第九章强度理论和组合变形

C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
0 N A n
对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面 上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各 个方向的应力的共同作用 长期生产实践中，人们提出某些关于材料破坏的假说， 称为强度理论，常用的有4种。
9.2常用的强度理论
最大拉应力理论（第一强度理论） 观点： 最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 第一主应力是主要破坏因素
第九章强度理论和组合变形
9.1强度理论的概念 9.2常用的强度理论 9.3强度理论的应用 9.4组合变形的概念 9.5弯曲与拉伸的组合 9.6弯曲与扭转的组合
9.1强度理论的概念
屈服破坏 材料破坏的形式主要有两类：断裂破坏 材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？ 对于单向应力状态，比如轴向拉 压，其强度条件为：
（1）求主应力
2 max x x 2 x 2 min 2
114 100 100 2 40 MPa 2 2 - 14
2
1 140MPa, 2 114MPa, 3 14MPa
（4）选用适当的强度理论计算相当应力eq。
（5）确定材料的许用拉应力[] ，将其与eq比较。
例 从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已知钢
材的屈服点s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变比能 理论计算构件的工作安全系数。 先计算 oxy 平面内的主应力，然后 计算工作安全系数
3
9.4组合变形的概念
在外力的作用下，构件若同时产生两种或 两种以上基本变形的情况，就是组合变形
在小变形和线弹性的前提下，可以采用 叠加原理研究组合变形问题 所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变 形等于各个力单独作用下变形的总和（叠 加）
举例
RA HA A T Tx C Ty B P
1.5m
M
A 2m 1m C B P
正应力和剪应力强度条件均满足。
c．校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。
K3点处的复杂应力状态，绘出K3点的应力状态图。
C截面
k3
MC 32 103 88.6 103 yk 3 120 Mpa 6 IZ 23.7 10
11.4 3 9 100 10 11 . 4 100 88 . 6 10 * Q S Z 2 C 64.8 Mpa 6 3 IZb 23.7 10 7 10
例：填空题。
第三强度理论和第四强度理论的相当应
力分别为σr3及σr4，对于纯剪应力状态，恒有
σr3／σr4＝＿＿＿。
1 , 2 0, 3
r 3 1 3 ( ) 2
r4
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2
k3
由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强 度理论进行校核。
2 2 3 k 4 3 k 3 176 Mpa 150 Mpa 2 2 r4 k 3 3 k 3 164 Mpa 150 Mpa
说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足 强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处 的强度。


通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能 理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面 尺寸也要大一些。
例 图示单向与纯剪切组合应力状态，是一种常见的应力状态， 试分别根据第三与第四强度理论建立相应的强度条件。
解：由公式
max x y x y 2 x min 2 2
0
式中：n----构件的工作安全系数； [n]----构件的许用安全系数； 0--- 材料的极限应力；
r----相当应力；
9.3强度理论的应用
分析步骤：
（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。 （2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。 （3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。
破坏条件：
1 b
脆性材料的破坏形式是断裂 没有考虑第2、3主 应力的影响
强度条件：
b 1 n
最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是 主要破坏因素 破坏条件：
1 0
观点：
max 是主 即认为无论是单向或复杂应力状态，
要破坏因素 根据应力状态分析
破坏条件：
max
sin 2
1 3
2
低碳钢拉伸斜截 面最大剪应力

max


2

45

0
2

s
2
1 3 s
强度条件：
1 3
计入安全系数
形状改变比能理论（第四强度理论）
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 [ ]
解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
（2）计算工作安全系数
eq 3 1 3 140 ( 14) 154MPa s 280 n3 1.82 eq 3 154
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 143MPa eq4 2 280 n4 s 1.95 eq4 143
9.5弯曲与拉伸的组合
杆件在外力作用下同 时产生弯曲和拉伸 （压缩）变形称为弯 曲与拉伸的组合
偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形
链环受力
立柱受力
拉伸与弯曲组合的应力分析
p x p cos p y p sin
M Py ( l x )
Px 在Px作用下： A
在Py作用下：
b
E
脆性材料的破坏形式是断裂
1 1 1 2 3 E
极限应变
b 1 2 3
强度条件：
1 2 3
b
n
考虑第2、3主应 力的影响
最大切应力理论（第三强度理论） 最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，
2
可知，该微体的最大与最小正应力分别为
max 1 ( min 2
4 2 )
2
相应的主应力为
1 1 ( 3 2
2 0
2
4 2 )
2
2 由第三强度理论得： r 3 4 ) [ ]
由第四强度理论得： r 4 2 3 2 ) [ ]


例Leabharlann Baidu填空题。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料， 应选用 第一 强度理论进行计算，因为此时 材料的破坏形式为 脆性断裂 。
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E， 泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但 只有一枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应 变为 0，则外力偶ｍ＝？
例．No20a工字钢梁受力如图，已知材料的许用应力
＝ 150 Mpa, 95 Mpa
，校核其强度。
例1图
解：（一）画梁的剪力图和弯矩图
危险截面发生在C、D截面
MC=32KN· m QC=100KN
（二）强度校核
先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。
C截面 a．正应力强度校核（K1）点
塑性材料宜采用第三、第四强度理论
脆性材料宜采用第一、第二强度理论
一般情况下
但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三 向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜 采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态 下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。
复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式
n n r
第三强度理论的强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ] 由此得： 2
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 按第三强度理论可求得： [ ] 2
第四强度理论的强度条件为：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 [ ] 2
m
CL10TU60
m
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上 (2) 1 , 2 0, 3
1 1 1 ( 2 3 ) max E 1 1 m 0 3 E E d 16
min

d E 0 m 16(1 )


[ ] 由此得： 3
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 按第四强度理论可求得： [ ] 3
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.577 [ ]
观点： 形状改变比能 u f 是引起材料屈服破坏的主要因 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， u f 是 主要破坏因素 破坏条件：
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 uf 6E 1 2 s2 轴向拉伸 1 s , 2 3 0 6E




1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 s 2
强度条件：


1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2


综合四个强度理论
相当应力
r
r1 1 r 2 1 2 3 r 3 1 3 1 2 2 2 r4 1 2 2 3 3 1 2
_
12kN· m
N
_
24kN
叠加原理应用的基本步骤：
• 将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几 组载荷，使构件在每一组载荷的作用下， 只产生一种基本变形 • 分析每种载荷的内力，确定危险截面 • 分别计算构件在每种基本变形情况下的危 险截面内的应力 • 将各基本变形情况下的应力叠加，确定最 危险点 • 选择强度理论，对危险点进行强度校核
max k 1
MC 32 103 135 Mpa 150 Mpa 6 W Z 237 10
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
max
* QC S Z 100 103 83.1Mpa 95 Mpa 2 3 IZb 17.2 10 7 10
M y Iz
根据叠加原理，可得 x 横截面上的总应力为

N M y A Iz
危险截面处的弯矩
N M max T max A Wz
强度条件为
T max
N M max T A Wz
N M max C max A Wz
抗弯截面模量