专题恒成立存在性问题

1

专题 恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立（有解问题） 3函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 5、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 7、设函数()x f 、()x g ，任意 []b a x ,1∈，任意[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f min max ≤

练习题

1、已知两函数2

)(x x f =，m x g x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为

2、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

3、当()1,2x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

4、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________

5、设函数⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++=

1,4110)(,2,21,)(x x h a b x x a x h 在都有对任意上恒成立，求实数b 的取值范围。

6、已知函数()2

22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

7、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是

8、已知两函数()2728f x x x c =--，()32

2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤)成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；