06平面及其方程

第六节平面及其方程

平面是空间中最简单而且最重要的曲面•本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质

分布图示

★平面的点法式方程★例1 ★例2

★平面的一般方程★例3 ★例4

★平面的截距式方程★例5

★平面的夹角

★例6 ★例7 ★例8

★点到平面的距离

★例9 ★例10

★内容小结★课堂练习

★习题8-6 ★返回

内容要点

、平面的点法式方程：A(x-X o) • B(y-y°) • C(z-Z o) =0.

、平面的一般方程：Ax By Cz D =0,

三、平面的截距式方程:

a b c

四、两平面的夹角：设有两平面 和2 :

--1

: A|x ' By C i Z ' D i = 0,

n i — {A i , B i , G}

则两平面的夹角

co

s

IAA+B 1B

2+ C 1C 21 J A 2 + B ； +G 2 +

从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出:

(1)二1 _二2 的充要条件是 A 1A 2 B 1B 2 C i C^O ；

(3)二1与二2重合的充要条件是△二旦二C !二卫！.

A 2

B 2

C 2

D 2

五、点到平面的距离

:d =內0芒以空D|

(A 2 + B 2 +C 2

例题选讲

平面的点法式方程

例1 (E01)求过点M (2,4,_3)且与平面2x 3y _5z =5平行的平面方程 解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为 山={2,3,_5}.设所求平面的

法向量为n,则n 〃n“故可取n = nj ，于是，所求平面方程为

2(x —2) 3(y —4) —5(z 3) =0,即 2x 3y -5z =31.

例 2 (E02)求过点 A(2,—1,4), B(—1,3,—2)和 C(0,2,3)的平面方程.

厂「k

” T T - TT -

- -

解 AB ={，,4,_6}, AC ={—2,3,—0,取 n= AB^AC = —3 4 —6 =14i +9j —k,

-2

3 -1

所求平面方程为 14(^2) 9(y ・1)—(z —4)=0,化简得 14x • 9y —z —15 = 0.

平面的一般方程

例3 (E03)求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程. 解 设所求平面的一般方程为

Ax By Cz ^0,因为所求平面通过 x 轴，且法向量垂

直于x 轴,于是法向量在x 轴上的投影为零，即 A=0, 又平面通过原点，所以 D =0,从而方程成为By ，Cz=0, (1)

又因平面过点(4, ；,-1),因此有

方程为 y-3z=0.

例4(E04)设平面过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x-y • 2z =8垂直，求此平面方程.

(2)」1〃」2的充要条件是

A 2

B 2

C

2

解设平面为Ax By Cz 0,由平面过原点知D =0,由平面过点(6,七,2)知

6A -3B 2C =0.

{A,B,C} _{4,-1,2},

2 .4A -B 2C =0= A =B C,

3

所求平面方程为2x，2y-3z =0.

平面的截距式方程

例5 (E05)求平行于平面6x y 6z 5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为个单位的平面方程.

解设平面方程为兰2 •兰=1,

a b c

一 11

-V =1,

abc =1.

3 2

V 1广 1

由所求平面与已知平面平行得 」 b c ,向量平行的充要条件

6 1 6

1 1 1

a ,

b ,

c = 6t t 6t a =1,b =6, c =1.

所求平面方程为-- =1,即6x y 6^6.

1 6 1

两平面的夹角

例6 (E06)研究以下各组里两平面的位置关系

(1) ：1:-x2y-z1=0,二 2：y 3z-1=0;

(2)二1 : 2x-y z-1 =0,二2 ：-4x 2y-2z-1 =0.

1

故两平面相交，夹角为 v -arccos —1

.

V60

(2) n 1 ={2,-1,1}, n 2={W}且 上 1 二丄，又 M (1,1,0) ： | 丨“ -4 2 -2 M (1,1,0) ：| J,故两平面平行但不重合

例7求平面II,使其满足：

(1) 过z 轴；

(2) II 与平面2x 、一、5 =0夹角为一.

3

解 因为平面I 丨过z 轴，可设其方程为 Ax - By =：0.又因为|丨与已知平面夹角为 一•故

3

兀

|2A+B+(—V5)

0| 1 ・ r 1 "

cos

B =3A 或 B A

3

. A 2 B 2

02，.22

12 (- 5)2

2

3

= ll:x 3y=0或1丨：3x-y=0.

例8 (E07)求经过两点 M/3,-2,9)和M 2(-6,0,-4)且与平面2x-y ，4z-8二0垂直 的平面的方程.

解设所求的平面方程为 Ax By Cz D =0.由于点M 1和M ?在平面上，故

令丄

6a b 6c

6 6t t 6t (1) n 1 二{-1,2,_1}, n 2 ={0,1,3}且 COST

| =疋0 +2汇1 _1 疋3| 1 (-1)2 22 (-1)2、12

32

60

由 1 1111

由 二 -- --

t