各种概率分布方法大全

Pnr n(n -1)(n - 2) [n - ( r -1)]
B 全排列
P n(n 1)(n 2)2 1 n!
n n
C 重复排列
A n
m n
m
D 不尽相异元素的全排列：如果在n个元素中，分 布有n1,n2,…nm个元素相同，且n1+n2+…+nm=n，则这n个 元素的全排列为不尽相异元素的全排列，其排列种数为
Biblioteka Baidu C 有重复的组合
从n个不同的元素中，每次取出k（k<=n）个
元素，可以重复，不考虑次序组成一组，这 种组合称为有重复的组合，其组合数为
2 事件与概率
一随机现象和确定现象
在相同条件下只有一种结果的现象称为确定 性现象。 在相同条件下不只发生一种结果，并在事先 无法确定每一次究竟发生其中哪个结果的现 象，称为随机性现象。
P(B) 0
‫ب‬-全概率公式和贝叶斯公式
定理1.1 如果n个事件A1，A2，…An构成一个 完备事件组，且都具有正概率，则对任一事 件B，有
P ( B ) P ( B ) P[ B ( A1 A2 An )] P ( A1 B A2 B An B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( An B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( An ) P ( B | An )
P( Am ) P( B | Am ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( An ) P( B | An )
这就是著名的贝叶斯定理或贝叶斯公式。
3 随机变量与分布函数
一 随机变量的概念 定义2.1 离散型随机变量 连续型随机变量
二 随机变量的分布函数
‫ج‬-
概率的几何定义
如果A是Ω中的一区域，且A可以度量，则定义事 件A的概率为
P(A)=A的几何度量/ Ω的几何度量
1条件概率 定义1.8 在事件B已经发生的条件下，事件A发生 的概率，称为事件A对事件B的条件概率，记 作P(A|B)。相应地，把P(A)称为无条件概率。
P(AB) P(A|B) ， P(B)
定义2.2 设X 是随机变量，对于任意实数，令 F ( x) P( X x)， - x 称之为随机变量X 的分布函数。 以随机变量表示的任意随机事件都可以用分 布函数来表示： P( X x) F ( x 0)， P( X x) F ( x) F ( x 0) P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 0) P( x1 X x2 ) F ( x2 0) F ( x1 )
F ( x) P( X x)， - x
0
1
2
0.3 0 1 2
F ( x) P( X a) p(t )dt

x
P(a X b) p( x)dx F (b) - F (a)
a
a
b
b
分布函数F(x)具有下列性质：
（1）F(x)是不减函数；
A
当且仅当属于A的样本点发生时，事件A发生
（3）任一随机试验的样本空间Ω都有一个最 小的子集，即空集Φ，对应的事件称为不可 能事件，仍记为Φ ； （4）任一随机试验的样本空间Ω都有一个最 大的子集，即Ω自己 ，对应的事件称为必然 事件，仍记为 Ω ； （5）事件的表示既可以用集合，也可以用语 言。
‫ج‬-
概率的几何定义
1 几何型试验
如果试验具有如下两个特征：
（1）试验结果为无限不可列个； （2）每个结果出现的可能性是均匀的； 则称该随机试验为几何型试验。 2 概率的几何定义：设试验E的样本空间为某可 度量的区域Ω，且Ω中任意区域出现的可能性大小 仅与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置 和形状无关，则称试验E为几何概型。
（2）0<=F(x)<=1;
（3）F(x)是右连续函数，即
经典概率论
•1 排列组合知识复习 1.1 排列 A 选排列
从n个不同的元素中任取r个排成一列，称为一个排 列。所有不同的排列数可以按照如下方法分析计算： （） 1 （2） （3） n n -1 n-2 （r -1) [n - (r - 2)] (r ) [n - (r -1)]
1.2 组合与组合数
A 无重复组合
从n个不同的元素中任取r个组成一组，称为一个 组合。所有不同的组合数的计算公式为：
r P n! r n Cn r ! (n - r )!r !
B 多组组合
把n个不同的元素分成m（m<=n）组，第i组
中有ni（i=1，2，…, m）个不同的元素，且 n1+n2+…+nm=n，则这样的组合数为
随机现象的特点：
1.在一定条件的试验下，结果是许多结果中的一个 2.每次试验的结果在试验前未知，即呈现偶然性，凭 机会而定
三 随机事件 部分样本点的集合，称为随机事件，简称事 件，一般用A、B、C等大写拉丁字母表示。 事件具有以下性质特征：
（1）任一事件A都是样本空间Ω的子集；
（2）事件A的发生，当且仅当属于A的任意 一个样本点发生；
A2 A1 A3 B A4 A5
A6
A7
定理1.2
如果n个事件A1，A2，…An构成一个完备事件组， 且都具有正概率，则对任一个概率不为零的事件B
P( Am B) P( Am ) P( B | Am ) P( Am | B) n P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
概率分布方法
随机事件的概率
概率的古典定义 （1）某随机试验的样本空间只有有限个样本 点—n个； （2）在每次试验中每个样本点出现的可能性完全 相同； （3）如果事件A含有Ω中k个样本点，则定义 P(A)=k/n
古典概率具有以下性质： 性质1 0 P(A) ——非负性 性质2 P() 1——规范性 性质3 如果A1，A 2，…A n 两两互斥，则 P( A1 A2 An ) P ( A1） P ( A2） P ( An） ——有限可加性