九年级数学学习周报答案

九年级数学学习周报答案

解答题

1. （2001上海市10分）如图，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；

（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

【答案】解：（1）令y=0，则有2x2－4x＋m=0，依题意有，△=16－8 m＞0，∴m＜2。

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m＞0.

因此实数m的取值范围为0＜m＜2。

（2）∵，∴C（1，m－2）。

令y=0，2x2－4x＋m =0，则（由（1）知）。

∴AB＝。

（3）在中令y=0，得x＝，∴E（，0）。

令x=0，得y＝1，∴F（0，1）。

∴OE= ，OF=1。

由（2）可得BD= ，CD=2－m。

当OE=BD时，，解得m =1。

此时OF=DC=1。

又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF（SAS）。∴两三角形有可能全等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。

【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△＞0，求解即可。

（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

（3）要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。

2. （2001上海市12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC ＝2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

【答案】解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC。∴∠A=∠D。

∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A。

∴∠ABP=∠DPC。∴△ABP∽△DPC。

∴，即：，解得：AP=1或AP=4。

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ，

∴，即：。

∴。

②当CE=1时，AP=2或。

【考点】动点型问题，二次函数综合题，等腰梯形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解高次方程。

【分析】（1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时△APB与△DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已有，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长。

（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ 了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式。

②和①的方法类似，先通过平行得出△PDQ和△CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可：

∵AD∥BC，∴△PDQ∽△CEQ。∴，即。

当点E在BC上时，

式中AD=5，EC=1，AP＝x，CQ＝，DQ= ，

∴,即，。

解得，适合条件的解为（和在之外）。

当点E在BC延长线上时，此时。

式中AD=5，EC=1，AP＝x，CQ＝，DQ= ，

∴,即，。

解得，或或，舍去在之外的和，

∴。

综上所述，当CE＝1时，AP的长为或。

3. （上海市2002年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。

设点P的坐标为（a，a＋2），其中a＞0。

由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，

解得a＝2或a＝－10（舍去）。

而当a＝2时，a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。

（2）设反比例函数的解析式为。

∵点P在反比例函数的图象上，∴，k＝6 。

∴反比例函数的解析式为。

设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝。

①当△RTB∽△AOC时，，即，

∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。

∴点R 的坐标为（3，2）。

②当△RTB∽△COA时，，即，

∴，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。

∴点R 的坐标为（1＋，）。

综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。

【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。

（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。

4.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图12 3

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）

【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND 和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）。

∴NP＝NC＝MB。

∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。

∴PQ＝PB。

（2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。

∴PT＝CB＝PN．

又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。

∴S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形

PTCN＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1

∴y＝x2－＋1（0≤x＜）。

（3）△PCQ可能成为等腰三角形。

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0。

②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）

此时，QN＝PM＝x，CP＝－x，CN＝CP＝1－x。

∴CQ＝QN－CN＝x－（1－x）＝x－1。

当－x＝x－1时，得x＝1。