圆的切线判定定理

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A C
D
┐
F
B
即 d ＝ r
挑战（ ） 挑战（2）
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 如图， AOB中 OA＝OB＝10， AOB＝120° 为圆心， 为半径的⊙ OA、OB相交 相交。 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是 的切线。 求证：AB是⊙O的切线。 O
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闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同? 闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?
D O A E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点, (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 如果已知直线经过圆上一点 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直 圆心,得到辅助半径, 简记为：连半径,证垂直。 。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
闯关练习（ ） 闯关练习（2） 已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D, 平分线上一点 B 为圆心，OD为半径作 为半径作⊙ 以O为圆心，OD为半径作⊙O。 D O 求证： AC相切 相切。 A 求证：⊙O与AC相切。
E C
OE⊥AC于 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ ∴ ∵ ∴ AO平分∠BAC， AO平分∠BAC，OD⊥AB 平分 OE＝ OE＝OD OD是 OD是⊙O的半径 AC是 的切线。 AC是⊙O的切线。
经过⊙ 1。如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA， 如右图所示， 45° 的切线吗？为什么？ ∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？ 解：直线AB是⊙O的切线 。理由如下： 理由如下： 在圆O 中， 因为AB OA， OBA＝45° 已知) AB＝ ∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知) ∴∠ AOB ＝∠ OBA ＝45°(等边对等角) 又∵∠AOB ＋ OBA∠＋ OAB ∠ ＝ 180° ∴∠OAB＝180°－∠ AOB －∠ OBA ＝90° ∴∠OAB＝180° 90° AB⊥ ∴ 直线 AB⊥OA 又∵ 直线AB经过⊙O 上的A点 直线AB经过⊙ 上的A AB经过 ∴直线AB是⊙O的切线
O l r A O r l A O l r A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端 (1)直线经过半径的外端; 直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直 直线与这半径垂直。 (2)直线与这半径垂直。
请 你 参 加
1）角平分线上的点到角两边的距离（ 相等 ） ）角平分线上的点到角两边的距离（ 2）半圆（或直径）所对的圆周角是（ 直角 ） ）半圆（或直径）所对的圆周角是（ 底边上的高 底边上的中线）（底边上的高线 ） 3）等腰三角形（ ）等腰三角形（ （ 顶角平分线 ）三线合一。 三线合一。
尝试填一填
E B P C
谈谈今天的收获
判定切线的方法有哪些？ 1. 判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线
直线l 直线
2. 常用的添辅助线方法？ 常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时， ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 。（连半径 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时， ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（ 。（作垂 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂 证半径） 直，证半径）
分析：由于AB过 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB 上的点C 所以连接OC， OC AB⊥OC即可 即可。 AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图) OC(如图 证明：连结OC(如图)。
B A ∵ OA＝OB,CA＝CB, OA＝OB,CA＝ C ∴ △OAB是等腰三角形，OC是底 OAB是等腰三角形，OC是底 是等腰三角形 AB上的中线 上的中线。 边AB上的中线。 ∴ AB⊥OC。 AB⊥OC。 OC是 ∵ OC是⊙O的半径 AB是 的切线。 ∴ AB是⊙O的切线。 闯关练习（ ） 闯关练习（1）
d=r
直线l 相切； 直线 与⊙O相切； 相切
用圆心到直线的 距离判定切线
O d A r
l
用切线的判定定 理来判定
圆的切线判定定理： 圆的切线判定定理：
经过半径的外端且 经过半径的外端且垂于这条半径 半径的外端 的直线是圆的切线。 的直线是圆的切线。 切线
条件： 经过圆上的一点 (2)垂直于该点半径 条件：(1)经过圆上的一点； 垂直于该点半径； 经过圆上的一点； 垂直于该点半径；
§24.2.2直线和圆的位置关系 24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线的判定 -----切线的判定
用切线定义判定 切线
1）直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做 直线和圆有唯一公共点时, 这个唯一的公共点叫做（ （ 圆的切线 ）, 这个唯一的公共点叫做（ 切点） 直线l与⊙O只有一个公共点 直线 与 只有一个公共点 直线l与⊙O相切． 相切． 直线 与 相切
挑战（ ） 挑战（1）
如右图所示，已知OC平分∠AOB， 如右图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相 OC平分 OC上任意一点， 上任意一点 OA相 切于点E 那么， 的切线吗？请说明理由。 切于点E。那么，OB是⊙D的切线吗？请说明理由。 理由如下： 解：OB是⊙D的切线 。理由如下： 连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F。 连结DE， 点作DF⊥OB，垂足为F DE DF⊥OB ∵ OA 与⊙D 相切于点E 相切于点E ∴ OE⊥OA 又∵ OC平分∠AOB， DF⊥OB OC平分∠AOB， 平分 ∴ DF ＝ DE DF⊥OB， 又∵ DF⊥OB， ∴ OB是⊙D的切线 。 O E
O ●
周末作业： 朝阳目标》P50第 周末作业：《朝阳目标》P50第5，6题 P51第 P51第8，9题
几 何 符 号 表 达
经过⊙ 上的 ∵l⊥OA，且l 经过⊙O上的 ⊥ ， A点 ∴直线l是⊙O的切线 直线 是 的切线
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O ┐
A
l
精彩源于发现
请你总结一下： 请你总结一下：圆的 切线的判定有几种方 法？
知识清单： 知识清单： 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ 如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线(d=r) 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线； (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；
动手练一练 动手练一练
如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。 如图， 的直径， 45°
AC是⊙O的切线吗？为什么？ 的切线吗？为什么？
解：AC是⊙O的切线 。理由如下： 理由如下： 45° 已知) ∵ AC＝AB ， ∠B＝45°(已知) ∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角) ∴∠C＝ 45° 等边对等角) 180° 又∵∠BAC＋∠B＋∠C ＝ 180° ∵∠BAC＋ BAC ∴∠ BAC ＝ 180°－∠B－∠C＝90° 180° 90° 直线AC⊥AB ∴ 直线AC⊥AB 又∵直线AC经过⊙O 上的A点 经过⊙ 上的A ∴直线AC是⊙O的切线 A C B
O ●
A
B
A
已知： 已知：P为⊙O外一 OP为直径作 点，以OP为直径作 圆交⊙ 圆交⊙O于A、B两 点，连接PA、PB 连接PA、 那么PA、PB是 那么PA、PB是⊙O 的切线吗？ 的切线吗？
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O
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P
B
已知：直线 经过 经过⊙ 上的点 上的点C， 已知：直线AB经过⊙O上的点 ， 并且OA=OB，CA=CB。 ， 并且 。 求证：直线 是 的切线。 求证：直线AB是⊙O的切线。 的切线
经过圆上的一点； A 、经过圆上的一点；
垂直于半径； B、 垂直于半径；
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 过半径的外端的直线是圆的切线（ 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 与半径垂直的的直线是圆的切线（ 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
A
C
B
超级挑战
如图, ABC中 AB=AC， AB为直径的 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， 为直径的⊙ 交边BC BC于 A PE⊥AC于 PE⊥AC于E。 求证:PE :PE是 的切线。 求证:PE是⊙O的切线。
O
Hale Waihona Puke Baidu
证明：连结OP。 证明：连结OP。 OP AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 OB=OP，∴∠B=∠OPB B=∠OPB， ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C OBP=∠C。 ∴∠OBP=∠C。 OP∥AC。 ∴OP∥AC。 PE⊥AC， ∵PE⊥AC， PE⊥OP。 ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。 PE为 的切线。