1-1第4章 §2 2.1实际问题中导数的意义

第四章 §2 2.1

一、选择题

1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值 B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率 C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率 D ．无意义 [答案] B

[解析] 根据导数的几何意义知选B.

2．质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( ) A ．t ＝1s 时的速度 B ．t ＝1s 时的加速度 C ．t ＝1s 时的位移 D ．t ＝1s 时的平均速度

[答案] B

[解析] v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．

3．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( )

A ．14

B ．4

C ．10 D.6

[答案] A

[解析] 速度v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t .

所以加速度a (t )＝v ′(t )＝12t －10，当t ＝2时，a (t )＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 4．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那水瓶的形状是( )

[答案] B

[解析] 在曲线上任取一个横坐标为h 0的点，则注水量V 在h 0到h 0＋Δh 的平均变化率为ΔV Δh

，在h 0处的导数为V ′＝lim Δx →0 ΔV Δh .由图像可知，随着h 0的增大，曲线的切线的倾斜角

越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B.

化率ΔV

Δh

5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()

A．－1

C．a>2 D．a<－1或a>2

[答案] D

[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函数有极大值和极小值，则f′(x)＝0有两个不等实根，故Δ＝36a2－36×(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a<－1或a>2.

6．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()

[答案] D

[解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．

选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；

选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；

选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；

选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． [点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．

二、填空题

7．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________．

[答案] 服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL 的速度增加． 8．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.

[答案] 32

[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10， 则t ＝32

.

9．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m /s.则熄火后________秒后火箭速度为零(g 取10m/s 2)．

[答案] 10

[解析] 由已知，得火箭的运动方程为h (t )＝100t －1

2gt 2，∴h ′(t )＝100－gt .

令h ′(t )＝0，即100－gt ＝0，∴t ＝100

g ＝10(s)．

即火箭熄火后10s 速度变为零． 三、解答题

10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．

[答案] f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5

[解析] 在第2h 和6h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． ∵f ′(x )＝2x －7.

∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.

在第2h 与第6h ，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2h 附近，原油温度大约以3℃/h 的速度下降；在第6h 附近，原油温度大约为5℃/h 的速度上升.

一、解答题

11．自由落体运动的方程为s ＝1

2

gt 2.

(1)求t 从3s 变到3.1s 时，s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(3)．

[答案] (1)3.05g m /s (2)3g m/s [解析] (1)Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ×3.12－1

2g ×32＝0.305g ， Δt ＝0.1，∴Δs

Δt

＝3.05g (m/s)．

它表示从t ＝3s 到t ＝3.1s 这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g (m/s)． (2)s ′＝gt ，∴s ′(3)＝3g (m /s)，它表示自由落体运动的物体在t ＝3s 时的瞬时速度为3g (m/s)．

12．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g 氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t .

(1)氡气的散发速度是多少？

(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？ [解析] (1)A ′(t )＝500×0.834t ×ln0.834.

(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln0.834≈－25.5，它表示7天后氡气散发的瞬时速度． 13．一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速度向容器里注水，求注水t s 时水面上升的速率．

[答案] 13·33nh 2πr 2·1

3

t 2

cm/s

[解析] 设注水t s 时，水面半径为x cm ，水面高度为y cm ，则有⎩⎨⎧

y h ＝x r

t ·n ＝π

3·

x 2

·y ，

从而得到y 关于t 的函数关系式为：y ＝33nh 2πr 2

·3

t ，