2009-2016数值分析真题

α 0 ( x) + 2α1 ( x) + 15α 2 ( x) + 12β ( x) ，求插值条 (2) 若用构造基函数的方法求 H ( x) ，即 H ( x) =
件 H ′′( x) = 12 处对应的基函数 β ( x) . 三、(15 分) 已知带权求积公式
∫
1
0
1 1 dx ≈ A0 f ( ) + A1 f (1) . 5 x
3 x1 3 x 2 2 = 1 . 2 x3 3 9 x4 7
−12 5 x1 + 2 x2 + x3 = 20 − x1 + 4 x2 + 2 x3 = 2 x − 3 x + 10 x = 3 2 3 1
∫
k
−k
f ( x)dx ≈ A−1 f (−h) + A0 f (0) + A1 f (h) 中的待定参数，使该公式的代
数精度尽量的高，并指出该公式的代数精度是多少. 三、(15 分) 用矩阵 LU 分解法求解方程组
1 1 2 0 2 1 1 -1 2 2 2 5
四、(20 分) 已知线性方程组
−1 1 x1 6 4 −1 4.25 2.75 x = 2 −0.5 . 1 2.74 3.5 x3 1.25
四、(20 分) 已知线性方程组
7 9 x1 − x2 − x3 = 7 − x1 + 8 x2 + 0 x3 = − x + 0 x + 9 x = 8 2 3 1
(1) 试确定求积系数 A0 , A1 ，使求积公式有尽可能高的代数精度，并指出代数精度是多少； (2) 用该公式计算积分
∫
1
0
1 2 ( x + 1)dx ，误差是多少. x
四、(15 分) 用列主元素消去法解以下方程组 Ax = b ，并给出矩阵 A 的 LU 分解.
பைடு நூலகம்
4 −2 −4 x1 10 −2 17 10 x = 2 3 . −4 10 9 x3 −7
∫ 1+ x .
0
1
1
14 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 18 . 2 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 3 x + x + 5 x = 20 3 1 2
六、(20 分) 已知线性方程组
7.2 10 x1 − x2 − 2 x3 = 8.3 − x1 + 10 x2 − 2 x3 = − x − x + 5 x = 4.2 3 1 2
∫
1
0
f ( x)dx = A0 f (0) + A1 f (1) + Bf ′(0) .
(1) 试确定系数 A0 , A1 , B ，使求积公式有尽可能高的代数精度，并指出代数精度是多少；
= R kf ′′(ξ ), ξ ∈ (0,1) ，求常数 k 的值. (2) 已知该公式误差为
3、(10 分) 利用梯形公式、Simpson 公式分别计算 4、(15 分) 用平方根法求解方程组：
四川大学硕士研究生考试试题 A
（2009 — 2010 学年第一学期） 科 目：现代数学基础 任课教师：徐有才 适用专业年级：计算机学院 2009 级硕士研究生 学生人数： 一、(10 分) 用二次 Lagrange 插值多项式 L2 ( x) 计算 sin 0.34 ，插值节点和相应的函数值如下表：
(1) 写出解该方程组的 J 迭代公式、G-S 迭代公式； (2) 对应初始值 X (0) = (0, 0, 0)T ，应用 J 迭代公式、G-S 迭代公式分别计算 X (2) （小数点后保 留五位有效数字）. 七、(10 分) 证明： (1) 矩阵 A 的谱半径 S ( A) 与范数 A 有关系： S ( A) ≤ A ； (2) 若 n 阶矩阵 A 满足 A < 1 ，则矩阵 I − A 非奇异（其中 I 为 n 阶单位矩阵）.
2
∑A
k =0
2
K f ( xk ) ≈ ∫ f ( x )dx 是高斯型的，则其余项为 a
b
∫
b
a
f ( x)dx − ∑ AK f ( xk ) = .
k =0
二、(15 分) 已知函数 f ( x) 在 0，1，2 处的函数值分别是 1，2，15，且 f ′′(1) = 12 . (1) 利用 Newton 均差插值思想，求满足以上四个插值条件的插值多项式 H ( x) ；
−1
≥
1 ； A
注：答案中若出现小数，保留小数点后 4 位。
第 1 页 共1页
四川大学硕士研究生考试试题 B
科 目：现代数学基础 适用专业年级： （2010 — 2011 学年第一学期） 任课教师： 学生人数：
(20 分) 求满足插值条件 P 一、 −1, P2 (2) = −3, P3 (3) = 1, P3′ (3) = 9 的三次插值多项式 P3 ( x) ，并 1 (1) = 推导插值余项 f ( x) − P3 ( x) （假设 f ( x) 四阶连续可导）. 二、(15 分) 确定求积公式
−1
( k +1)
− X (k )
∞
< 10−3
≥
1 ； A
注：答案中若出现小数，保留小数点后 4 位。
第 1 页 共1页
四川大学硕士研究生考试试题 A
（2012 — 2013 学年第一学期） 科 目：现代数学基础 任课教师：徐有才 适用专业年级：计算机学院 2012 级硕士 学生人数： 1、(20 分) 已知函数 f ( x) 在 0，1，2，3 处的函数值分别是 1，3，9，27. (1) 求三次 Lagrange 插值多项式； (2) 求三次 Newton 插值多项式，并计算 f (1.5) 的近似值. 2、(15 分) 已知求积公式
f ( x) 五阶连续可导）.
三、(20 分) 试确定常数 A，B，C 和 α，使得数值求积公式
∫
2
−2
f ( x)dx ≈ Af (−α ) + Bf (0) + Cf (α )
有尽可能高的代数精度，所得数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ 四、(10 分) 写出数值积分梯形公式和 Simpson 公式，并用来分别计算积分 五、(15 分) 利用矩阵的 LU 分解法解方程组
(1) 判断用 J 方法、GS 方法求解该方程组是否收敛； (2) 若 J 方法、GS 方法中有收敛公式，选一公式求解；若这两种公式都不收敛，构造收敛迭代公
( k +1) − x ( k ) < 10−2 . 式求解，取初始向量 x (0) = (0, 0, 0)T ，满足 x
6、(10 分) 设 A，B 为 n 阶非奇异矩阵，|| ||表示矩阵的任一种范数，证明：
注：答案中若出现小数，保留小数点后 4 位。
第 1 页 共1页
四川大学硕士研究生考试试题 A
（2010 — 2011 学年第一学期） 科 目：现代数学基础 任课教师：徐有才 适用专业年级：计算机学院 2010 级硕士研究生 学生人数： 一、(20 分) 求满足插值条件 P2 (0) = 1, P2 (2) = −1, P2′ (1) = −1 的二次插值多项式 P2 ( x) ，并推导插值 余项
A−1 − B −1 ≤ A−1 ⋅ B −1 ⋅ A − B
x Bx + g 有唯一解 x* ，用迭代公式 x ( k +1) = Bx ( k ) + g , (k = 0,1, 2,) 求解： 7、(15 分) 线性方程组=
(1) 若谱半径 S ( B ) < 1 ，证明：对任意初始向量 x (0) ，该迭代公式都收敛； (2) 若谱半径 S ( B ) ≥ 1 ，但矩阵 B 有一特征值 λ ，其模 λ < 1 ，证明：存在初始向量 x (0) ，使该 迭代公式收敛.
∫
4
1
x −1 dx 的近似值. x+x
4 −2 −4 x1 10 −2 17 10 x = 2 3 . −4 10 9 x3 −7
5、(15 分) 已知线性方程组
−12 5 x1 + 2 x2 + x3 = 9 − x1 + 4 x2 + 2 x3 = 2 x − 3 x + 10 x = 1 2 3 1
∞
=
. ， f [1, 2,3, 4] = .
2、 f (= x) 3x 2 + 1 ，则均差 f [1, 2,3] =
3、若线性代数方程组的系数矩阵为 A，其 Jacobi 迭代矩阵为 B，若 B 1 < 1 ，则用 Guass-Seidel 迭代法求解该方程组是否收敛？ （是或否）.
4、设 f ( x) =x 5 + 2 x 4 + 3 x 3 + 4 ，求积公式
(1) 写出解该方程组的 J 迭代公式、G-S 迭代公式； (2) 对应初始值 X (0) = (0, 0, 0)T ， 应用 G-S 迭代公式求近似解 X ( k +1) ， 使 X （小数点后保留四位有效数字）. 五、(15 分) 简述 Gauss 型求积公式的定义，并证明：. (1) Gauss 型求积公式是具有最高代数精度的求积公式； (2) Gauss 型求积公式总是稳定的. 六、(15 分) 证明下列命题： (1) 设 A, B ∈ R n×n 且 为 R n×n 上矩阵的范数，则有 cond ( AB ) ≤ cond ( A)cond ( B ) ； (2) 矩阵 A ∈ R n×n 非奇异， 为 R n×n 上矩阵的范数，则有 A (3) 若矩阵 A 的谱半径 S ( A) < 1 ，矩阵 I + A 非奇异.
注：答案中若出现小数，保留小数点后 4 位。
第 1 页 共1页
四川大学硕士研究生考试试题 A
（2012 — 2013 学年第一学期） 科 目：现代数学基础 任课教师：胡兵、罗鲲、徐有才 适用专业年级：2012 级理工科硕士 学生人数： 一、填空题（10 分，每空 2 分） 1、向量 = X (2,3, −4)T ，则 X
五、(20 分) 已知线性方程组
1 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 3 x1 + x2 + x3 = 2 x + 2 x + x = 5 2 3 1
(1) 判断用 J 方法、GS 方法求解该方程组是否收敛； (2) 若 J 方法、GS 方法中有收敛公式，用一收敛公式求解；若两种公式都不收敛，构造收敛迭
二、(15 分) 已知函数 y = f ( x) 满足如下条件：
′ (0) 0, P4 ′ (1) 1 的四次插值多项式 P4 ( x) ； (1) 求满足插值条件 P4= = = ( xi ) y 0,1, 2), P4= i ( xi
(2) 推导插值余项 f ( x) − P4 ( x) （假设
(1) 写出解该方程组的 J 迭代公式、G-S 迭代公式； (2) 对应初始值 X (0)
( k +1) − X (k ) 应用 G-S 迭代公式求近似解 X ( k +1) ， 使 X = (0, 0, 0)T ， ∞
< 10−3
（小数点后保留四位有效数字）. 五、(15 分) 简述 Gauss 型求积公式的定义，并证明：. (1) Gauss 型求积公式是具有最高代数精度的求积公式； (2) Gauss 型求积公式总是稳定的. 六、(15 分) 证明下列命题： (1) 设 A, B ∈ R n×n 且 为 R n×n 上矩阵的范数，则有 cond ( AB ) ≤ cond ( A)cond ( B ) ； (2) 矩阵 A ∈ R n×n 非奇异， 为 R n×n 上矩阵的范数，则有 A (3) 若矩阵 A 的谱半径 S ( A) < 1 ，矩阵 I + A 非奇异.
f ( x) − P2 ( x) （假设 f ( x) 三阶连续可导）.
二、(15 分) 确定求积公式
∫
h
0
f ( x)dx=
h [ f (0) + f (h)] + α h 2 [ f ′(0) − f ′(h)] 中的待定参数 α，使该 2
公式的代数精度尽量的高，并指出该公式的代数精度是多少. 三、(15 分) 用平方根法求解方程组