电机测试中谐波分析的高精度FFT算法

Ｋ＝３，且４０＝Ｏ．３５８
Ｏ．１４１２８，ｎ ３＝Ｏ．叭１６８时即为Ｂｌａｃｋｍａｎ－｝ｈｒｒｉｓ窗。
为了使余弦窗具有线性相位特性及满足插值计算的 需要。对系数有如下限制
Ｋ
∑ｎ。＝１
ＦＩＥ．１
（２ａ）
皿
朗ｌ加窗前囊谱 田２加窗后籀谱
ａ
●＝Ｏ Ｘ
∑（一１）‰々＝ｏ
（２ｂ）
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算法的核心同题。下面我们针对Ｂｌａ矗ｍａｎ－Ｈａ曲窗
来探讨Ａ准确值的求解方法。 我们在电机测试中采集谐渡信号时，通常设定 采集４个周期以上，采集点数在１０２４点以上，故我 们在化简式（１１）时，可以作如下近似
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ｌ引言
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甄（口）＝∑（一１）‘单Ｄ（口一¨＋Ｄ（口＋¨］
（４）
此外。通常信号加窗都是在时域进行的．而对于 余弦窗，可以先对信号进行傅立叶变换，然后在频域 进行处理。即假设离散信号ｚ（ｎ）的频谱为ｘ（日），
则加窗后的援谱为
第１２期
赵文春等：
电机测试中谐波分析的高精度ＦＦＴ算法
ｋ（日）＝∑（一１）‘瓢ｘ（目一女）＋ｘ（目＋ｅ）］
瓦。（ｆ＋ｎ）＝Ａ。∑（一１）‘警・
设定如下系数
ａ＝ｌ错ｌ㈣，
ｏ
［Ｄ（ｎ一量～＾）＋Ｄ（ｎ＋＾一＾）］
绝对值时方采用式（“）［“。ｆ Ａ。（ｆ）ｆ即为振幅值，
相位计算可采用
２
１］ｉ万厂ｌ
ｕ”
由式（１０）、（１１）可得出Ａ，将１代入式（８）和
“牡ａｒｃｔａｎ黜（１５）
（１０）即可得到准确的频率厶和复振幅Ａ。，进而得
第２１卷第１２期
２００１年１２月
中国电机工程学报 ＰｒｏｃｅｅБайду номын сангаасｉｎ船ｏ“ｈｅ ＣｓＥＥ
Ｖ０ｌ ２１ Ｎ０．１２Ｄｅｃ ２００ｌ
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文章编号：０２５８．８０１３（２００１）１２一００８３—０５
电机测试中谐波分析的高精度ＦＦＴ算法
赵文春，马伟明，胡 安
（海军Ｉ程大学电力电子技术应用研究所，湖北武汉４３００３３）
ＫＥＹ
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了其它频率处。
Ｂｌｎｃｋｍ蚰．Ｈａ州ｓ窗及余弦窗的特性
ＢｌａｃｋｒｎａｍＨａｒｒｉｓ窗实质上是一种４项系数余
弦窗，因此我们先看一下余弦窗的基本特性。
余弦窗的一般表达式为
ｗ；（ｎ）＝∑（一１）ｋ。ｃ。ｓ（哿ｈ）
＾＝０
‘１
ｎ＝０，１，…，Ｎ一１
（１）
式中
＿Ｋ为余弦窗的项数，Ｋ＝０时，就是矩形窗；
７５，４１＝０．４８８ ２９，４ ２＝
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怕即使采用了跟踪锁相技术，由于实际电力系统中有 时会存在分数次谐渡和干扰，仍难以实现严格的同步 采样。非同步采样及分数次谐渡的存在，使得频率分
余弦窗，在频域的卷积运算简单易行，因而有利于插 值公式的推导和改进［８川。尽管Ｂ１ａｃｋｍａｎ—Ｈａｒ血窗 对弱信号的检测能力已经很强，但当某个弱信号的
附近存在一个很强的信号时，该弱信号仍存在较大
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近年来，随着电力电子技术的广泛应用，半导体 器件等其它非线性负荷在电力系统中的使用也越来 越多，这就不可避免地使相关的电流和电压波形产生 较大程度的畸变【１Ｊ．也即通常所说的谐波污染，从而 影响了电能的质量，对电力系统的安全、经济运行造 成极大的影响。所以，对电网中的谐波含量进行准确 的测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于防止 谐波危害：维护电网的安全运行是十分必要的。 电力系统中的谐波分析，通常都是通过快速傅 立叶变换（ＦＦＴ）实现的，然而，在数据采集时，即使 采样频率满足了奈奎斯特定理，但如果不是同步采 样。就将带来泄漏效应以及栅栏效应【２—４ Ｊ，使算出
出准确的幅值及相位。 由以上可知，如何求出准确的Ａ值，是整个插值
通常，电力谐波含有多个频率信号．但对于
Ｂｌａｃｋｒｎａｎ．Ｈａｒｒｉｓ宙．在满足前述采样条件的情况下，
谐波间相互干扰能衰减９２ ｄＢ以上，因此在推导插 值公式时，可以忽略谐波干扰的影响。这样．对加窗 后信号的各ＤＦＴ谱值重复运用上述算法，就可依次 得到各次谐渡的各个准确参数。 采用了上述插值方法后，信号幅值和频率已经 达到了相当高的精度，但在采样失步度较大而某个 幅值较小的谐波信号附近存在一个幅值较大的谐波 信号时，对该弱信号的检测仍有可能存在较大的相
的信号参数即频率、幅值和相位等不准，尤其是相位
误差很大，从而无法满足准确的谐波测量要求。为
了提高ＦＦＴ算法的精度，ｖ．Ｋ．ＪＡＩＮ等提出了一种
插值算法ｆ５］，通过查找准确的信号频率．进而提高
各参数的计算精度，但该种算法在计算某次谐波参 数的时候，对临近谐波缺乏抗干扰能力。Ｔｈｏｍａｓ
Ｇｌａｎ皿ｅ在该插值算法的基础上，利用海宁（瑚ｔＩｉｎｇ）
个频率分辨点之间。这样，通过Ⅸ叮并不能直接得
到各次谐波分量的准确值，而只能以ｌ｜缶近的频率分辨 点的值来近似代替，这就是通常所说的栅栏效应。 插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，而谐波
间的泄漏引起的误差则需依靠加窗的方法来消除。
３
２离散傅立叶变换的泄漏和栅栏效应
在实际谐波测量中，所要处理的信号均是经过 采样和Ａ／Ｄ转换得到的有限长的数字信号，这相当 于对原始信号乘以一个矩形窗进行截短。根据频域 卷积定理，时域相乘对应频域卷积，从而信号截短后 的频谱将不同于加窗以前的频谱。如图ｌ、图２所 示，原来在Ｄ。处的一根谱线在加上矩形窗后变成 了以ｎ。为中心的其形状为振荡并逐渐衰减的连续 谱线，这就是说信号频谱的频率成分从ｎｏ“泄潺”到
４
基于ＢＩａｃｋｍａｎ．Ｈａｒｒｉｓ窗的插值算法
为简便起见，先对单一频率信号进行分析，并假
设采样间隔△ｆ＝１，则ＤＦＴ的频率分辨率为Ａ，＝ ｌ／（加・Ｎ）＝ｌ／Ｎ．信号表达式为
ｚ。（ｆ）＝Ａ。ｄ２ｔｏ
Ｎ一】
一
（６）
（７）
可以得出
ｚ。（口）＝∑ｚ。（ｎ）ｅ一，孙
Ａ。（ｚ）＝ｘ一（ｚ）／；０
３５８７５×Ｄ（一＾）一０．５×
ＦＦＴ
ＡＬＧＯＲＩＴＨＭ ＷＩＴＨ
ｍＧＨ
ＡＣＣＵＲＡＣＹ
ＦＯＲ
ＨＡＲＭＯＮＩＣ
ＡＮＡＬＹＳＩＳ ＩＮ ＴＨＥ ＥＬＥＣＴＲＩＣ ＭＡＣＨＩＮＥ
ＺＨＡｏ
Ｗｅｎ＿ｃ１１ｕＪｌ，ＭＡ Ｗｅｉ－Ⅱｌｉｎｇ，ＨＵ
ＡＪｌ
（Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｒ培ｔｉｔｕｔｅ ｏｆ ｐａｗｅｒ Ｅｌｅｃｔｒ。Ｉｌｉｃ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．
辨点上受到的泄漏影响不再为Ｏ，而是各次谐渡的
“长范围效应”及“短范围效应”【６１的叠加，这就是泄漏 误差产生的原因。
此外，在非同步采样时，由于实际信号的各次谐
波分量并未能正好落在频率分辨点上，而是落在某２
的相位误差，在这种情况下，对插值公式作适当改进
可以进一步加强对弱信号的检测能力。 本文将对泄漏效应和栅栏效应的机理作一个简 要的介绍后，就Ｂ１“ｋｍａｎ，Ｈａｒｒｉｓ窗结合插值算法进 行进一步的分析、推导和改进，以满足电机测试中准 确测量谐波的要求。
窗减少泄漏．也即减少谐波间的相互干扰，从而进～ 步提高了计算精度［６］。通常对窗函数的要求是主瓣
窄，旁瓣低。旁瓣跌落速度快。Ｆ．Ｊ．№耐８对各种窗函
中国电机工程学报
第２Ｉ卷
数的性能进行了比较【”，结论是Ｋａｉｓｅｒ－Ｂｅ＊ｅｌ窗和
Ｂｌａｃｋｍａｎ—Ｈａｒｒｉｓ窗能最好地满足上述要求。但考 虑到插值算法的应用，Ｂｌａｃｋｍａｎ—Ｈａｒｒｉｓ窗作为一种
Ｎａｖａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。ｆ
Ｅｎｇｉｒｌ钟ｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３，ｃｈｌｌｌａ）
ａ
ＡⅨ盯Ｒ＾Ｃｆ．Ｔｈｅ ＦＦＴ ｈ船ａ ｈｉ曲ｅｒ
ｅｒｒｏｒ
ｗｈ∞ｕｓｅｄ ｗｉｔｈ
有非常高的分析精度。 关■调：谐渡分析；快速博立叶变换；泄漏效应；插值
ｓ哪叫ｅ
ｓｅｑｕ曲ｃｅ ｗ｜１ｉｃｈ扭ｎ。ｔ
（８）
由式（６）、（７）、（８）并令口＝ｆ＋ｎ可得 ｘ坩（ｚ＋ｎ）＝Ａ。Ｄ（ｎ一＾），ｎ为整数
（９）
或者
Ａ。（ｆ）＝Ｘ。删（Ｚ＋１）／｛０ ３５８７５×Ｄ（１一＾）一０．５×
此式代入式（５），得到加窗信号的频谱在整数采 样点的数值为
Ｋ
０．４８８２９×［Ｄ（一＾）＋Ｄ（２一＾）ｌ＋０．５× ０．１４１２８×【Ｄ｛一ｌ一＾）＋Ｄ（３一＾）］一 ０．５×０．０１１６８［Ｄ（一２一＾）＋Ｄ（４一＾）］Ｉ （１０） （１４） 建议仅当五。（ｚ＋１）的绝对值大于墨。（ｆ）的
设幅值为１的矩形窗ｗｏ（ｎ）＝１，＂＝Ｏ．１，…， Ｎ—１．它的离散傅立叶变换ＤＩ叮称为狄里克来核
（Ｄｉｄｃｈｌｅｔ）
ｗｏ（８）：Ｄ（日）：ｅ州肾』ｎ哗Ｌ
Ｎｓｉｎ（莆ｏ’
为狱里克来核的代数和
Ｘ
（３）
Ｆｉｇ．２
Ｔｈ
ｓ弹曲聊¨ｔｈ ｎ山ｎ—ｅ刊－蛔
余弦窗的特点是它的ＤＦＴ表达式很简单，可以表示
假设输入为一个畸变的正弦信号．采样为对应基 波的整周期采样，即同步采样，这时各次谐波分量都 将正好位于相应的频率分辨点上．从图２可以看出， 各次谐波在频率分辨点上的泄漏为０，因而各次谐波 相互之间并未受到泄漏的影响。然而实际采样过程 中。由于基波频率不能完全准确地获得以及诸多其它 因素的影响，采样常常是在非同步情况下进行的，哪 万方数据
摘要：快速傅立叶变换在非罚步采样情况下存在较大的误 差，因而无法在电机测试过程中获取准确的谐波参敷。为了 减小非同步采样对抉速博立叶变换的影响，提高电机铡试中 的谐波分析精度．该文通过加宙和插值对原算法进行了改 进。该文先是对非同步采样的泄漏效应进行了简要说明＇然 后详细分析和推导了加ＢＩａｃｋｎ”＿．１ ｌａｒｄｓ窗的插值算法，井 借助ＭＡＴＬＡＢ软件求解高次插值疗程得到准礴的频率偏 移量．进而得出较准确的谐波参数。在此基础上，对捕值公 式作适当改动。可以进一步提高各种情况下特别是泄漏程度 较严重时的计算精度。该文最后提供了一个模拟分析实倒， 分析结果进一步验证了改进后算法在非同步采样时．仍然具 万方数据
＾＝０ ‘
（５）
最多只有一个实根位于［０，１）区间，该根即为正解。 此外，＾的末解还有其它多种方法，如比例迭代 法、比例峰值搜索法、ｚｏＯＭ～ＦＦＴ频率校正法 等【１…，但这些算法都是近似算法，并且其中有的算 法如比例迭代法和比例峰值搜索法，还不适用于谱 峰较密集的情况。借助ＭＡＴＬＡＢ软件．则可以方便 直接地求出＾的准确值。 在得出准确的＾值后，由式（８）可以求出准确 的频率厶，由式（１０）可以求出复振幅
对于离散频谱，引又能取０～（Ｎ一１）之间的整数 值。设＾在频率ｆ△，和（ｆ＋１）４，之间，￡为整数，即
０．４８８２９×［Ｄ（一１一＾）＋Ｄ（１～＾）］＋
０．５×０．１４１２８×［Ｄ（一２一＾）＋ Ｄ（２一＾）］一０．５×０．０１１６８［Ｄ（一３一 ＾）＋Ｄ（３一＾）］｛
（１３）
厶＝（ｚ＋＾）△，
０≤＾＜１