2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个手机APP 图标中，可看作轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）下列命题中，属于真命题的是( ) A ．两个锐角之和为钝角 B ．同位角相等
C ．钝角大于它的补角
D ．相等的两个角是对顶角
3．（3分）点(2,3)P -所在的象限为( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．（3分）为了说明“若a b ，则ac bc ”是假命题，c 的值可以取( ) A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．（3分）等腰ABC ∆中，AB AC =，A ∠的平分线交BC 于点D ，有下列结论：①AD BC ⊥；②BD DC =；③B C ∠=∠；④BAD CAD ∠=∠，其中正确的结论个数是( ) A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
6．（3分）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图，则下列式子中正确的是( )
A ．a c b c ->-
B ．ac bc >
C ．a c b c +<+
D ．
a c
b b
< 7．（3分）如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定(ABE ACD ∆≅∆ )
A ．
B
C ∠=∠
B ．AD AE =
C ．B
D C
E =
D ．B
E CD =
8．（3分）已知AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，4AB =，6AC =，则AD 的取值范围是(
)
A ．210AD <<
B ．15AD <<
C ．46A
D << D ．46AD
9．（3分）若关于x 的不等式0
721x m x -<⎧⎨-⎩
的整数解共有4个，则m 的取值范围是( )
A ．67m <<
B ．67m <
C ．67m
D ．67m <
10．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 12．（3分）函数1
1
y x =
-中，自变量x 的取值范围是 ． 13．（3分）若实数5x <，则x 可取的最大整数是 ．
14．（3分）等腰三角形的一个外角度数为100︒，则顶角度数为 ．
15．（3分）如图，D 为ABC ∆外一点，BD AD ⊥，BD 平分ABC ∆的一个外角，C CAD ∠=∠，若5AB =，3BC =，则BD 的长为 ．
16．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BAC ∠的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点
F ，P 为CE 中点，连结PF ，若2CP =，15BFP S ∆=，则AB 的长度为 ．
三、解答题（17题-19题每题6分，20题-22题每题8分，23题10分，共52分） 17．（6分）解不等式（组) （1）
123
x x
->； （2）2731205
x x x +>-⎧⎪
-⎨⎪⎩．
18．（6分）如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： （1）在图①中画出2个以AB 为腰且底边不等的等腰ABC ∆，要求顶点C 是格点； （2）在图②中画出1个以AB 为底边的等腰ABC ∆，要求顶点C 是格点．
19．（6分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表（漏出的水量精确到1毫升），已知用于接水的量筒最大容量为100毫升．
时间t （秒) 10 20 30 40 50 60 70 量筒内水量v （毫升）
4
6
8
10
12
14
16
（1）在图1的平面直角坐标系中，以(,)t v 为坐标描出上表中数据对应的点； （2）用光滑的曲线连接各点，你猜测V 与t 的函数关系式是 ． （3）解决问题：
①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升；
②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是 秒； ③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m
=-+过点(5,2)
A-且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画//
AD x轴，交y轴于点D．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP CP
+最小，求点P的坐标．
21．（8分）如图，点C为线段BD上一点，ABC
∆、CDE
∆都是等边三角形．AD与CE交于点F，BE与AC相交于点G．
（1）求证：ACD BCE
∆≅∆；
（2）若8
CF CG
+=，18
BD=，求ACD
∆的面积．
22．（8分）某校八年级举行数学趣味竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A
笔记本的数量要少于B笔记本数量的3
4
，但又不少于B笔记本数量的
1
4
．
（1）求A笔记本数量的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省？最省费用是多少元？
23．（10分）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，ABC
∆是倍角三角形；
∠=︒，求证：ABC
=，36
∆中，AB AC
A
（2）若ABC
∆面积；
∠=︒，42
∆是倍角三角形，A B C
B
∠>∠>∠，30
AC=，求ABC
（3）如图2，ABC
∆的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得+=，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
AE AB
=，若AB AC BD
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个手机APP图标中，可看作轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2．（3分）下列命题中，属于真命题的是()
A．两个锐角之和为钝角B．同位角相等
C．钝角大于它的补角D．相等的两个角是对顶角
【解答】解：A、两个锐角之和可能为锐角或直角或钝角，所以A选项为假命题；
B、两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题；
C、钝角的补角为锐角，所以钝角大于它的补角，所以C选项为真命题；
D、相等的两个角不一定为对顶角，所以D选项为假命题．
故选：C．
P-所在的象限为()
3．（3分）点(2,3)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：点P的横坐标为正，纵坐标为负，
P-所在象限为第四象限．
∴点(2,3)
故选：D．
4．（3分）为了说明“若a b，则ac bc”是假命题，c的值可以取() A．1-B．0C．1D2
【解答】解：若a b，而c=-时，ac bc不成立，
所以“若a b，则ac bc”是假命题．
故选：A ．
5．（3分）等腰ABC ∆中，AB AC =，A ∠的平分线交BC 于点D ，有下列结论：①AD BC ⊥；②BD DC =；③B C ∠=∠；④BAD CAD ∠=∠，其中正确的结论个数是( ) A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【解答】解：如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
AD BC ∴⊥，BD CD =，B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠， 故选：A ．
6．（3分）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图，则下列式子中正确的是( )
A ．a c b c ->-
B ．ac bc >
C ．a c b c +<+
D ．
a c
b b
< 【解答】解：由数轴，得
0a b c <<<．
A 、b a >，b c a c ->-，故A 错误；
B 、a b <，ac bc <，故B 错误；
C 、a b <，a c b c +<+，故C 正确；
D 、a c <，
a c
b b
>，故D 错误； 故选：C ．
7．（3分）如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定(ABE ACD ∆≅∆ )
A ．
B
C ∠=∠ B ．A
D A
E =
C ．B
D C
E =
D ．B
E CD =
【解答】解：
AB AC =，A ∠为公共角，
A 、如添加
B
C ∠=∠，利用ASA 即可证明ABE AC
D ∆≅∆； B 、如添AD A
E =，利用SAS 即可证明ABE ACD ∆≅∆；
C 、如添B
D C
E =，等量关系可得AD AE =，利用SAS 即可证明ABE ACD ∆≅∆； D 、如添BE CD =，因为SSA ，不能证明ABE ACD ∆≅∆，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D ．
8．（3分）已知AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，4AB =，6AC =，则AD 的取值范围是(
)
A ．210AD <<
B ．15AD <<
C ．46A
D <<
D ．46AD
【解答】解：如图，延长AD 到E ，使DE AD =，
AD 是BC 边上的中线，
BD CD ∴=， 在ABD ∆和ECD ∆中， BD CD ADB EDC DE AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABD ECD SAS ∴∆≅∆， CE AB ∴=，
4AB =，6AC =，
6464AE ∴-<<+，即210AE <<， 15AD ∴<<． 故选：B ．
9．（3分）若关于x 的不等式0
721
x m x -<⎧⎨-⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是( )
A ．67m <<
B ．67m <
C ．67m
D ．67m <
【解答】解：由（1）得，x m <， 由（2）得，3x ，
故原不等式组的解集为：3x m <， 不等式的正整数解有4个， ∴其整数解应为：3、4、5、6，
m ∴的取值范围是67m <．
故选：D ．
10．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点； 故B 选项正确； 故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 面积相等的三角形全等 ． 【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等． 故答案是：面积相等的三角形全等． 12．（3分）函数1
1
y x =
-中，自变量x 的取值范围是 1x ≠ ． 【解答】解：根据题意得：10x -≠， 解得：1x ≠． 故答案为：1x ≠．
13．（3分）若实数5x <，则x 可取的最大整数是 2 ． 【解答】解：253<<， x ∴可取的最大整数是2，
故答案为2．
14．（3分）等腰三角形的一个外角度数为100︒，则顶角度数为 80︒或20︒ ． 【解答】解：当100︒的角是顶角的外角时，顶角的度数为18010080︒-︒=︒；
当100︒的角是底角的外角时，底角的度数为18010080︒-︒=︒，所以顶角的度数为
18028020︒-⨯︒=︒； 故顶角的度数为80︒或20︒． 故答案为：80︒或20︒．
15．（3分）如图，D 为ABC ∆外一点，BD AD ⊥，BD 平分ABC ∆的一个外角，C CAD ∠=∠，若5AB =，3BC =，则BD 的长为 3 ．
【解答】解：如图，设CB 与AD 延长线交于E 点．
C CA
D ∠=∠， A
E CE ∴=．
又BD 平分ABE ∠，BD AD ⊥，
5AB BE ∴==，
358CE AE BC BE ∴==+=+=， 1
42
AD DE AE ∴==
=， ∴在直角ABD ∆中，由勾股定理得到2222543BD AB AD =-=-=．
故答案为：3．
16．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BAC ∠的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点
F ，P 为CE 中点，连结PF ，若2CP =，15BFP S ∆=，则AB 的长度为 15 ．
【解答】解：过E 作EG AB ⊥于E ，连接CF ，
P 为CE 中点，
EFP CFP S S ∆∆=，
设EFP CFP S S y ∆∆==，
BD 是AC 边上的中线，
∴设CDF AFD S S z ∆∆==，
15BFP S ∆=， 15BCD S y z ∆∴=++，
23022ABC BCD S S y z ∆∆∴==++， 22ACE ACF CEF S S S y z ∆∆∆=+=+，
3022(22)30ABE ABC ACE S S S y z y z ∆∆∆∴=-=++-+=，
AE 是CAB ∠的角平分线，
24EG CE CP ∴===，
1
302
ABE S AB EG ∆∴=
=， 15AB ∴=， 故答案为：15．
三、解答题（17题-19题每题6分，20题-22题每题8分，23题10分，共52分） 17．（6分）解不等式（组) （1）
123
x x
->； （2）2731205
x x x +>-⎧⎪
-⎨⎪⎩．
【解答】解：（1）去分母，得326x x ->， 合并同类项，得6x >；
（2）2731205
x x x +>-⎧⎪
⎨-⎪⎩
①
②，
解不等式①，得8x <， 解不等式②，得2x ．
所以不等式组的解集：28x <．
18．（6分）如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： （1）在图①中画出2个以AB 为腰且底边不等的等腰ABC ∆，要求顶点C 是格点； （2）在图②中画出1个以AB 为底边的等腰ABC ∆，要求顶点C 是格点．
【解答】解：（1）如图所示：ABC ∆和ABC ∆'即为所求；
（2）如图所示：ABC
∆和ABC
∆'即为所求．
19．（6分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表（漏出的水量精确到1毫升），已知用于接水的量筒最大容量为100毫升．
时间t（秒)10203040506070
量筒内水量v（毫升）46810121416
（1）在图1的平面直角坐标系中，以(,)
t v为坐标描出上表中数据对应的点；
（2）用光滑的曲线连接各点，你猜测V与t的函数关系式是
1
2
5
V t
=+．
（3）解决问题：
①小明同学所用量筒开始实验前原有存水毫升；
②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水毫升．
【解答】解：（1）如图①所示：
（2）用光滑的曲线连接各点，如图所示， 设V 与t 的函数关系式是V kt b =+，则 104
206k b k b +=⎧⎨
+=⎩
， 解得152
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
V ∴与t 的函数关系式是1
25V t =+；
（3）①小明同学所用量筒开始实验前原有存水2毫升；
②1
10025t =+，
解得490t =，
∴如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是490秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水：1
0.560603605⨯⨯⨯=（毫升）．
故答案为：（2）1
25
V t =+；（3）①2；②490；③360．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m =-+过点(5,2)A -且分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，过点A 画//AD x 轴，交y 轴于点D ． （1）求点B 、C 的坐标；
（2）在线段AD 上存在点P ，使BP CP +最小，求点P 的坐标．
【解答】解：（1）
y x m =-+过点(5,2)A -，
25m ∴-=-+， 3m ∴=，
3y x ∴=-+， 令0y =，3x ∴=，
(3,0)B ∴， 令0x =，3y ∴=，
(0,3)C ∴；
（2）过C 作直线AD 对称点Q ， 可得(0,7)Q -， 连结BQ ，交AD 与点P 可得直线7
:73
BQ y x '=-， 令2y '=-， ∴157
x =
， ∴15
(,2)7
P -．
21．（8分）如图，点C 为线段BD 上一点，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形．AD 与CE 交于点F ，BE 与AC 相交于点G ．
（1）求证：ACD BCE ∆≅∆；
（2）若8CF CG +=，18BD =，求ACD ∆的面积．
【解答】（1）证明：ABC ∆，CDE ∆是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， ACB ACE DCE ACE ∴∠+∠=∠+∠， 即BCE DCA ∠=∠，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆． （2）由（1）得ACD BCE ∆≅∆，
CBG CAF ∴∠=∠，
又60ACF BCG ∠=∠=︒，BC AC =，
()BCG ACF ASA ∴∆≅∆，
ACF BCG S S ∆∆∴=，CG CF =，而8CF CG +=，
4CG CF ∴==，
过G 作GM BD ⊥于M ，过点F 作FN BD ⊥于N ，
又60ACB DCE ∠=∠=︒， 3
23GM ∴== 3
23FN =
= ACD ACF CDF S S S ∆∆∆∴=+ BCG CDF S S ∆∆=+
11
22
BC GM CD FN
=
+ 1
()2BC CD
=⨯+
=， =．
22．（8分）某校八年级举行数学趣味竞赛，购买A ，B 两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A 笔记本的数量要少于B 笔记本数量的34，但又不少于B 笔记本数量的1
4
． （1）求A 笔记本数量的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省？最省费用是多少元？ 【解答】解：（1）设A 种笔记本购买x 本 3(30)4
1(30)4
x x x x ⎧<-⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩， 解得，90
67
x <
且x 为整数， 即A 笔记本数量的取值范围是90
67
x <且x 为整数； （2）设购买总费用为y 元
128(30)
4240y x x x =+-=+ y ∴随x 减小而减小， 90
67
x <
且x 为整数， ∴当6x =时，y 取得最小值，此时264y =，3024x -=，
答：当购买A 笔记本6本，B 笔记本24本时，所需费用最省，最省费用264元． 23．（10分）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，求证：ABC ∆是倍角三角形；
（2）若ABC ∆是倍角三角形，A
B C ∠>∠>∠，30B ∠=︒，AC =ABC ∆面积； （3）如图2，ABC ∆的外角平分线AD 与CB 的延长线相交于点D ，延长CA 到点E ，使得
AE AB =，若AB AC BD +=，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
【解答】（1）证明：
AB AC =，
B C ∴∠=∠，
180A B C ∠+∠+∠=︒，36A ∠=︒， 72B C ∴∠=∠=︒， 2A C ∴∠=∠，
即ABC ∆是倍角三角形，
（2）解：A B C ∠>∠>∠，30B ∠=︒， ①当2B C ∠=∠，得15C ∠=︒， 过C 作CH ⊥直线AB ，垂足为H ，
可得45CAH ∠=︒， 2
4AH CH AC ∴==． 43BH ∴=
434AB BH AH ∴=-=，
1
8382
S AB CH ∴=
=． ②当2A B ∠=∠或2A C ∠=∠时，与A B C ∠>∠>∠矛盾，故不存在． 综上所述，ABC ∆面积为838．
（3）ADC ∆和ABC ∆是倍角三角形，证明如下：
AD 平分BAE ∠， BAD EAD ∴∠=∠，
AB AE
=，
=，AD AD
∴∆≅∆，
()
ABD AED SAS
∴∠=∠，BD DE
=．ADE ADB
又AB AC BD
+=，
=．∴+=，即CE BD AE AC BD
∴=．
CE DE
∴∠=∠=∠．
C BDE ADC
2
∴∆是倍角三角形．
ADC
∆≅∆，
ABD AED
E ABD
∴∠=∠，
∴∠=︒-∠，
E ABC
180
∠=︒-∠，
E C
1802
∴∠=∠．
2
ABC C
∴∆是倍角三角形．
ABC。