − ������������, ������)������ ������ ������������������������
因此 ������(������, ������)应满足
������ ������, ������ + ∆������ − ������(������, ������) ������ ������ − ∆������, ������ − ������(������, ������) = ∆������ ∆������ 令 ∆������0,有
3
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling 4
人口发展模型
MALTHUS 模型与VERHULST(LOGISTIC) 模型 缺陷:每一个体都同等对待 人口的数量不仅和时间有关,还应和年龄有关,同时出 生率、死亡率等都应和年龄有关
适定性是现代偏微分方程分析的主要目的之一。粗略
地说,一个偏微分方程的定解问题是适定的,如果它 有解,唯一,且对输入数据的微小改变的响应也是很 小的。
前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三
个准则是实验观察的基础。
考虑适定性时还要注意实际问题通常得不到显示解,
因此数值解在应用中就尤其重要。偏微分方程的适定 性与科学计算的中心问题紧密相关:对一个给定一定 精度的问题,数值解的精度有多少。不但如此,必须 准备同时面对适定和不适定的问题。
∞
������ 0, ������ + ������������ =
0 ∞
������ ������ ������ ������, ������ ������������
令������������0,则得到边界条件
������ 0, ������ =
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������
但实际上必须考虑死亡的影响。设������(������)是单 位时间内年龄在[������, ������ + ������������]中的人口死亡概率, 则在时间段[������, ������ + ������������]内,从年龄在区间 [������ − ������������, ������]中的人口成长为年龄在区间[������, ������ + ������������] 中的人口的过程中死亡人数为
这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。
方程(1)对应的初始条件为������ ������, 0 = ������0 (������), 这里������0 (������)表示初始人口分布密度。 人口调查
要给出方程(1)所对应的边界条件 ������ 0, ������ , 就需要考虑人口的出生情况了。 控制手段
方程(1)与初始条件、边界条件一起便构成 了人口发展的偏微分方程模型:
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ , ������ > 0, ������ > 0 ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ , ������ ≥ 0 (������)
������������(������, ������) ������������(������, ������) + =0 ������������ ������������
6
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
������
������ 0 ������
������ ������������
������ > 0, ������ > 0 (∗)
������ ������ 0
������ ������������
,
������ ≥ 0 ������ ≥ 0
������ = 0: ������ 0, ������ =
同样,可建立带迁移的人口模型:
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ + ������(������, ������), ������ > 0, ������ > 0 ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ , ������ ≥ 0 (������)
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
带年龄结构的线性人口发展模型Foerster
考虑一个稳定社会的人口发展过程。 只考虑自
然出生与死亡,不计迁移。设人口数量和时间 ������ 和年龄������ 有关。若人口数量很大,假设按年龄 连续分布。
则模型(2)可化为
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =0, ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ ������
美国大学生數學建模競賽
应用偏微分方程
Applied Partial Differential Equations 重庆科技学院 李可人
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
什么是偏微分方程?
������(������, ������ + ∆������)∆������ ,应等于在时刻 ������,年龄在区间 [������ − ∆������, ������ + ∆������ − ∆������]中的人口数量������(������ − ∆������, ������)∆������ ,即 ������ ������, ������ + ∆������ = ������(������ − ∆������, ������)
∞
������ = 0: ������ 0, ������ =
9
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������ , ������ ≥ 0
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
即
������ ������ − ������������, ������ − ������ ������, ������ + ������������ = ������ ������ ������(������ − ������������, ������) ������������
有
������������(������, ������) ������������(������, ������) + =−������ ������ ������(������, ������) ������������ ������������
5
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
天增岁月人增寿
若不考虑死亡,时间的增量=年龄的增量 则在时刻 ������ + ∆������ ,年龄在[������, ������ + ∆������]中的人口数量
������(������, ������)~人口在时刻������ 按年龄������ 的分布密度
时刻������ ,年龄段 [������, ������ + ������������]中的人口数为
������(������, ������)������������
时刻������ 的人口总数为������ ������ =
偏微分方程是纯数学和应用数学的核心,通常
出现在因变量作为空间和时间为自变量的连续 变化的函数的模型中。
偏微分方程最引人注目的特点是普适性,可以
从物理科学、工程科学、生命科学甚至金融科 学领域中找每一个数学概念的来源。这种应用 性随着现代科学计算技术的发展而日益而增长。
2
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
∞
������ = 0: ������ 0, ������ =
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������ , ������ ≥ 0
其中������(������, ������)为迁移率。
利用特征线法结合积分变换法,可以得出模 型(2)及模型(3)的解。
∞
������ ������ ������ ������, ������ ������������ ������������
0
8
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
另一方面,在时间段[������, ������ + ������������]内出生的婴儿 总数应等于时刻 ������ + ������������ 在年龄区间[0, ������������]中的人 数������ 0, ������ + ������������ ������������ ,即
����ห้องสมุดไป่ตู้�
 ������ ������ ������, ������ ������������ ,
其中记 Β ������ = ������ ������
10
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
模型(2)往模型(������)的转化
作变换������ ������, ������ = ������(������, ������)������
7
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ (1) ������������ ������������
假设男女比例基本平衡,生育率为������(������),则 年龄段[������, ������ + ������������]的人生出婴儿数������ ������ ������ ������, ������ ������������ . 在时间段[������, ������ + ������������]内出生的婴儿总数为
������ ������ − ������������, ������ ������������ ∙ ������ ������ ������������
于是
������ ������ − ������������, ������ ������������ − ������ ������, ������ + ������������ ������������ = ������(������ − ������������, ������)������ ������ ������������������������
因此 ������(������, ������)应满足
������ ������, ������ + ∆������ − ������(������, ������) ������ ������ − ∆������, ������ − ������(������, ������) = ∆������ ∆������ 令 ∆������0,有
3
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling 4
人口发展模型
MALTHUS 模型与VERHULST(LOGISTIC) 模型 缺陷:每一个体都同等对待 人口的数量不仅和时间有关,还应和年龄有关,同时出 生率、死亡率等都应和年龄有关
适定性是现代偏微分方程分析的主要目的之一。粗略
地说,一个偏微分方程的定解问题是适定的,如果它 有解,唯一,且对输入数据的微小改变的响应也是很 小的。
前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三
个准则是实验观察的基础。
考虑适定性时还要注意实际问题通常得不到显示解,
因此数值解在应用中就尤其重要。偏微分方程的适定 性与科学计算的中心问题紧密相关:对一个给定一定 精度的问题,数值解的精度有多少。不但如此,必须 准备同时面对适定和不适定的问题。
∞
������ 0, ������ + ������������ =
0 ∞
������ ������ ������ ������, ������ ������������
令������������0,则得到边界条件
������ 0, ������ =
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������
但实际上必须考虑死亡的影响。设������(������)是单 位时间内年龄在[������, ������ + ������������]中的人口死亡概率, 则在时间段[������, ������ + ������������]内,从年龄在区间 [������ − ������������, ������]中的人口成长为年龄在区间[������, ������ + ������������] 中的人口的过程中死亡人数为
这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。
方程(1)对应的初始条件为������ ������, 0 = ������0 (������), 这里������0 (������)表示初始人口分布密度。 人口调查
要给出方程(1)所对应的边界条件 ������ 0, ������ , 就需要考虑人口的出生情况了。 控制手段
方程(1)与初始条件、边界条件一起便构成 了人口发展的偏微分方程模型:
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ , ������ > 0, ������ > 0 ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ , ������ ≥ 0 (������)
������������(������, ������) ������������(������, ������) + =0 ������������ ������������
6
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
������
������ 0 ������
������ ������������
������ > 0, ������ > 0 (∗)
������ ������ 0
������ ������������
,
������ ≥ 0 ������ ≥ 0
������ = 0: ������ 0, ������ =
同样,可建立带迁移的人口模型:
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =−������ ������ ������ ������, ������ + ������(������, ������), ������ > 0, ������ > 0 ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ , ������ ≥ 0 (������)
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
带年龄结构的线性人口发展模型Foerster
考虑一个稳定社会的人口发展过程。 只考虑自
然出生与死亡,不计迁移。设人口数量和时间 ������ 和年龄������ 有关。若人口数量很大,假设按年龄 连续分布。
则模型(2)可化为
������������(������, ������) ������������ ������, ������ + =0, ������������ ������������ ������ = 0: ������ ������, 0 = ������0 ������ ������
美国大学生數學建模競賽
应用偏微分方程
Applied Partial Differential Equations 重庆科技学院 李可人
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
什么是偏微分方程?
������(������, ������ + ∆������)∆������ ,应等于在时刻 ������,年龄在区间 [������ − ∆������, ������ + ∆������ − ∆������]中的人口数量������(������ − ∆������, ������)∆������ ,即 ������ ������, ������ + ∆������ = ������(������ − ∆������, ������)
∞
������ = 0: ������ 0, ������ =
9
0
������ ������ ������ ������, ������ ������������ , ������ ≥ 0
The Mathematical Contest in Modeling The Interdisciplinary Contest in Modeling
即
������ ������ − ������������, ������ − ������ ������, ������ + ������������ = ������ ������ ������(������ − ������������, ������) ������������
有
������������(������, ������) ������������(������, ������) + =−������ ������ ������(������, ������) ������������ ������������