向量的内积、长度及正交性

[x y]称为向量x与y的内积
说明
内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用
矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有
[x y]xTy
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•向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn
[x y]称为向量x与y的内积
•向量在规范正交基中的坐标
若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a 应能由e1 e2 er线性表示 并且
a[a e1]e1[a e2]e2 [a er]er
事实上 设a1e12e2 rer 则 eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
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例如 向量组
e1
1
2 1
2
0 0
e2
1
2 1
2
0 0
e3
0 0 1
2 1
2
0
0
1
e4
2 1
2
是R4的一个规范正交基
注 当||x||1时 称x为单位向量
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•规范正交基
设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 V的一个规范正交基
解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30
即a3应满足齐次线性方程组
11
1 2
11
x1 x2 x3
00
由
A 11
1 2
11
~r
01
1 3
01
~r
01
0 1
01
得基础解系(1 0 1)T 取a3(1 0 1)T即合所求
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•规范正交基
设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 V的一个规范正交基
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•施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明
要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
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•施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
111
再令
b3
a3
百度文库
[b1, [b1,
a3] b1]
b1
[b2, a] [b2, b2]
b2
041
1 3
211
5 3
111
2011
e1
||
b1 b1
||
1 6
211
e2
||
b2 b2
||
1 3
111
e3
||
b3 b3
||
1 2
011
e1 e2 e3即为所求
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例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3 两两正交
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
ar
[b1, [b1,
ar ] b1]
b1
[b2, [b2,
ar ] b2]
b2
[br1, ar] [br1, br1]
br
1
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar
等价
把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
向量的内积、长度及正交性
本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵 的相似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的 内积、长度及正交等知识 本节先介绍这些知识
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•向量的内积
设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn
•内积的性质
设x y z为n维向量 为实数 则
(1)[x y][y x]
(2)[x y][x y]
(3)[xy z][x z][y z] (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
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•向量的长度 令 || x|| [x, x] x12 x22 xn2
阵 简称正交阵 •正交矩阵的性质
(1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵 •正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换
设yPx为正交变换 则有
|| y|| yT y xT PT Px xT x || x|| 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变) 这是正交变换的优良特性
解 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 x1x2x30
它的基础解系为
1(1 0 1)T 2(0 1 1)T
把基础解系正交化 即得所求 亦即取
1
a2 101
a
2
2
[1, 2 [1, 1
] ]
1
011
1 2
011
1 2
211
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•正交阵
如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
•向量的长度的性质
设x y为n维向量 为实数 则
(1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0
(2)齐次性 ||x||||x||
(3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
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•向量间的夹角 当x0 y0时
arccos [x, y]
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|| x|||| y|| 称为n维向量x与y的夹角
当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
•定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量
则a1 a2 ar线性无关 >>>
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例1 已知3维向量空间R3中两个向量
a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
阵 简称正交阵
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单
位向量 且两两正交
n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规
范正交基
正交矩阵举例 P
1 2 1 2 1
1 2
1 2 1
1 2 1 2 0
1 2 1 2
0
2 2
0
0
1 2
1 2
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•正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩
e1
1 ||b1||
b1
e2
1 ||b2
||
b2
er
||
1 br
||
br
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例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化
解 令b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
311
4 6
211
5 3