2008年河北省高中数学竞赛试题及参考答案

2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案

（时间：5月18日上午8：30～11：30）

一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）

1．函数(2)y f x =+的图像过点（-1，3），则函数()f x 的图像关于y 轴对称的图形一定过点（ ）．

A (1,-3)

B (-1,3)

C (-3,-3)

D (-3,3) 答案：B.

2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．

A 4

B 6

C 8

D 16 答案：C.

解： 设222008x y -=，即()()2008x y x y +-=．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且()x y +与()x y -只能同为偶数，因此对应的方程组为

24502100424502100410045024

2100450242x y x y +=

----⎧⎨

-=----⎩ 故()x y ，共有8组不同的值：(503,501),(503,501),(503,501),(503,501)----；

(253,249),(253,249),(253,249),(253,249)----．

3．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）． A 01a << B 02,1a a <<≠ C 12a << D 2a ≥ 答案：C ．

解：当01a <<时，log a y x =是递减函数，由于21t x ax =-+没有最大值，所以

()2log 1a y x ax =-+没有最小值；当1a >时，()2log 1a y x ax =-+有最小值等价

于21t x ax =-+有大于0的最小值．这等价于240a ∆=-<，因此12a <<．

4．已知,1,=>ab b a 则b a b a -+2

2的最小值是（ ）．

A 22

B 2

C 2

D 1

答案：A.

解：记t b a =-，则0>t ，b a b a -+2

222222≥+=+=t t t t ，

（当且仅当

22

t a b ==

=

即时取等号）．故选A ． 5．已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．

A []11-，

B []2-，2

C 0⎡⎣

D ⎡⎣

答案：D ．

解：设sin sin x y t -=，易得21

cos cos sin sin 2

t x y x y --=，即()21

c

o s 2

t x y -+=．由

于()1cos 1x y -≤+≤，所以21

112

t --≤≤，解得 t ≤≤ 6．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且

[()]3f f n n =，则(1)f 的值等于（ ）．

A 1

B 2

C 3

D 4 答案：B

解：（用排除法）令1n =，则得[(1)]3f f =． 若(1)1f =，则[(1)](1)3f f f ==，与(1)1f =矛盾；

若(1)3f =，则[(1)](3)3f f f ==，与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾； 若(1)4f =，则[(1)](4)3f f f ==，也与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾． 故选B ．

二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）

7．设集合{}1215S = ，，，，{}123A a a a =，

，是S 的子集，且()123a a a ，，满足：123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的子集的个数为 ． 答案：371．

解：当229a ≤≤时，()12,a a 有29C 种选择方法，

3a 有6种选择方法，所以()123,,a a a 共有296216C ⨯=种选择方法；当21014a ≤≤时，一旦2a 取定，1a 有21a -种选择

方法，3a 有215a -种选择方法，所以选择()123,,a a a 的

方法有

()()214

2

210

11595104113122131155a a

a =--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑种．

综上，满足条件的子集共有371个．

8．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 答案：12-=n a n ．

解：由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ． 所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以

1+n a =n ，即有12-=n a n .

9．已知坐标平面上三点(

)(

))

0,3,0,0A B C

，P 是坐标平面上的点，

且PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 答案：()()04

12

2≤=-+y y x .

解：如图，作正三角形PCD ，由于ABC ∆也是正三角形，所以可证得 ACP ∆≌BCD ∆，所以BD AP =．

又因为BD PB PC PB PD =+=+，所以点D P B ,,共线．

CBP PAC ∠=∠，所以P 点在ABC ∆的外接圆上，又因为

,PA PB PA PC >>，所以所求的轨迹方程为

()()04

122≤=-+y y x ．

10． 在三棱锥ABC S -中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则

三棱锥ABC S -体积的最大值为 ．

答案：.

解：设SAB α∠=，根据余弦定理有2222224571

cos 22455

SA AB SB SA AB α+-+-=

≤≤-⨯⨯⨯⨯，

故sin α=≤

1sin 2SAB S SA AB α∆=⨯⨯≤

过它的侧棱长，所以1

3

C SAB SAB V S BC -∆≤⨯≤事实上，取7=SB ，6=BC 且